Eksponentti funktio

Eksponentiaalinen funktio on matemaattinen funktio , jossa sitä kutsutaan asteen kannaksi ja se on eksponentti . ${\displaystyle f(x)=a^{x))$ $a$ $x$

Tositapauksessa asteen kanta on jokin ei-negatiivinen reaaliluku (negatiivisille luvuille nostoa todelliseen ei-kokonaislukupotenssiin ei ole määritelty), ja funktion argumentti on reaalieksponentti. $a$
Kompleksisten funktioiden teoriassa tarkastellaan yleisempää tapausta, jolloin mielivaltainen kompleksiluku voi olla argumentti ja eksponentti .
Yleisimmässä muodossaan Leibniz esitteli sen vuonna 1695. $u^{v}$

Erityisesti korostuu tapaus, jossa luku e toimii tutkinnon perustana . Tällaista funktiota kutsutaan eksponenttiksi (reaaliksi tai kompleksiseksi). Samaan aikaan, koska mikä tahansa positiivinen kanta voidaan esittää luvun e potenssina, "eksponentin" käsitettä käytetään usein "eksponenttifunktion" käsitteen sijaan. $a$

Todellinen funktio

Eksponentiaalisen funktion määritelmä

Antaa olla ei-negatiivinen reaaliluku, olla rationaalinen luku : . Sitten se määritetään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksien perusteella seuraavien sääntöjen mukaisesti. $a$ $x$ $x={\frac {m}{n}}$ $a^{x}$

Jos , niin . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m))}$
Jos ja , niin sitten . $x=0$ $a\neq 0$ $a^{x}=1$
- Merkitys on määrittelemätön (katso Nolla nollan potenssiin ). $0^{0}$
Jos ja , niin sitten . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- Arvoa ei ole määritetty. $a^{x}$ $x<0,a=0$

Mielivaltaiselle reaaliindikaattorille arvo voidaan määrittää sekvenssin rajaksi $x$ $a^{x}$

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n))

jossa on rationaalilukujen sarja, joka suppenee . Tuo on $\{r_{n}\}$ $x$

\lim _{n\to \infty }r_{n}=x

Ominaisuudet

Eksponenttiominaisuudet:

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy))$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / = ${\displaystyle b^{x))$ ${\näyttötyyli (a/b)^{x))$

Monotoniset intervallit:

Kohteessa , eksponentiaalinen funktio kasvaa kaikkialla, ja: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (kaikille ) $n$
$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

Kun , funktio pienenee vastaavasti ja: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (kaikille ) $n$
$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

Toisin sanoen eksponentiaalinen funktio kasvaa äärettömässä nopeammin kuin mikään polynomi . Suurta kasvuvauhtia voi havainnollistaa esimerkiksi paperin taittoongelmalla .

Käänteinen toiminto:

Analogisesti potenssifunktion juurifunktion käyttöönoton kanssa esittelemme logaritmisen funktion , eksponentiaalisen käänteisfunktion:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( peruslogaritmi )

x

a

Numero e:

Huomaamme eksponentiaalisen funktion ainutlaatuisen ominaisuuden, löydämme (sellaisen luvun , jonka eksponentiaalisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin itse funktio): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $a$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

Kyky määritellä on helppo nähdä lyhenteen jälkeen : $a_{0}$ ${\displaystyle a_{0}^{x))$

{\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx))

Valitsemalla saamme lopulta Eulerin numeron : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n))$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Huomaa, että funktio voidaan esittää eri tavalla sarjana: (kelpoisuus on helppo määrittää termikohtaisella erottelulla): $e^{x}$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{ 3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

Mistä meillä on tarkempi arvio:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}

Numeron ainutlaatuisuus on helppo osoittaa vaihtelemalla . Todellakin, jos se kulkee jossain korkeammalla kuin , niin samalla aikavälillä on alue, jossa . $e$ $e^{x}$ ${\displaystyle e_{1}^{x))$ $e^{x}$ $(e_{1}^{x})'<e^{x}$

