Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Aritmeettinen keskiarvo, geometrinen keskiarvo ja harmoninen keskiarvo epäyhtälö sanoo, että kaikille ei-negatiivisille luvuille epäyhtälö on totta: $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {aritm} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {geom } }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {harmon} },

ja tasa-arvo saavutetaan jos ja vain jos . ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n))$

Tämä epäyhtälö on keskimääräisen epätasa-arvon (Cauchyn epäyhtälö) erikoistapaus.

Määritelmät

Ilmaisu

{\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\ frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}

kutsutaan lukujen aritmeettiseksi keskiarvoksi . $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$

Ilmaisu

{\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={ \sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}

kutsutaan lukujen geometriseksi keskiarvoksi . $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$

Ilmaisu

{\bar {x}}_{\mathrm {harmon} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}} ))}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_ {n}}}}}

kutsutaan numeroiden harmoniseksi keskiarvoksi . $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$

Ilmaisu

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt ({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i} ^{2))))={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}

kutsutaan lukujen keskimääräiseksi neliöksi . $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$

Aiheeseen liittyvät tulokset

Aritmeettisen keskiarvon ja geometrisen keskiarvon välinen epäyhtälö on keskiarvoeron erikoistapaus .
Cauchyn epäyhtälö yleistetyssä muodossa muodosti geometrisen ohjelmoinnin perustan .
Carlemanin eriarvoisuus .

Historia

Cauchy julkaisi yhden todisteen tästä epätasa-arvosta laskennan oppikirjassaan vuonna 1821 [1] .

Todiste

Jos n = 2

Tämän epäyhtälön todistusten määrä on tällä hetkellä verrattavissa ehkä vain Pythagoraan lauseen todisteiden määrään. Annamme kotelolle kauniin geometrisen todisteen . Olkoon meille annetaan kaksi segmenttiä pituus ja . Sitten rakennamme halkaisijaltaan ympyrän (katso kuva 1). Merkitse yhdestä halkaisijan päästä piste etäisyydeltä . Piirretään halkaisijaan nähden kohtisuora tämän pisteen läpi; tuloksena viiva leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä, ja . Harkitse tuloksena olevaa sointua. Kolmio on suorakulmainen, koska kulma on piirretty ympyrään ja perustuu sen halkaisijaan, mikä tarkoittaa, että se on suora. Joten, on kolmion korkeus ja suorakulmaisen kolmion korkeus on hypotenuusan kahden segmentin geometrinen keskiarvo . Joten . Samoin kolmiosta saamme, että Siksi . Koska on ympyrän jänne, jonka halkaisija on , ja jänne ei ylitä halkaisijaa, saamme, että , Tai . Huomaa, että tasa-arvo on, kun jänne osuu halkaisijaan, eli kun . $n = 2$ $a$ $b$ ${\näyttötyyli a+b}$ $M$ $a$ $C$ $C_{1}$ $ABC$ $C$ $CM$ $ABC$ $CM={\sqrt {ab}}$ $ABC_{1}$ $C_{1}M={\sqrt {ab))$ $CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab))$ $CC_{1}$ ${\näyttötyyli a+b}$ $2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b$ ${\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}$ $a=b$

Algebrallinen todistus voidaan rakentaa seuraavasti:

{\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}\;\Leftrightarrow \;(a+b)^{2}\geqslant 4ab\;\Leftrightarrow \;(ab )^{2}\geqslant 0

Huomaa, että ensimmäinen siirtymä on ekvivalentti johtuen ja ei- negatiivisuudesta . $a$ $b$

Jos n = 4

Riittää laittaa sekä . Todistetun perusteella on helppo nähdä, että $\alpha ={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},\;\beta ={\frac {a_{3}+a_{4}}{2}}$ $\alpha '={\sqrt {a_{1}a_{2}}},\;\beta '={\sqrt {a_{3}a_{4}}}$

{\frac {\alpha +\beta }{2))\geqslant {\sqrt {\alpha \beta ))\geqslant {\sqrt {\alpha '\beta '))\;\Leftrightarrow \;{ \frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3} a_{4}}}

Induktiolla taaksepäin askeleella

Ilmeisesti siirtyminen 2:sta 4:ään induktion avulla merkitsee epätasa-arvon pätevyyttä :lle , ja sille, josta olemme kiinnostuneita, on . Olettaen, että epäyhtälö on totta , todistamme sen pätevyyden . Tätä varten riittää, että laitat sitten $N=2^{k}$ $n$ $k:N\geqslant n$ $N$ $N-1$ ${\displaystyle a_{N}={\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1))))$

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N}} }\;\nuoli vasen oikealle \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}+{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1)) }}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}}\;\nuoli vasen oikealle \;

a_{1}+\ldots +a_{N-1}\geqslant (N-1){\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1 }}}\;\nuoli vasen oikealle \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}}{N-1}}\geqslant {\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \ cdot a_{N-1}}}

Induktioperiaatteella yllä oleva todiste pätee myös . $n$

Suora todiste

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_ {n}}{n}}}

Jaetaan epäyhtälön molemmat puolet arvolla ja tehdään muutos . Silloin edellytyksin on todistettava, että (1). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}$

Käytetään matemaattisen induktion menetelmää .

Meidän on todistettava, että jos , niin . Käytämme epäyhtälöä (1), jonka katsomme induktiivisen oletuksen perusteella todistetuksi . Olkoon , ja valitse jonosta ( ) kaksi termiä siten, että , (nämä on täsmälleen olemassa, koska ). Tällöin molemmat ehdot täyttyvät ja epäyhtälö tai oletetaan todistetuksi . Korvataan nyt tunnuksella . Tämä voidaan tehdä sen vuoksi, että tai , joka luonnollisesti pätee, koska . Siten epätasa-arvo on todistettu. $m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n+1}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n+1}= yksi$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n+1}\geq n+1$ $n$ $y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1}$ $mi$ $m_{n}\geq 1$ $m_{n+1}\leq 1$ $m_{i}>0,m_{1}*m_{2}*...*m_{n+1}=1$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geq n$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geq n$ $m_{n}m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1$ $m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0$ $m_{n}(1-m_{n+1})-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0$

Heijastus kulttuurissa

Jakso, jossa todistetaan, että aritmeettinen keskiarvo on suurempi kuin geometrinen keskiarvo, esiintyy yhdessä elokuvan " Hearts of Four " kohtauksista vuonna 1941.

Muistiinpanot

↑ Cauchy, Augustin-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Ensi-iltajuhlat. Analysoi algebrique . - Pariisi, 1821. - S. 457-459 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. maaliskuuta 2017.

Kirjallisuus

Solovjov Yu. Augustin Louis Cauchy ja matemaattinen induktio // Kvant . - 1991. - Nro 3 . - S. 13-14 .

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
muu	Jakelukeskuksen mittarit