Kupera funktio

Konveksi funktio ( kupera ylöspäin suuntautuva funktio ) on funktio , jonka graafin minkä tahansa kahden pisteen välinen jana vektoriavaruudessa ei ole korkeampi kuin graafin vastaava kaari. Vastaavasti: konveksi on funktio, jonka osagraafi on konveksi joukko .

Kovera funktio ( alaspäin kupera funktio ) on funktio, jonka jänne minkä tahansa kaavion kahden pisteen välillä ei ole pienempi kuin graafin muodostettu kaari, tai vastaavasti jonka epigrafi on kupera joukko.

Konveksin ja koveran funktion käsitteet ovat duaalisia , lisäksi jotkut kirjoittajat määrittelevät konveksin funktion koveraksi ja päinvastoin [1] . Joskus väärinkäsitysten välttämiseksi käytetään selkeämpiä termejä: alaspäin kupera funktio ja ylöspäin kupera funktio.

Konsepti on tärkeä klassiseen matemaattiseen analyysiin ja funktionaaliseen analyysiin , jossa konveksifunktioita tutkitaan erityisesti , sekä sovelluksissa, kuten optimointiteoriassa , jossa erikoistunut alaosa on erottuva- konveksi analyysi .

Määritelmät

Tietylle välille (yleensä jonkin vektoriavaruuden kuperalle osajoukolle ) määritetty numeerinen funktio on konveksi, jos millä tahansa kahdella argumentin arvolla ja mille tahansa luvulle Jensenin epäyhtälö pätee : $x$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y) \oikea)

Muistiinpanot

Jos tämä epäyhtälö on tiukka kaikille ja , funktion sanotaan olevan tiukasti kupera . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Jos käänteinen epäyhtälö pätee, funktion sanotaan olevan kovera (vastaavasti tiukasti koveraksi ).
Jos joillekin vahvempi epätasa-arvo pätee $\varepsilon > 0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y) \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

silloin funktion sanotaan olevan vahvasti kupera .

Ominaisuudet

Funktio , joka on kupera välissä, on jatkuva kaikessa , differentioituva kaikessa paitsi korkeintaan laskettavassa pistejoukossa ja kahdesti differentioituva melkein kaikkialla . $f$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$
Mikä tahansa konveksi funktio on alidifferentioitavissa (sillä on alidifferentiaali ) koko määritelmän alueella.
Kuperalla funktiolla on minkä tahansa pisteen läpi kulkeva tukihypertaso .
Jatkuva funktio on konveksi, jos ja vain jos epäyhtälö $f$ ${\mathbb {I}}$ $x,y\in {\mathbb {I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
Yhden muuttujan jatkuvasti differentioituva funktio on konveksi välissä silloin ja vain, jos sen kuvaaja ei ole tähän kuvaajaan piirretyn tangentin ( viitehypertason ) alapuolella missään konveksiteettivälin kohdassa.
Intervallin yhden muuttujan konveksilla funktiolla on vasen ja oikea derivaatta; vasen derivaatta pisteessä on pienempi tai yhtä suuri kuin oikea derivaatta; konveksin funktion derivaatta on ei-pienevä funktio.
Yhden muuttujan kahdesti differentioituva funktio on konveksi välissä silloin ja vain, jos sen toinen derivaatta on ei-negatiivinen tällä välillä. Jos kahdesti differentioituvan funktion toinen derivaatta on tiukasti positiivinen, niin tällainen funktio on tiukasti konveksi, mutta käänteinen ei pidä paikkaansa (esimerkiksi funktio on tiukasti konveksi kohdassa , mutta sen toinen derivaatta pisteessä on nolla) . ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4))$ $\left[-1,1\right]$ $x=0$
Jos funktiot , ovat kuperia, niin mikä tahansa niiden lineaarinen yhdistelmä positiivisilla kertoimilla on myös kupera. $f$ $g$ $af+bg$ $a$ $b$
Konveksin funktion paikallinen minimi on myös globaali minimi (vastaavasti ylöspäin konvekseille funktioille paikallinen maksimi on globaali maksimi).
Mikä tahansa konveksin funktion kiinteä piste on globaali ääriarvo.

Muistiinpanot

↑ Klyushin V. L. Korkeampi matematiikka taloustieteilijöille / toim. I. V. Martynova. - Koulutuspainos. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 s. — ISBN 5-16-002752-1 .

Kirjallisuus

Kuperuus ja koveruus / Telyakovsky S. A. // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
Kupera ja koveruus // Kazakstan. Kansallinen tietosanakirja . - Almaty: Kazakstanin tietosanakirjat , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Venäjän kieli) (CC BY SA 3.0)