Jatkuva toiminto

Jatkuva funktio - funktio , joka muuttuu ilman välittömiä "hyppyjä" (kutsutaan breaks ), eli funktio, jonka pienet muutokset argumentissa johtavat pieniin muutoksiin funktion arvossa. Jatkuvan funktion kuvaaja on jatkuva viiva .

Jatkuva funktio on yleisesti ottaen synonyymi jatkuvan mappauksen käsitteelle , mutta useimmiten tätä termiä käytetään suppeammassa merkityksessä - lukuavaruuksien välisiin kuvauksiin esimerkiksi reaaliviivalla . Tämä artikkeli on omistettu jatkuville funktioille, jotka on määritelty reaalilukujen osajoukossa ja jotka ottavat todellisia arvoja. Katso tämän käsitteen muunnelma kompleksisen muuttujan funktioille artikkelista Monimutkainen analyysi .

Määritelmä

Anna ja . On olemassa useita vastaavia määritelmiä funktion jatkuvuudelle pisteessä . $D\alajoukko \mathbb {R}$ $f:D\to \mathbb {R}$ $x_{0}\in D$

Määritelmä rajalla : funktio on jatkuva joukon rajapisteessä , jos sillä on raja jossain pisteessä , ja tämä raja on sama kuin funktion arvo : $f$ $x_{0}$ $D$ $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Määritelmä käyttäen ε-δ-formalismia : Funktio on jatkuva pisteessä , jos jollekin on olemassa sellainen, että mille tahansa , $f$ $x_{0}\in D$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x\ in D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Kommentti: Verrattuna Cauchyn mukaiseen funktion rajan määritelmään, jatkuvuuden määritelmässä ei ole vaatimusta, joka velvoittaisi kaikki argumentin arvot täyttämään ehdon , toisin sanoen olemaan erilaisia kuin a.

x

0<\left\vert xa\right\vert

Määritelmä o-symboleilla : funktio on jatkuva pisteessä if $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , klo . $\delta \to 0$
Määritelmä fluktuaatioiden kautta : funktio on jatkuva pisteessä, jos sen vaihtelu tietyssä pisteessä on nolla.

Funktio on jatkuva joukossa, jos se on jatkuva tietyn joukon jokaisessa pisteessä. $f$ $E$

Tässä tapauksessa he sanovat, että luokka toimii ja kirjoittaa: tai tarkemmin, . $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R})$

Katkopisteet

Jos funktion jatkuvuuden määritelmään sisältyvää ehtoa rikotaan jossain vaiheessa, sanotaan, että tarkasteltavana oleva funktio kärsii tässä vaiheessa epäjatkuvuudesta . Toisin sanoen, jos on funktion arvo kohdassa , niin tällaisen funktion raja (jos se on olemassa) ei ole sama kuin . Naapurustöiden kielessä funktion epäjatkuvuusehto pisteessä saadaan negatiivisesti tarkasteltavan funktion jatkuvuusehdon tietyssä pisteessä, nimittäin: funktioalueen pisteellä on sellainen naapuruus, että riippumatta siitä, kuinka lähellä kun tulemme funktioalueen pisteeseen , tulee aina pisteitä , joiden kuvat ovat pisteen läheisyyden ulkopuolella . $A$ $f$ $a$ $A$ $f$ $a$ $A$ $f$ $a$ $f$ $A$

Epäjatkuvuuspisteiden luokitus R¹:ssä

Funktioiden epäjatkuvuuksien luokittelu riippuu siitä, miten joukot X ja Y on järjestetty . Tässä on luokitus yksinkertaisimmalle tapaukselle - . Yksittäiset pisteet (pisteet, joissa funktiota ei ole määritelty) luokitellaan samalla tavalla . On syytä huomata, että luokittelu vaihtelee kirjoittajittain. $f:X\Y:ksi$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Jos funktiolla on epäjatkuvuus tietyssä pisteessä (eli funktion raja tietyssä pisteessä puuttuu tai ei vastaa funktion arvoa tietyssä pisteessä), numeerisiin funktioihin liittyy kaksi mahdollista vaihtoehtoa. jos numeerisille funktioille on olemassa yksipuoliset rajat :

jos molemmat yksipuoliset rajat ovat olemassa ja ovat äärellisiä, niin tällaista pistettä kutsutaan ensimmäisen tyypin epäjatkuvuuspisteeksi . Ensimmäisen tyyppiset epäjatkuvuuskohdat sisältävät irrotettavat epäjatkuvuudet ja hyppyt .
jos ainakin yksi yksipuolisista rajoista ei ole olemassa tai se ei ole äärellinen arvo, niin tällaista pistettä kutsutaan toisen tyyppiseksi epäjatkuvuuspisteeksi . Toisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä ovat navat ja olennaiset epäjatkuvuuspisteet .

