Legendan muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 30. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Legendre -muunnos tietylle funktiolle on funktion rakenne, joka on sen Young-duaali. Jos alkuperäinen funktio on määritelty vektoriavaruudessa , sen Legendre-muunnos on funktio, joka on määritelty duaaliavaruudessa eli avaruuden lineaaristen funktionaalisten funktioiden avaruudessa . $f(x)$ $f^{*}(p)$ $V$ $V^*$ $V$

Motivaatio

Mahdollinen motivaatio voidaan ilmaista vähemmän yleisenä määritelmänä. Legendre-muunnos on funktion ja muuttujan korvaus, jossa vanha derivaatta otetaan uudeksi muuttujaksi ja vanha muuttuja uudeksi johdannaiseksi.

Differentiaalin lauseke

df(x)=f'(x)\,dx

johtuen siitä, että , voidaan kirjoittaa muotoon $d(xf')=f'\,dx+x\,df'$

d(xf'-f)=x\,df'.

Jos nyt hyväksymme sen

F=xf'-f,\quad y=f'(x),

joka on sitten Legendren muunnos ${\näyttötyyli (f,x)\to (F,y)}$

dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).

Tässä tapauksessa uusi muuttuja on yhtä suuri kuin vanha derivaatta ja vanha muuttuja on yhtä suuri kuin uusi derivaatta: $y$ $x$

y=f'(x),\quad x=F'(y).

Määritelmät voivat poiketa merkistä . Jos lähdemuuttujia on useampi kuin yksi , Legendre-muunnos voidaan suorittaa mille tahansa niiden osajoukolle. $F$ $x$

Määritelmä

Analyyttinen määritelmä

Vektoriavaruuden osajoukossa määritellyn funktion Legendre-muunnos on funktio , joka on määritelty kaksoisavaruuden osajoukossa kaavalla $f$ $M$ $V$ $f^{*}$ $M^*$ $V^*$

f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M ^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},

missä on vektorin lineaarifunktion arvo . Hilbert-avaruuden tapauksessa tavallinen skalaaritulo . Kohdassa määritellyn differentioituvan funktion erikoistapauksessa siirtyminen liitännäisfunktioon suoritetaan kaavojen mukaan $\langle p,x\rangle$ $s$ $x$ $\langle p,x\rangle$ ${\mathcal R}^{n}$

f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x))=\operaattorinimi {grad} f ,

ja se on välttämätöntä ilmaista läpi toisesta yhtälöstä. $x$ $s$

Geometrinen tunne

Kuperalle funktiolle sen epigrafi on kupera suljettu joukko , jonka rajana on funktion kuvaaja . Funktion epigrafin tukihypertasojen joukko on sen määritelmän luonnollinen alue Legendre-muunnoksensa perusteella.Jos on tukihypertaso (tapauksessamme tangentti) epigrafille, se leikkaa akselin jossakin yksittäisessä pisteessä. Sen -koordinaatti otettuna miinusmerkillä on funktion arvo . $f(x)$ $\operaattorin nimi {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ $f(x)$ $f(x)$ $f^{*}(p).$ $s$ $y$ $y$ $f^{*}(p)$

Vastaavuus määritellään yksiselitteisesti alueella, jossa funktio on differentioituva . Sitten on kaavion tangentin hypertaso pisteessä . Käänteinen vastaavuus määritellään yksiselitteisesti, jos ja vain jos funktio on tiukasti kupera. Tässä tapauksessa referenssihypertason ainoa kosketuspiste funktion kuvaajaan $x\to p$ $f(x)$ $s$ $f(x)$ $x$ $p\to x$ $f(x)$ $x$ $s$ $f(x).$

Jos funktio on differentioituva ja tiukasti kupera, määritetään vastaavuus, joka määrittää funktion differentiaalin hypertasolle pisteessä . Tämä vastaavuus on yksi yhteen ja mahdollistaa funktion määrittelyalueen siirtämisen kovektorien avaruuteen, jotka ovat funktion differentiaaleja . $f(x)$ $p(x)\leftrightarrow df(x),$ $s$ $f(x)$ $x$ $f^{*}(p)$ $V^{*},$ $f(x)$

Satunnaisen ei-kuperan funktion yleisessä tapauksessa Legendre-muunnoksen geometrinen merkitys säilyy. Tukiperiaatteen nojalla epigrafin kupera runko on kaikkien tukihypertasojen määrittelemien puoliavaruuksien leikkauspiste , joten vain epigrafin kupera runko on olennainen Legendren muunnokselle . Näin ollen mielivaltaisen funktion tapaus pelkistyy helposti kuperan tapaukseksi. Funktion ei tarvitse olla edes differentioituva tai jatkuva, vaan sen Legendre-muunnos on silti kupera alempi puolijatkuva funktio. $\varphi$ $\varphi$

