Erotettava toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Differentioituva (pisteessä) funktio on funktio , jolla on differentiaali (tietyssä pisteessä). Jossakin joukossa differentioituva funktio on funktio, joka on differentioituva tietyn joukon jokaisessa pisteessä. Erilaistuvuus on yksi matematiikan peruskäsitteistä ja sillä on huomattava määrä sovelluksia sekä matematiikassa itsessään että muissa luonnontieteissä.

Tietyssä pisteessä differentioituvan funktion inkrementti voidaan esittää argumentin lisäyksen lineaarisena funktiona korkeamman pienuuden arvoihin asti. Tämä tarkoittaa, että tietyn pisteen riittävän pienillä lähialueilla funktio voidaan korvata lineaarisella (funktion muutosnopeutta voidaan pitää muuttumattomana). Funktion inkrementin lineaarista osaa kutsutaan sen differentiaaliksi (tietyssä pisteessä).

Tarpeellinen mutta ei riittävä ehto differentiaatiolle on funktion jatkuvuus . Yhden reaalimuuttujan funktion tapauksessa differentiatiivisuus vastaa derivaatan olemassaoloa . Useiden reaalimuuttujien funktion tapauksessa differentiatiivisuuden välttämätön (mutta ei riittävä) ehto on osittaisten derivaattojen olemassaolo kaikkien muuttujien suhteen. Jotta usean muuttujan funktio olisi differentioituva pisteessä, riittää, että osittaiset derivaatat ovat jossain tarkasteltavan pisteen ympäristössä ja ovat jatkuvia annetussa pisteessä. [yksi]

Kompleksisen muuttujan funktion tapauksessa pisteen differentiaatiota kutsutaan usein monogeenisyydeksi ja se eroaa merkittävästi todellisen tapauksen differentiatiivisuuden käsitteestä. Avainrooli tässä on niin sanotulla Cauchy-Riemannin ehdolla . Funktiota, joka on monogeeninen pisteen läheisyydessä, kutsutaan tässä pisteessä holomorfiseksi . [2] [3]

Funktionaalisessa analyysissä on olemassa yleistys erilaistumisen käsitteestä äärettömän ulottuvuuden avaruuden kartoittamiseen - Gateaun ja Fréchet'n derivaatat .

Differentioituvan funktion käsitteen yleistys on alidifferentioituvien , superdifferentioituvien ja kvasidifferentioituvien funktioiden käsite.

Yksimuuttujafunktiot

Yhden muuttujan funktio on differentioituva jossain pisteessä alueellaan, jos on olemassa vakio , joka $f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $x_{0}$ $M$ $a$

f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\ \quad x\to x_{0},

kun taas luku on väistämättä yhtä suuri kuin derivaatta $a$

a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{ 0}}}.

Yhden muuttujan funktio on differentioituva jossakin pisteessä silloin ja vain, jos sillä on äärellinen derivaatta tässä pisteessä. $x_{0}$

Funktion kuvaaja on käyrä tasossa , kun taas lineaarisen funktion kuvaaja $y=f(x)$ $Oxy$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

toimittaa tangentin tälle pisteessä piirretylle käyrälle . $x_{0}$

Esimerkiksi funktio on määritelty ja differentioituva missä tahansa reaalipisteessä, koska se voidaan esittää muodossa $f(x) = x^2$

f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2}

Samanaikaisesti sen derivaatta on , ja pisteeseen piirretyn tangenttiviivan yhtälö on muotoa: . $f'(x_{0})=2x_{0}$ $x_{0}$ $y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})$

Alkufunktiot voivat olla jatkuvia jossain vaiheessa, mutta eivät siinä differentioituvia. Esimerkiksi funktio on jatkuva koko reaaliakselilla, mutta sen derivaatta kokee hypyn kulkiessaan pisteen läpi , jossa tämä funktio ei ole differentioituva. Tässä vaiheessa on myös mahdotonta piirtää tangenttia funktion kuvaajalle. Funktio on myös jatkuva koko reaaliakselilla ja sen kuvaajalla on tangentit kaikissa pisteissä, mutta pisteeseen piirretty tangentti on pystysuora ja siksi funktion derivaatta on äärettömän suuri pisteessä , ja itse funktio on ei erotu tässä vaiheessa. $f(x)=|x|$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$

Perusfunktioiden kaaviot opettavat, että mielivaltainen funktio on erotettavissa kaikkialla paitsi argumentin poikkeuksellisissa ja eristettyissä arvoissa. Ensimmäinen yritys analyyttiseksi todisteeksi tälle väitteelle johtuu Ampèresta [4] , ja siksi sitä kutsutaan Ampèren arveluksi. Tämä väite ei kuitenkaan pidä paikkaansa analyyttisesti esitettävien funktioiden luokassa, esimerkiksi Dirichlet-funktio ei ole edes jatkuva missään pisteessä [5] . On myös mahdotonta pitää mielivaltaista jatkuvaa funktiota differentioituvana, esimerkiksi Weierstrassin funktio on määritelty ja jatkuva koko reaaliakselilla, mutta ei ole differentioituva missään pisteestään [6] . Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että sen kuvaajaan on mahdotonta piirtää tangenttiviivaa missään kohdassa. Amperen arvelua voidaan kuitenkin pitää seuraavan Lebesguen lauseen ei-tiukkana muotoiluna : millä tahansa monotonisella funktiolla on tietty äärellinen derivaatta kaikkialla, paitsi ehkä joitain nollamittausarvoja . [7] $f(x)$ $x$