Korjattava väli
Taukotyyppi "hyppy"
Yksittäinen "napa"-tyyppinen piste. Jos määritämme funktion uudelleen x=2:lle, saamme "napaisen" epäjatkuvuuden.
Merkittävä taitepiste

Irrotettava keskeytyskohta

Jos funktion raja on olemassa ja se on äärellinen , mutta funktiota ei ole määritelty tässä vaiheessa tai raja ei vastaa funktion arvoa tässä vaiheessa:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

silloin pistettä kutsutaan funktion kertakäyttöisen epäjatkuvuuden pisteeksi ( kompleksianalyysissä se on kertakäyttöinen singulaaripiste ). $a$ $f$

Jos "korjaamme" funktion poistettavan epäjatkuvuuden kohdalla ja laitamme , niin saadaan funktio, joka on jatkuva tässä kohdassa. Tällaista funktion operaatiota kutsutaan funktion määritelmän laajentamiseksi jatkuvaksi tai funktion määritelmän laajentamiseksi jatkuvuudella , mikä oikeuttaa pisteen nimeämisen irrotettavan epäjatkuvuuden pisteenä. $f$ $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Katkopiste "hyppy"

Epäjatkuvuus "hyppy" tapahtuu, jos

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Katkopiste "napa"

"Napa"-epäjatkuvuus tapahtuu, jos yksi yksipuolisista rajoista on ääretön.

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty

tai .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Olennainen taukokohta

Merkittävän epäjatkuvuuden kohdalla ainakin yksi yksipuolisista rajoista puuttuu kokonaan.

Eristettyjen singulaaripisteiden luokitus R n , n>1

Toimintoja varten ei tarvitse työskennellä keskeytyspisteiden kanssa, mutta usein joudut työskentelemään yksittäispisteiden kanssa (pisteet, joissa funktiota ei ole määritelty). Eristettyjen singulaaripisteiden (eli niiden, joissa ei ole muita singulaaripisteitä jossain naapurustossa) luokitus on samanlainen. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Jos , niin se on irrotettava yksikköpiste (samanlainen kuin todellinen argumenttifunktio). $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$
Napa määritellään . Moniulotteisissa tiloissa, jos luvun moduuli kasvaa, katsotaan, että riippumatta siitä, kuinka se kasvaa. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\ to \infty$
Jos rajaa ei ole ollenkaan, se on olennainen singulaaripiste .

Käsite "hyppy" puuttuu. Se, mitä pidetään hyppynä suurempien ulottuvuuksien tiloissa, on olennainen yksittäinen piste. $\mathbb {R}$

Ominaisuudet

Paikallinen

Pisteessä jatkuva funktio on rajoitettu johonkin tämän pisteen ympäristöön. $a$
Jos funktio on jatkuva pisteessä ja (tai ), niin (tai ) kaikille riittävän lähellä . $f$ $a$ $f(a)>0$ $f(a)<0$ $f(x)>0$ $f(x)<0$ $x$ $a$
Jos funktiot ja ovat jatkuvia pisteessä , niin funktiot ja ovat myös jatkuvia pisteessä . $f$ $g$ $a$ $f+g$ $f\cdot g$ $a$
Jos funktiot ja ovat jatkuvia pisteessä ja , niin funktio on jatkuva myös pisteessä . $f$ $g$ $a$ $g(a)\neq 0$ $f/g$ $a$
Jos funktio on jatkuva pisteessä ja funktio on jatkuva pisteessä , niin niiden koostumus on jatkuva pisteessä . $f$ $a$ $g$ $b=f(a)$ $h=g\circf$ $a$

Maailmanlaajuinen

Tasainen jatkuvuuslause : Funktio, joka on jatkuva segmentissä (tai missä tahansa muussa kompaktissa joukossa ), on siinä tasaisesti jatkuva .
Weierstrassin lause funktiosta kompaktissa : segmentillä (tai millä tahansa muulla kompaktilla joukolla ) jatkuva funktio on rajoitettu ja saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa siinä.
Välillä jatkuvan funktion alue on väli, jossa minimi- ja maksimiarvo otetaan väliltä . $f$ $[a,b]$ $[\min f,\ \max f],$ $[a,b]$
Jos funktio on jatkuva aikavälillä ja sitten on kohta , jossa . $f$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=0$
Väliarvolause : jos funktio on jatkuva välissä ja luku täyttää epäyhtälön tai epäyhtälön, silloin on piste , jossa . $f$ $[a,b]$ $\varphi$ $f(a)<\varphi <f(b)$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=\varphi$
Janasta todelliseen suoraan jatkuva kartoitus on injektiivinen , jos ja vain, jos segmentillä annettu funktio on tiukasti monotoninen .
Segmentin monotoninen funktio on jatkuva, jos ja vain jos sen alue on segmentti, jonka päätepisteet ja . $[a,b]$ $fa)$ $f(b)$
Jos funktiot ja ovat jatkuvia janalla , ja ja sitten on olemassa piste , jossa Tästä erityisesti seuraa, että millä tahansa jatkuvalla janan itsensä kartoituksella on ainakin yksi kiinteä piste . $f$ $g$ $[a,b]$ $f(a)<g(a)$ $f(b)>g(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=g(\xi ).$

Esimerkkejä

Perusfunktiot

Mielivaltaiset polynomit , rationaaliset funktiot , eksponentiaaliset funktiot , logaritmit , trigonometriset funktiot (suorat ja käänteiset) ovat jatkuvia kaikkialla määrittelyalueellaan.

