Lagrangian

Lagrange , dynaamisen järjestelmän Lagrange-funktio , on yleistettyjen koordinaattien funktio ja kuvaa järjestelmän kehitystä. Esimerkiksi liikeyhtälöt (klassiselle mekaniikalle) tässä lähestymistavassa johdetaan pienimmän toiminnan periaatteesta , joka on kirjoitettu ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ $\ \varphi _{i}(s)$

{\frac {\delta {\mathcal {S))}{\delta \varphi _{i))}=0,

jossa toiminta on toiminnallista ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

a - yleistetyt koordinaatit (esimerkiksi hiukkasten koordinaatit tai kenttämuuttujat), tarkoittaa joukkoa järjestelmäparametreja, klassisen mekaniikan tapauksessa - itsenäisiä spatiaalisia koordinaatteja ja aikaa sekä laajemmin sähköisiä tai muita fysikaalisia parametreja. Nimetty Joseph Louis Lagrangen mukaan . $\varphi _{i}$ $\s_{j}$

Yhtälöt, jotka saadaan asettamalla funktionaalin funktionaalinen derivaatta kaikkiin suuntiin nollaan , ovat identtisiä tavallisten Euler-Lagrange-yhtälöiden kanssa . Dynaamisia järjestelmiä, joiden yhtälöt voidaan saada pienimmän toiminnan periaatteella kätevästi valitulle Lagrange-funktiolle, tunnetaan Lagrangin dynaamisina järjestelminä .

Lagrangin dynaamisista systeemeistä on monia esimerkkejä, jotka vaihtelevat hiukkasfysiikan vakiomallin klassisesta versiosta klassisen mekaniikan Newtonin yhtälöihin ( katso Lagrangin mekaniikka ). Tähän alueeseen kuuluvat myös puhtaasti matemaattiset ongelmat, kuten geodesiikan yhtälöiden löytämisongelma ja Plateau-ongelma .

Legendre-muunnoksen kautta Lagrange liittyy Hamiltonin (jossa momentit otetaan perustana ). Klassisen mekaniikan Hamiltonin muotoilu perustuu Hamiltoniin.

Esimerkki klassisesta mekaniikasta

Lagrangen funktion käsite otettiin alun perin käyttöön klassisen mekaniikan uudelleenmuotoilemiseksi Lagrangin mekaniikkana tunnetussa muodossa . Tässä yhteydessä Lagrange-funktiota pidetään yleensä mekaanisen järjestelmän kineettisen ja potentiaalisen energian erona.

Olkoon avaruuden mitta yhtä suuri kuin kolme ja kirjoitetaan Lagrange-funktio muotoon

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {{\vec {x}}}}^{2}-V({\vec {x}} ),

jossa aikaderivaatta on merkitty pisteellä, joka on differentioituvan suuren yläpuolella, on hiukkasen sädevektori, on sen massa ja on potentiaalienergia. Silloin Euler-Lagrange-yhtälö on ${\vec {x}}$ $m$ $V$

m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,

missä on gradientti . $\nabla V$

Tätä tulosta käyttämällä voidaan helposti osoittaa, että tämä lähestymistapa vastaa Newtonin lähestymistapaa. Kirjoitetaan voima potentiaalina , niin saadaan yhtälö , joka on samanlainen kuin Newtonin yhtälö, jolla on vakiomassa. Yksinkertaiset laskelmat johtavat lauseeseen , joka on Newtonin toinen laki yleistetyssä muodossaan. $F$ ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$ ${\vec {F}}=m{\ddot {{\vec {x}}}}$ ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$

Kolmiulotteiselle järjestelmälle, jonka pallokoordinaatit r , θ, φ Lagrangian kanssa

{\frac {m}{2}}({\piste {r}}^{2}+r^{2}{\piste {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{ 2}\theta {\piste {\varphi }}^{2})-V(r)

seuraavat Euler-Lagrange-yhtälöt voidaan saada:

m{\ddot {r}}-mr({\piste {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\piste {\varphi }}^{2})+V'=0 ,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\piste {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\piste {\varphi }}^{2 }=0,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\piste {\varphi }})=0.

Vapaan hiukkasen klassinen relativistinen Lagrange

Suhteellisuusteoriassa vapaan hiukkasen klassinen (ei-kvantti, joka jättää huomioimatta spinin ) Lagrangian osuu (merkkiin asti) yhteen sen maailmanlinjan pituuden kasvunopeuden kanssa Minkowskin avaruudessa (eli oikean ajan muutosnopeudella ), kerrottuna hiukkasen massalla ja valon nopeuden neliöllä : $m$ $c$

{\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},

missä on hiukkasen tavallinen kolmiulotteinen nopeus. $v$

Tästä Lagrangian seuraa klassista relativististen hiukkasten dynamiikkaa ( relativistinen dynamiikka ).

