Youngin eriarvoisuus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.6.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Youngin matematiikan epätasa-arvo on Hölderin epätasa-arvon todistuksessa käytetty alkeellinen epätasa -arvo . Kyseessä on yleisemmän Young-Fenchelin epätasa-arvon erikoistapaus.

Sanamuoto

Olkoon ja konjugoituja indikaattoreita (eli numeroita, jotka ). Sitten $a,b\geqslant 0$ $p,q >\!\ 1$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$

ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

Todiste

Sillä tai epätasa-arvo on ilmeinen. Sillä , epäyhtälö seuraa logaritmisen funktion ylöspäin suuntautuvasta kuperuudesta ("konveksiudesta") (tätä ominaisuutta kutsutaan myös koveruudeksi ) : mille tahansa , $a = 0$ $b = 0$ $a>0$ $b>0$ $x_{1}$ $x_2>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$ .

Laittamalla tämän epätasa-arvon , saamme sen $\alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b,$

$\ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q))=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)$ ,

joka vastaa Youngin epätasa-arvoa.

Vaihtoehto

Todiste Young-Fenchelin epätasa-arvon erikoistapauksena. Skalaarifunktiolle Young-Fenchelin epäyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x

missä on funktion Legendre-muunnos . $f^\tähti(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x))$ $f(x)$

Jos laitamme , niin Legendre-muunnos pisteessä antaa $f(x)=x^p/p$ $\bar y=\bar x^{p-1}$

f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q

missä . Korvaamalla saatu epäyhtälö alkuperäisellä epäyhtälöllä saadaan haluttu tulos. $1/q = 1-1/p$

Huomautus

Tasa-arvo saavutetaan jos ja vain jos . $a^p = b^q$

Youngin eriarvoisuus

Sanamuoto

Todiste

Vaihtoehto

Huomautus

Katso myös