Lagrangin järjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. marraskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Matematiikassa Lagrangin järjestelmä on sileän nipun ja Lagrangen tiheyden pari, joka määrittää nipun osissa toimivan Euler-Lagrange- differentiaalioperaattorin . ${\näyttötyyli (Y, L)}$ $Y\X$ $L$ $Y\X$

Klassisessa mekaniikassa monet dynaamiset järjestelmät ovat Lagrangin järjestelmiä. Tällaisen Lagrange-järjestelmän konfiguraatioavaruus on nippu aika-akselin yli (erityisesti , jos viitekehys on kiinteä). Klassisessa kenttäteoriassa kaikki kenttäjärjestelmät ovat Lagrangenia. $Q\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $Q=\mathbb {R} \times M$

Järjestyksen Lagrangin tiheys (tai yksinkertaisesti Lagrangian tiheys ) määritellään -muotona , dim nippuosien järjestyksen mukaisessa suihkusarjassa . Lagrangian voidaan ottaa käyttöön osana nipun suihkujakoputkissa olevien ulkomuotojen differentiaaliasteittaisen algebran variaatiokaksoiskompleksia . Tämän kaksoiskompleksin rinnakkaisoperaattori sisältää variaatiooperaattorin , joka vaikuttaessaan määrään siihen liittyvän Euler-Lagrange-operaattorin . Mitä tulee nipun koordinaatteihin ja suihkusarjan vastaaviin koordinaatteihin ( , ), Lagrangian ja Euler-Lagrange -operaattorilla on muoto: $L$ $r$ $n$ $n=$ $X$ $J^{r}Y$ $r$ $Y$ $L$ $O_{\infty }^{*}(Y)$ $Y\to X$ $\delta$ $L$ $\delta L$ $(x^{\lambda },y^{i})$ $Y$ $(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})$ $\Lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})$ $|\Lambda |=k\leq r$ $J^{r}Y$ $L$

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,

\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L} }=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\osittinen _{i }^{\Lambda }{\mathcal {L)),

missä

d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1))\cdots d_{\lambda _{k)),\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\osittaiset _{i}+\cdots ,

tarkoittaa kokonaisjohdannaisia. Esimerkiksi ensimmäisen asteen Lagrange-operaattori ja toisen asteen Euler-Lagrange-operaattori ovat muotoa

L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _ {i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.

Euler-Lagrange-operaattorin ydin määrittelee Euler-Lagrange-yhtälön . $\delta L=0$

Variaatiokaksoiskompleksin kohomologia määrittelee ns. variaatiokaavan

dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},

missä

d_{H}\phi =dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)

on kokonaisdifferentiaali ja on Lagrangian Lepagen vastine . Noetherin ensimmäinen ja toinen lause ovat tämän variaatiokaavan seurauksia. $\Theta _{L}$ $L$

Koska variaatiokaksikompleksi on yleistetty porrastetuiksi monisoiksi , se kuvaa parillisten ja parittomien muuttujien porrastettuja Lagrangin järjestelmiä.

Toisessa muunnelmassa Lagrangian, Euler-Lagrange-operaattori ja Euler-Lagrange-yhtälöt otetaan käyttöön variaatiolaskelman puitteissa .

Katso myös

Kirjallisuus

Olver, P. Valheryhmien sovellukset differentiaaliyhtälöihin, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 ( arXiv:0908.1886 )

Linkit

Sardanashvily, G. , Graded Lagrangian formalismi, Int. G. Geom. Menetelmät Mod. Phys. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508 (linkki ei saatavilla)