Lagrangilaiset ja Lagrangian tiheydet kenttäteoriassa

Klassisessa ja kvanttikenttäteoriassa erotetaan Lagrangian L , jonka mukaan toiminta ilmaistaan integraalina vain ajan kuluessa.

S=\int {L\,dt},

ja Lagrangin tiheys , joka on integroitava koko neliulotteisen (ja joissakin teorioissa jopa moniulotteisemman ) aika-avaruuden yli: $\mathcal{L}$

S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.

Tällöin Lagrange on Lagrangin tiheyden avaruusmuuttujien integraali .

Viime aikoina Lagrangin tiheyttä kutsutaan usein yksinkertaisesti Lagrangian; tämä on hyödyllistä relativistisissa teorioissa, koska se on paikallisesti määritelty. Tämä termien määritelmä on ilmeisesti vaihtoehto kappaleen alussa annetulle määritelmälle. Usein erotetaan myös Lagrangen ja Lagrangen funktio, jolloin jälkimmäinen ymmärretään Lagrangenin integraalina avaruuden yli. $\mathcal{L}$

Molemmat Lagrangin määritelmät voidaan saada yleisen määritelmän erikoistapauksina riippuen siitä, sisällytetäänkö tilamuuttujat indeksiin vai parametreihin . Hiukkasfysiikan kvanttikenttäteorioita , kuten kvanttielektrodynamiikkaa , kuvataan yleensä termeillä . Tämä lomake on kätevä, koska se muuttuu nopeasti Feynman-kaavioiden arvioinnissa käytettäviksi säännöiksi . ${\vec x}$ $i$ $s$ $\varphi _{i}(s)$ $\mathcal{L}$

Electromagnetic Lagrangian

Tässä osiossa puhumme puhtaasti klassisesta (ei kvantti) sähködynamiikasta (kvanttielektrodynaaminen Lagrangian kuvataan seuraavissa osioissa), erityisesti mitä sanottiin varautuneesta aineesta, jonka kanssa sähkömagneettinen kenttä on vuorovaikutuksessa - eli sekä vuorovaikutustermi ja itse aineen Lagrangian (vapaan sähkömagneettisen kentän Lagrange on yleensä sama klassisessa ja kvanttiteoriassa).

Sähköstaattinen

Sähköstaattinen fysiikka on staattisten (eli vakioiden) sähkökenttien fysiikka, jota voidaan (likimäärin tai tarkasti) kuvata skalaaripotentiaalilla [1] , ja melko hitaasti liikkuvasta varautuneesta aineesta, joka näin ollen noudattaa newtonilaista mekaniikkaa.

Klassisessa mekaniikassa Lagrangian on

{\mathcal {L}}=TV,

missä on kineettinen energia ja potentiaalienergia. $T$ $V$

Varautuneelle hiukkaselle, jonka massa ja varaus sijaitsevat sähköisessä (sähköstaattisessa) kentässä, jonka skalaaripotentiaali on , kineettinen energia saadaan lausekkeella $m$ $q$ $\varphi \$

T_{s}={1 \yli 2} m{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {v}}

- yhdelle hiukkaselle (monelle summa otetaan).

Kentän vuorovaikutusenergia varautuneen aineen kanssa näyttää tältä

V=q\varphi \

yhden pisteen maksulla (lisää monille),

tai

V=\int \rho \varphi \dxdydz

— jatkuvan maksunjakelun muodossa.

(On hyödyllistä kirjoittaa molemmat tyypit erikseen, vaikka ne tietysti pelkistyvät toisiinsa, jos käytät delta-funktiota ). Kenttäenergia sisältyy kineettisen energian termiin yhdessä hiukkasten kineettisen energian kanssa [2] , kirjoitettuna seuraavasti:

T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,

missä on "voimavakio", joka lopulta tulee osaksi Coulombin lakia . $\varkappa$

Siten sähköstaattisen Lagrangian, joka sisältää varautuneiden hiukkasten (hidastuksen) liikkeen kineettisen energian, on seuraava:

{\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},

(jokainen sen jäsen on kirjoitettu edellä).

Luonnollisesti tätä Lagrangiaa voidaan tarvittaessa täydentää muilla ei-sähköisiä voimia kuvaavilla termeillä, esimerkiksi elastisuusenergialla jne.

