Tehon keskiarvo

d tehokeskiarvo ( tai yksinkertaisesti tehokeskiarvo ) on eräänlainen keskiarvo . Positiivisten reaalilukujen joukolle määritellään seuraavasti $x_{1},\ldots,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ i}^{d}}{n}}}.

Samanaikaisesti indikaattorin d jatkuvuusperiaatteen mukaisesti määritetään seuraavat arvot:

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.

Tehokeskiarvo on Kolmogorovin keskiarvon erikoistapaus .

Käsitteen "tehon keskiarvo" ohella käytetään myös joidenkin määrien painotettua tehokeskiarvoa .

Muut otsikot

Koska d -asteen keskiarvo yleistää antiikin (ns. Arkhimedeen) keskiarvot, sitä kutsutaan usein yleistetyksi keskiarvoksi .

Minkowskin ja Hölderin eriarvoisuuksien yhteydessä tehokeskiarvolla on myös nimet: Hölderin keskiarvo ja Minkowskin keskiarvo .

Erikoistapaukset

Keskimääräiset asteet 0, ±1, 2 ja niillä on omat nimensä: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ kutsutaan aritmeettiseksi keskiarvoksi ;

(toisin sanoen: n luvun aritmeettinen keskiarvo on niiden summa jaettuna n :llä )

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ kutsutaan geometriseksi keskiarvoksi ;

(toisin sanoen: n luvun geometrinen keskiarvo on näiden lukujen tulon n -juuri )

$A_{{-1))(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 }{x_{2))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n))))}$ kutsutaan harmoniseksi keskiarvoksi .

(toisin sanoen: numeroiden harmoninen keskiarvo on niiden käänteislukujen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ kutsutaan keskinelioksi (neliö) , joka tunnetaan myös lyhenteellä RMS (root-mean-square).
Tilastokäytännössä käytetään myös kolmannen ja korkeamman asteen potenssilain keskiarvoja. Yleisimmät näistä ovat keskimääräiset kuutio- ja keskimääräiset kaksikvadraattiset arvot.
Suurin ja pienin luku positiivisten lukujen joukosta ilmaistaan näiden lukujen potenssien keskiarvona: $+\infty$ $-\infty$

\operaattorinnimi {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n});

\operaattorinnimi {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Epätasa-arvo tarkoittaa

Keskimääräinen epätasa -arvo sanoo, että mille tahansa $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})

Lisäksi tasa-arvo saavutetaan vain, jos kaikki argumentit ovat samanarvoisia . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Keskimääräisen epäyhtälön osoittamiseksi riittää, kun osoitetaan, että suhteessa oleva osittaisderivaata on ei-negatiivinen ja katoaa vain kohdassa (esimerkiksi Jensenin epäyhtälön avulla ), ja sitten sovelletaan äärellistä lisäyskaavaa . $A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Epäyhtälö aritmeettisesta, geometrisesta ja harmonisesta keskiarvosta

Erikoistapaus keskiarvojen epäyhtälöstä on aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö

\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},

jossa jokaisesta eriarvoisuudesta tulee tasa-arvo vain . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Katso myös

Schweitzerin epätasa-arvo

Linkit

I. I. Zhogin. Tietoja keskiarvoista // Matemaattinen koulutus . Toinen sarja. - 1961. - Numero. 6 . - S. 217-226 .

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
muu	Jakelukeskuksen mittarit