Useiden muuttujien funktiot

Muuttujien funktio on differentioituva toimialueensa pisteessä, jos on olemassa sellaisia vakioita , että mille tahansa pisteelle $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})$ $M$ $a=(a^{1},\ldots ,a^{n})$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})\in M$

f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+ o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},

missä . $\|x-x_{0}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}$

Tässä merkinnässä toiminto

$A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})$

on funktion differentiaali pisteessä , ja luvut ovat funktion osittaisderivaataita pisteessä , ts. $f(x)$ $x_{0}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n))$ $f(x)$ $x_{0}$

a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i))}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f (x_{0}+he_{i})-f(x_{0})}{h}},

jossa on vektori, jonka kaikki komponentit, paitsi -: s, ovat yhtä suuret kuin nolla ja -:s komponentti on yhtä suuri kuin 1. $e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ $i$ $i$

Jokaisella funktiolla, joka on differentioituva jossakin pisteessä, on kaikki osittaiset derivaatat kyseisessä pisteessä, mutta jokainen funktio, jolla on kaikki osittaiset derivaatat, ei ole differentioitavissa. Lisäksi osittaisten johdannaisten olemassaolo jossain vaiheessa ei edes takaa funktion jatkuvuutta tuossa vaiheessa. Tällaisena esimerkkinä voimme tarkastella kahden muuttujan funktiota, jotka ovat yhtä suuria kuin for ja for . Origossa molemmat osittaiset derivaatat ovat olemassa (yhtä kuin nolla), mutta funktio ei ole jatkuva. $f(x,y)$ $0$ $xy=0$ $yksi$ $xy\neq 0$

Tämä seikka voisi muodostua vakavaksi esteeksi koko useiden muuttujien funktioiden differentiaalilaskennassa, jos ei olisi selvää, että osittaisten derivaattojen jatkuvuus pisteessä on riittävä, jotta funktio olisi tässä pisteessä differentioituva. [yksi]

Esimerkkejä pistetyypeistä, joissa funktio ei ole erotettavissa

Funktio on ei-differoituva kohdassa , esimerkiksi seuraavissa tapauksissa: $f(x)$ $x_{0}$

Piste on epäjatkuvuuspiste , esimerkiksi merkkifunktio ei ole differentioituva nollassa. $x_{0}$

Funktiolla on kulmapiste esimerkiksi kohdassa , funktio ei ole erotettavissa nollasta. $x_{0}$ $|x|$

Funktiolla on pystytangentti, eli se on esimerkiksi ei-differentioituva nollassa. $\lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty$ ${\sqrt[ {3}]{x}}$

Funktio terävöityy esimerkiksi kohdassa , se ei ole erotettavissa nollasta. $x_{0}$ $x^{\frac {2}{3}}$

Nämä tapaukset eivät kuitenkaan kata kaikkia tilanteita, joissa funktio ei ole erotettavissa. Joten esimerkiksi funktio ei kuulu mihinkään näistä tapauksista, mutta se on kuitenkin erotettavissa nollasta. $x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Näyttää

Kuvauksen sanotaan olevan differentioituva määrittelyalueensa pisteessä, jos on olemassa lineaarinen kuvaus pisteestä riippuen siten, että ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$ $M$ ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$

f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0} ,

eli laajentamalla merkkiä "o" small if

\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\ |x-x_{0}\|}}=0

Lineaarinen kuvaus on pisteen kartoituksen differentiaali . ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $f(x)$ $x_{0}$

Jos kartoitus annetaan funktiojoukolla ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$

f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,

silloin sen differentioituvuus pisteessä on yhtä suuri kuin kaikkien funktioiden differentiaatio tietyssä pisteessä, ja sen differentiaalin matriisi on Jacobi-matriisi , joka koostuu näiden funktioiden osittaisderivaataista pisteessä . $x_{0}$ $A$ $x_{0}$

Katso myös

Pompeyn esimerkki on esimerkki differentioituvasta funktiosta, jonka derivaatta katoaa tiheään joukkoon. Erityisesti tällaisen funktion derivaatta on epäjatkuva missä tahansa kohdassa, jossa se ei ole yhtä suuri kuin 0.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Zorich V. A., Matemaattinen analyysi - Mikä tahansa painos, osa 1 luku VIII.
↑ Bitsadze A. V. Kompleksisen muuttujan analyyttisten toimintojen teorian perusteet - M., Nauka, 1969.
↑ Shabat B.V., Johdatus monimutkaiseen analyysiin - M., Nauka, 1969.
↑ Ampère, AM // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii kritiikki di calcolo differentenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. S. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berliini, 1895. Abh. 6.
↑ Kuva. F., S.-Nagy B. Luennot toiminnallisesta analyysistä. M.: Mir, 1979. S. 15.

Courant R. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M. - L .: GNTI, 1931. - T. 2. - S. 60-69.
Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. - M . : Fazis, 1997. - T. 1.