Vaihtelemalla toimintaa tässä kappaleessa kuvatulla Lagrangialla [3] , on helppo saada sähköstaattisen kentän yhtälö ( Poissonin yhtälö ):

\nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho

ja hiukkasen liikeyhtälö sähköstaattisessa kentässä (yleensä sama kuin artikkelin alussa olevassa klassisen hiukkasen esimerkissä):

m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .

Elektrodynamiikka

3D sanamuoto

Sähködynamiikan tapauksessa ei tarvitse käyttää klassista potentiaalienergiaa, vaan yleistettyä (nopeuksista riippuen) potentiaalienergiaa (vuorovaikutusenergiaa):

V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,

tai

V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,

missä on valon nopeus , on hiukkasen nopeus, j on virrantiheysvektori , A on vektorin potentiaali . $c$ $v$

Sähkömagneettisen kentän energiaan tulisi sisältyä myös sähköstaattiseen tapaukseen verrattuna myös magneettikentän energia [4] :

T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,

jossa sähkökentän voimakkuuden E ja magneettikentän voimakkuuden H vektorit on katsottava ilmaistuna skalaaripotentiaalina ja vektoripotentiaalina A : $\varphi$

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)),

\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .

Sitten sähkömagneettinen Lagrangian voidaan kirjoittaa muotoon

L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.

tai

L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c)))dxdydz+T_{s}.

Tässä voidaan aineen Lagrangenina käyttää likimääräistä lauseketta hitaille hiukkasille, kuten on kuvattu sähköstatiikkaa käsittelevässä kappaleessa, tai voidaan käyttää (koska sähködynamiikassa, joka ei rajoitu hidasliikkeisiin, tämä on yleisesti ottaen relevanttia ) relativistinen Lagrangian nopeille hiukkasille $T_{s}$

T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}.

Kuten sähköstaattisenkin tapauksessa, tähän Lagrangiaan voidaan tarvittaessa lisätä lisätermejä, jotka kuvaavat ei-sähkömagneettisia voimia, muita kenttiä jne., mikä kuitenkin ylittää sähkömagneettisen Lagrangenin kuvauksen ongelman. Tarkkaan ottaen aineen kineettisen energian kirjoittaminen ylittää myös nämä rajat, mutta kirjoitimme sen niin, että kuvaus säilyttää eheytensä.

Vaihtelemalla toimintaa tällä Lagrangialla φ :ssä ja in (riippumatta kussakin, Lagrangin toisella kirjoitusmuodolla) saadaan Maxwellin yhtälöt ja vaihdettaessa varautuneiden hiukkasten koordinaatteja - käyttämällä ensimmäistä kirjoitustapaa - yhtälöt varautuneiden hiukkasten liikkeestä kentässä, joka vähenee: $A_{x},A_{y},A_{z}$

d{\mathbf p}/dt={\mathbf F}_{L},

jossa p on hiukkasen (kolmiulotteinen) liikemäärä, on Lorentzin voima (mukaan lukien sähkötermi). ${\mathbf F}_{L}$

Kuitenkin yksinkertaisin ja lyhin tapa saada tällainen johdannainen on neliulotteinen formulaatio (katso alla).

Neliulotteinen muotoilu

Neliulotteisessa koostumuksessa sähkömagneettisen kentän Lagrangin tiheys , sen vuorovaikutus varautuneen aineen kanssa ja (kuvan täydentämiseksi) itse aine näyttää tältä (käyttämällä c = 1 yksikköjärjestelmää ):

L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{{ik}}F^{{ik}}+A_{i}j^{i}+L_{s}.

Toinen termi (joka kuvaa vuorovaikutusta) voidaan kirjoittaa uudelleen siten, että vastaava toiminto on:

S_{{int}}=-\int qA_{i}dx^{i}.

( Termi on nopean - yleisessä tapauksessa - hiukkasen Lagrangian tavanomainen tiheys; sitä ei voida kirjoittaa eksplisiittisesti, koska sitä ei tarvita klassiseen teoriaan, koska se tarvitsee sellaisen hiukkasen Lagrangian kirjoitettuna kuten tavallista - katso yllä - eikä sen tiheys) . $L_{s}$

Tässä on sähkömagneettisen kentän tensori (Lagrangian sisältää sen konvoluution, neliön), on 4-potentiaali , on neliulotteinen virrantiheys , on pisteen 4-koordinaatti alueella, jossa integrointi suoritetaan; Einsteinin summaussääntö toistuvan indeksin yli on oletettu . $F^{{ik}}$ $A_{i}$ $j^{i}$ $x^i$

