Fréchet-johdannainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. elokuuta 2013 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Fréchetin derivaatta (vahva derivaatta) on derivaatan käsitteen yleistys äärettömän ulottuvuuden Banach-avaruuksiin . Nimi on annettu ranskalaisen matemaatikon Maurice Fréchet'n kunniaksi .

Määritelmä

Olkoon operaattori, joka toimii jostain todellisesta Banach-avaruudesta todelliseen Banach-avaruuteen . $F\colon X\rightarrow Y$ $X$ $Y$

Operaattorin Fréchet-derivaata pisteessä on rajoitettu lineaarinen operaattori siten, että seuraava yhtälö pätee mille tahansa: $F$ $x\in X$ $A\colon X\rightarrow Y$ $h\in X$

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),$

ja suhde on tosi loppu termille : $r_{0}(x,\;h)$

${\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\rightarrow 0$ klo $\|h\|_{X}\rightarrow 0.$

Jos Fréchet-derivaata on olemassa, niin operaattorin sanotaan olevan voimakkaasti differentioituva . Inkrementin lineaarista osaa kutsutaan tässä tapauksessa funktion Fréchet-differentiaaliksi . $F$ $Ah$ $F$

Voidaan osoittaa, että Fréchet-derivaata, kun se on olemassa, on sama kuin Gateaux'n derivaatta .

Ominaisuudet

Olkoon normiavaruuksien kartoituksia. Sitten Fréchet-johdannainen täyttää: $f,g:G\rightarrow Y$

$(f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )$
$(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$ , jossa λ on jokin skalaari kentästä, jonka yli normiavaruudet määritellään.
$(f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )$ .

Katso myös

Kirjallisuus

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal Control — Mikä tahansa painos.