Ominaisuudet

Fenchel-Moron lause : kunnollisella konveksilla alemmalla puolijatkuvalla funktiolla f , joka on määritelty refleksiivisessä avaruudessa, Legendre-muunnos on involutiivinen , ts . On helppo nähdä, että jos funktion f konveksi sulkeminen on funktio g , niin f * = g *. Tämä tarkoittaa, että ei-kuperalle funktiolle, jonka kupera sulkeminen on ominaisfunktio, $f^{{**}}(x)=f(x)$ $f^{**}(x)=\operaattorinimi {\overline {co)) f(x)$ , missä on funktion f konveksi sulkeuma . $\operatorname {\overline {co}} f$
Young-Fenchelin epätasa-arvo seuraa suoraan analyyttisestä määritelmästä : $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle$ , ja yhtäläisyys saavutetaan vain, jos p = F ́( x ). (Usein Youngin epäyhtälö on erikoistapaus tästä epäyhtälöstä funktiolle , a > 1.) $F(x)=x^{a}/a$
Variaatiolaskennassa (ja siihen perustuvassa Lagrangian mekaniikassa ) Legendre-muunnosta sovelletaan yleensä muuttujan toiminnan lagrangialaisiin . Lagrangin kuvasta tulee toiminnan H ( t , x , p ) Hamiltonin ja optimaalisten lentoratojen Euler-Lagrange-yhtälöt muunnetaan Hamiltonin yhtälöiksi . $L(t,x,{\piste {x)))$ ${\piste {x}}$
Käyttämällä sitä tosiasiaa , se on helppo osoittaa . $p=\nabla _{x}f$ $\nabla _{p}f^{*}(p)=-x$

Esimerkkejä

Virtatoiminto

Tarkastellaan funktion ( , ) Legendre-muunnosta, joka on määritelty . Parillisen n :n tapauksessa voidaan harkita . $f(x)=x^{n}$ $n>0$ $n\neq 1$ $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R}$

p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.

Täältä me ilmaisemme , saamme ${\näyttötyyli x=x(p)}$

x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.

Yhteensä saamme Legendre-muunnoksen tehofunktiolle :

f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\oikea)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).

On helppo tarkistaa, että toistuva Legendre-muunnos antaa alkuperäisen funktion . $f(x)$

Monien muuttujien funktio

Tarkastellaan seuraavan muodon avaruudessa määriteltyä useiden muuttujien funktiota : $\mathbb {R} ^{n}$

f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.

$A$ todellinen, positiivinen määrätty matriisi, vakio. Ensinnäkin varmistetaan, että kaksoisavaruus, johon Legendre-muunnos määritellään, on sama kuin . Tätä varten meidän on varmistettava, että funktion ääripää on olemassa . $c$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c$

\nabla _{x}\phi =p-2Ax,

\nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.

Matriisin positiivisen määrittelyn ansiosta saamme, että ääripiste on maksimi. Siten jokaiselle on olemassa supremum . Legendre-muunnoksen laskenta suoritetaan suoraan: $A$ $s$

f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.

Sovellukset

Hamiltonin mekaniikka

Lagrangian mekaniikassa järjestelmää kuvaa Lagrange-funktio. Tyypillisessä ongelmassa Lagrange-funktio näyttää tältä:

L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n))$ , tavallisella Euklidisen pistetuotteella. Matriisin katsotaan olevan todellinen, positiivinen määrätty. Siinä tapauksessa, että Lagrange ei ole degeneroitunut nopeuksissa, eli $M$

p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,

voit tehdä Legendre-muunnoksen nopeuksilla ja saada uuden funktion nimeltä Hamiltonin:

H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).

Termodynamiikka

Termodynamiikassa on hyvin usein erilaisia termodynaamisia toimintoja , joiden differentiaali yleisimmässä tapauksessa näyttää tältä

dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Esimerkiksi sisäisen energian erotus näyttää tältä:

dE=T\,dS-P\,dV.

Energia esitetään tässä muuttujien funktiona . Tällaisia muuttujia kutsutaan luonnollisiksi. Esimerkiksi vapaa energia saadaan sisäisen energian Legendre-muunnoksena: $S,V$

F=E-TS,

dF=-S\,dT-P\,dV.

Yleisesti ottaen, jos haluamme siirtyä funktiosta toiseen , meidän pitäisi tehdä Legendre-muunnos: $L=L(x,y,z,\ldots )$ $L=L(X,y,z,\ldots )$

L(X,y,z,\ldots )=L-xX,

dL(X,y,z,\ldots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Kenttäteoria. Legendre-funktionaalinen muunnos

Kvanttikenttäteoriassa käytetään hyvin usein Legendren funktionaalista transformaatiota. Alkuobjekti on kytketyn Greenin funktiot, joita merkitään , jossa on joitain ulkoisia kenttiä. Seuraavaa funktiota kutsutaan Legendre-muunnokseksi kentän A yli [1] : $W(A)$ $A$

\Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.

Integrointimerkkiä ei yleensä kirjoiteta. määritellään seuraavalla lausekkeella [1] : $\alpha$

\alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)))},

$\delta$ tarkoittaa variaatioderivaantaa . Käyttämällä variaatioderivaatan ominaisuutta on helppo johtaa seuraava relaatio, joka yhdistää ja . Todella: $W$ $\Gamma$

\delta (xy)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)))=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \ alfa (z))){\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)))=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y))).

Toisin sanoen funktionaaliset ja merkkiin asti ovat käänteisiä toisilleen. Symbolisesti tämä on kirjoitettu seuraavasti: $W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)))$ $\Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)))$

W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Vasiliev A. N. Funktionaaliset menetelmät kvanttikenttäteoriassa ja tilastotiedoissa. - Leningrad, 1976. - S. 81. - 295 s.

Kirjallisuus

Polovinkin E. S. , Balashov M. V. Konveksin ja vahvasti kuperan analyysin elementit Arkistoitu 1. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa . — M.: FIZMATLIT, 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Vasiliev A. N. Kvanttikenttäteorian ja tilaston toiminnalliset menetelmät. - 1976. - 295 s.