Vaihtelemalla , Maxwellin yhtälöt saadaan helposti neliulotteisessa muodossa: $A_{i}$

\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},

ja vaihtelemalla - hiukkasen liikeyhtälöä: $x^i$

dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,

missä on 4-vauhti , on 4-nopeus . $p_{i}=mu_{i}$ $u^{k}$

Kvanttikenttäteorian Lagrange

Kvanttikenttäteorian (QFT) Lagrange on periaatteessa sama kuin klassinen, lukuun ottamatta tapauksia, joissa on vaikea ottaa käyttöön klassisia analogeja jollekin kenttämuuttujien osalle tai tulkita niitä oikein; kuitenkin silloinkin on yleensä mahdollista, ainakin puhtaasti muodollisesti, saada niin sanotut klassiset liikeyhtälöt käyttämällä yhden tai toisen menetelmän sijaan kentän kvantisoimiseksi tietyllä Lagrangialla stationaarifaasin approksimaatiota ( stationaarinen toiminta ) - eli etsimällä järjestelmän kuvauksen klassinen approksimaatio .

Siten alla kirjoitetut lagrangilaiset eivät ole tietyssä mielessä erityisiä vain vastaavien kenttien kvanttiteorialle; Kuitenkin niitä käytetään QFT:ssä, mikä edustaa tietyssä suhteessa sen perustaa.

Kvanttielektrodynamiikan Lagrangian

Lagrangin tiheys kvanttielektrodynamiikkaan (QED):

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,Dm)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu},

missä on spinori (neliulotteinen), on sen Dirac-konjugaatio , on sähkömagneettisen kentän tensori , D on mittarin kovarianttiderivaata ja on Feynmanin merkintätapa . $\psi$ ${\bar \psi }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu ))$ $\ei \!\,D$ $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$

Diracin lagrangian

Lagrangin tiheys Dirac-kentässä

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\;\partial -m)\psi .

Kvanttikromodynamiikan Lagrangian

Lagrangin tiheys kvanttikromodynamiikkaan [5]

{\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n},

missä on QCD:n kovarianttijohdannainen ja gluonin kentänvoimakkuuden tensori . ${\displaystyle D_{\mu ))$ ${\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu ))$

Välttämätön ja riittävä ehto Lagrange-yhtälön olemassaololle ja ainutlaatuisuudelle

Klassisessa mekaniikassa välttämätön ja riittävä ehto Lagrange-yhtälön olemassaololle ja ainutlaatuisuudelle on [6] . $det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\ oikea\|_{j,k=1}^{n}\neq 0$

Linkit

Christoph Schiller . Globaalit kuvaukset liikkeestä: monimutkaisuuden yksinkertaisuus , Motion Mountain (2005)
David Tong Klassinen dynamiikka (Cambridgen luentomuistiinpanot)

Muistiinpanot

↑ Tässä tietysti tarkoitamme tavallisen kolmiulotteisen avaruuden skalaria, emme Lorentzin muunnosten invarianttia .
↑ Tämän määrää merkki, joka pitäisi saada tuloksena liikeyhtälöissä ja se, että tietyistä syistä halutaan positiivinen kenttäenergia. Kaikki tämä voi olla enemmän tai vähemmän tiukasti perusteltua, mutta rajoitamme tässä vain esitettyihin yksinkertaisiin huomioihin.
↑ Kenttäyhtälön saamiseksi on kätevämpää käyttää vuorovaikutusta Lagrangian ilmaistuna , jotta saadaan hiukkasen liikeyhtälö kentässä - pistehiukkasen sijainnin suhteen (suhteessa ). $\rho$ $q\varphi$
↑ Merkkejä, kuten edellä tehtiin sähköstaattisen kentän osalta, ei käsitellä tässä yksityiskohtaisesti, vaikkakin melko tiukka perustelu on olemassa, rajoittuen jälleen havaintoon, että juuri tällaiset merkit antavat tarvittavat merkit lopputuloksessa. yhtälöt.
↑ Kvanttikromodynamiikka (QCD) . Haettu 21. helmikuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2011. (määrätön)
↑ Aizerman M. A. Klassinen mekaniikka. - M., Nauka, 1980. - s. 165

Kirjallisuus

Historiallisia julkaisuja

J. Lagrange . Analyyttinen mekaniikka. - M. - L .: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1950. - 594 s.

Teoreettisen fysiikan kurssit

Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. - 5. painos, stereotyyppinen. - M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — ("Teoreettinen fysiikka", osa I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Field Theory (Theoretical Physics, osa II ). — M .: Fizmatlit, 2003. — 536 s. — ISBN 5-9221-0056-4 .