Irrotettava katkaisutoiminto

Kaavan antama funktio $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},$

f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases))

on jatkuva missä tahansa pisteessä Piste on epäjatkuvuuspiste, koska funktion raja $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Allekirjoitustoiminto

Toiminto

f(x)=\operaattorin nimi {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

kutsutaan merkkifunktioksi .

Tämä toiminto on jatkuva joka pisteessä . $x\neq 0$

Piste on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste , ja $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

kun taas funktio katoaa itse pisteestä.

Heaviside-toiminto

Heaviside-funktio , joka määritellään nimellä

f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

on jatkuva kaikkialla, paitsi siinä kohdassa, jossa funktio kärsii ensimmäisen tyyppisestä epäjatkuvuudesta. Pisteessä on kuitenkin oikeanpuoleinen raja, joka on sama kuin funktion arvo annetussa pisteessä. Siten tämä funktio on esimerkki oikealta jatkuvasta funktiosta koko määritelmäalueen alueella . $x=0$ $x=0$

Samoin askelfunktio, joka määritellään nimellä

f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

on esimerkki vasemmanpuoleisesta jatkuvasta funktiosta koko verkkotunnuksen alueella .

Dirichlet-funktio

Toiminto

f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases))

kutsutaan Dirichlet-funktioksi . Pohjimmiltaan Dirichlet-funktio on rationaalisten lukujen joukon ominaisfunktio . Tämä funktio on epäjatkuva jokaisessa pisteessä , koska minkä tahansa pisteen mielivaltaisen pienessä ympäristössä on sekä rationaalisia että irrationaalisia lukuja.

Riemannin funktio

Toiminto

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n))\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ gcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

kutsutaan Riemannin funktioksi tai "Thomas-funktioksi".

Tämä funktio on jatkuva irrationaalisten lukujen joukossa ( ), koska funktion raja kussakin irrationaalisessa pisteessä on nolla (jos sarja on , niin välttämättä ). Kaikissa rationaalisissa kohdissa se on epäjatkuva. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\to \infty$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Tasainen jatkuvuus

Funktiota kutsutaan tasaisesti jatkuvaksi , jos jollekin on olemassa sellainen, että kahdelle pisteelle ja sellainen, että , . $f$ $E$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Jokainen joukossa tasaisesti jatkuva funktio on ilmeisesti myös siinä jatkuva. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. Kuitenkin, jos määritelmäalue on kompakti, niin jatkuva funktio osoittautuu myös tasaisesti jatkuvaksi annetulla aikavälillä. $E$

Puolijatkuvuus

On olemassa kaksi ominaisuutta, jotka ovat symmetrisiä keskenään - alempi puolijatkuvuus ja ylempi puolijatkuvuus :

funktion sanotaan olevan alempi puolijatkuva pisteessä , jos jollekin on olemassa naapuruus , joka on sellainen, että mille tahansa ; $f$ $a$ $\varepsilon > 0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$
funktion sanotaan olevan ylempi puolijatkuva pisteessä , jos jollekin on olemassa naapuruus , joka on sellainen, että mille tahansa . $f$ $a$ $\varepsilon > 0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$

Jatkuvuuden ja puolijatkuvuuden välillä on seuraava suhde:

jos otamme funktion , joka on jatkuva pisteessä ja pienennämme arvoa (ääreisellä arvolla), niin saadaan funktio, joka on pienempi puolijatkuva pisteessä ; $f$ $a$ $fa)$ $a$
jos otamme funktion , joka on jatkuva pisteessä ja lisäämme arvoa (äärellisen määrän), niin saadaan funktio, joka on ylempi puolijatkuva pisteessä . $f$ $a$ $fa)$ $a$

Tämän mukaisesti voimme hyväksyä puolijatkuville funktioille äärettömät arvot:

jos , niin oletetaan, että tällainen funktio on alempi puolijatkuva kohdassa ; $f(a)=-\infty$ $a$
jos , niin oletetaan, että tällainen funktio on ylempi puolijatkuva pisteessä . $f(a)=+\infty$ $a$

Yksisuuntainen jatkuvuus

Funktiota kutsutaan jatkuvaksi vasemmalla (oikealla) sen määritelmäalueen pisteessä, jos seuraava yhtäläisyys pätee yksipuoliselle rajalle : $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Jatkuvuus lähes kaikkialla

Reaaliviivalla yksinkertaista lineaarista Lebesguen mittaa pidetään yleensä . Jos funktio on sellainen, että se on jatkuva kaikkialla paitsi ehkä mittajoukossa nolla, niin tällaisen funktion sanotaan olevan jatkuva lähes kaikkialla . $f$ $E$

Siinä tapauksessa, että funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on korkeintaan laskettavissa, saadaan Riemannin integroitavien funktioiden luokka (katso funktion Riemannin integroitavuuskriteeri).

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, osa I. - M .: Fizmatlit, 1984. - 544 s.