Jensenin eriarvoisuus

Jensenin epäyhtälö on Johann Jensenin esittelemä epäyhtälö , joka liittyy läheisesti konveksin funktion määritelmään .

Formulaatiot

Lopeta tapaus

Olkoon funktio kupera jollain välillä ja olkoon luvut sellaisia, että $f\vasen(x\oikea)$ ${\mathcal X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0

ja .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Sitten, olivatpa välin luvut mitkä tahansa , seuraava epäyhtälö on tosi: $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\mathcal X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

tai

f\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Huomautuksia:

Jos funktio on kovera (kupera ylöspäin), epäyhtälön etumerkki on käänteinen. $\f(x)$
Johann Jensen itse lähti erityisemmästä suhteesta, nimittäin

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, se vastaa tapausta .

q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2))

Todiste

Todistus suoritetaan matemaattisen induktion menetelmällä .

Sillä epäyhtälö seuraa konveksin funktion määritelmästä . $\n=2$
Oletetaan, että se on totta jollekin luonnolliselle luvulle , todistamme, että se on totta , eli $\n$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

Tätä varten korvaamme vasemmalla olevan kahden viimeisen termin summan yhdellä termillä $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}x_{n}+{\ frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\oikea)

;

tämä mahdollistaa epäyhtälön käyttämisen ja varmistaa, että yllä oleva lauseke ei ylitä summaa $\n$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\left({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\oikea)

Jäljelle jää vain soveltaa funktion arvoon viimeisen termin epäyhtälöä . Siten matemaattisen induktion menetelmällä Jensenin epäyhtälö on täysin todistettu. $\n=2$

Geometrinen tulkinta

Piste on vastaava kupera pisteiden yhdistelmä . Konveksin funktion määritelmästä on selvää, että tämän pistejoukon kupera runko osuu yhteen itse joukon kanssa. Tämä tarkoittaa, että kuperan yhdistelmän ominaisuuksista seuraa, että muodostettu piste sijaitsee lueteltujen pisteiden päälle rakennetun monikulmion sisällä esitetyssä järjestyksessä (jos yhdistämme viimeisen ensimmäiseen). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \dots, (x_n, f(x_n))$

On geometrisesti ilmeistä, että tässä tapauksessa piste sijaitsee jonkin muodon viivan yläpuolella . Mutta konveksille funktiolle tällainen suora on määritelmän mukaan funktion kaavion yläpuolella. Tämä tarkoittaa, että piste on tämän kaavion yläpuolella, mikä tarkoittaa, että . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Integraalinen muotoilu

Kuperalle funktiolle ja integroitavalle funktiolle epäyhtälö $\varphi \left(x\oikea)$ $f\vasen(x\oikea)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Todennäköisyyspohjainen muotoilu

Olkoon todennäköisyysavaruus ja sille määritetty satunnaismuuttuja . Olkoon myös kupera (alaspäin) Borel-funktio . Sitten jos , niin sitten $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

missä tarkoittaa matemaattista odotusta . ${\mathbb {E}}[\cdot ]$

Jensenin epäyhtälö ehdolliseen odotukseen

Olkoon edellä lueteltujen oletusten lisäksi tapahtumien ali -σ-algebra . Sitten ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

jossa tarkoittaa ehdollista odotusta σ-algebran suhteen . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\mathcal {G}}$

Erikoistapaukset

Hölderin epätasa-arvo

Antaa , jossa (kupera funktio). Meillä on $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\oikea)^{k}\leq \sum _{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

, ja

\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Merkitään , missä on mielivaltaisia positiivisia lukuja, niin epäyhtälö kirjoitetaan muotoon $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots ,p_{n}$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\oikea)^{k}\leq \left(\sum _{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\oikea)^{{k-1}}\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Korvaamalla tämän sanalla ja :lla saadaan tunnettu Hölder-epäyhtälö : $\p_{i}$ $\ b_{i}^{{{\frac {k}{k-1))))$ $\x_{i}$ ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{{{\frac {1}{k-1}}}}}}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\oikea)^{{\frac {1}{k}}}\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}}\oikea)^{{\frac {k-1}{k}}}

Cauchyn epäyhtälö

Olkoon (kovera funktio). Meillä on $\f(x)=\ln x$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{{i=1}}^{{n} }{q_{i}x_{i}}\oikea)

, tai , tehostaa saamme .

\ln \prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

Erityisesti, kun saamme Cauchyn epäyhtälön ( geometrinen keskiarvo ei ylitä aritmeettista keskiarvoa ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Epäyhtälö harmonisen ja geometrisen keskiarvon välillä

Olkoon (kupera funktio). Meillä on $\ f(x)=x\ln x$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Laitetaan ja tehostetaan, saamme

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ minä}}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( harmoninen keskiarvo ei ylitä geometristä keskiarvoa )

Epäyhtälö harmonisen ja aritmeettisen keskiarvon välillä

Olkoon (kupera funktio). Meillä on $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

Erityisesti saamme aikaan, että harmoninen keskiarvo ei ylitä aritmeettista keskiarvoa : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}{n}}

Katso myös

Kirjallisuus

Zorich V. A. Ch. V. Differentiaalilaskenta // Matemaattinen analyysi. Osa I. - 6. painos. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Funktioiden tutkiminen derivaattojen avulla // Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - 8. painos - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. -5000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0156-0 .