Erilaistuminen:

Luonnollisen logaritmifunktion avulla voidaan ilmaista eksponentiaalinen funktio, jolla on mielivaltainen positiivinen kanta eksponentin suhteen. Asteen ominaisuudella: , mistä eksponentin ominaisuudella ja kompleksisen funktion differentiaatiosäännöllä: ${\näyttötyyli \ln \,x:e^{\ln x}=x}$ ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x))$

{\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Epämääräinen integraali:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potentiointi ja antilogaritmi

Potentiointi ( saksasta potenzieren [K 1] ) - luvun löytäminen sen logaritmin tunnetun arvon perusteella [1] eli yhtälön ratkaiseminen . Logaritmin määritelmästä seuraa, että täten potenssiin nostamista voidaan kutsua toisin sanoen "potentioimiseksi kantakohtaisesti " tai eksponentiaalisen funktion laskemiseksi . $\log _{a}x=b$ $x=a^{b}$ $a$ $b$ $b$ $a$ $b$

Luvun x antilogaritmi [2] on potentioimisen tulos, eli luku, jonka logaritmi (tietylle kannalle ) on yhtä suuri kuin luku [2] [3] : $a$ $x$

\operaattorin nimi {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.

Termin "antilogaritmi" otti käyttöön Wallis vuonna 1693 [4] . Itsenäisenä käsitteenä antilogaritmia käytetään logaritmisissa taulukoissa [5] , diasäännöissä , mikrolaskimissa . Esimerkiksi, jos haluat poimia luvun kuutiojuuren logaritmisilla taulukoilla, sinun tulee löytää luvun logaritmi jaettuna 3:lla ja sitten (käyttäen antilogaritmien taulukkoa) löytää tuloksen antilogaritmi. $a$ $a,$

Samoin kuin logaritmit, antilogaritmia kantaluvulle tai 10:lle kutsutaan luonnolliseksi [6] tai desimaaliksi, vastaavasti. $e$

Antilogaritmia kutsutaan myös käänteiseksi logaritmiksi [3] .

Teknisissä laskimissa potentiaatio esitetään tavallisesti kahtena funktiona: ja . $e^{x}$ $10^{x}$

Monimutkainen funktio

Laajentaaksemme eksponentin kompleksitasolle, määritämme sen käyttämällä samaa sarjaa ja korvaamme todellisen argumentin kompleksisella:

e^{z}=\summa _{n=0}^{\infty }{z^{n} \yli n!}=1+z+{z^{2} \yli 2!}+{z^{ 3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots

Tällä funktiolla on samat algebralliset ja analyyttiset perusominaisuudet kuin todellisella funktiolla. Erottamalla todellisen osan kuvitteellisesta osasta sarjassa, saamme kuuluisan Eulerin kaavan : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Tämä tarkoittaa, että kompleksinen eksponentti on jaksollinen imaginaariakselilla:

{\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z))

Eksponentiaalinen funktio, jolla on mielivaltainen kompleksikanta ja eksponentti, on helppo laskea käyttämällä kompleksieksponenttia ja kompleksista logaritmia .

Esimerkki: ; koska (logaritmin pääarvo), saamme lopulta: . $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2))$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vahvistus / Matemaattinen tietosanakirja, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, s. 479.
↑ 1 2 Antilogaritmi / Mathematical Encyclopedic Dictionary , M .: Soviet Encyclopedia, 1988, s. 73.
↑ 1 2 Antilogaritmi / Vinogradov, Mathematical Encyclopedia, Volume 1.
↑ 1600-luvun matematiikka // Matematiikan historia, kolme osaa / Toimittanut A. P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Logaritmiset taulukot / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, s. 330.
↑ Rahoitusvälineet - Tekijättiimi - Google Books . Haettu 8. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2021. (määrätön)

Kommentit

↑ Termin löysi ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Johann Rahn (1659).

Kirjallisuus

Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, osat I, II. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritmi // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa) Treccani