Schweitzerin epätasa-arvo

Schweitzerin eriarvoisuus sanoo seuraavaa

Kaikille reaaliluvuille , jotka kuuluvat väliin , jossa , pätee seuraava epäyhtälö: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

Lisäksi, jos outoa, niin $\;n$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac {(mM)^{2}}{4mM}}.

Historia

Tämä epätasa-arvo julkaistiin vuonna 1914 unkarilaisen matemaatikko Miklós Schweitzerin artikkelissa [1] . Tästä artikkelista on englanninkielinen käännös [2] :n liitteessä . Koska harvat tunsivat Schweitzerin artikkelin ennen englanninkielisen käännöksen ilmestymistä, epäyhtälö (sen toinen osa) liitetään [3] yleensä Alexandru Ioan Lupašin nimeen , joka todisti [4] tämän epätasa-arvon lähes 60 vuotta myöhemmin kuin Schweitzer.

Ekvivalenttiepäyhtälöt

( V. Sierpinski [5] ) Mahdollisille positiivisille luvuille , $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\oikea)^{n}n^{2} ,

jossa A ja G ovat aritmeettinen keskiarvo ja vastaavasti geometrinen keskiarvo . $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

Seuraukset

( O. Shisha [6] ) Kaikille segmenttiin kuuluville reaaliluvuille , missä , epäyhtälö on tosi: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). Reaaliluvut kuuluvat väliin , jossa . Ehdolla ja seuraava epätasa-arvo pätee: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\oikea)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Yleistykset

Kantorovichin

Muistiinpanot

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (neopr.) // Math. es. Phys. Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Hung.) ("Epäyhtälö, joka sisältää aritmeettisen keskiarvon")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Jotkut kommentit kuudesta epäyhtälöstä, jotka liittyvät tavallisten pienimmän neliösumman tehottomuuteen yhdellä regressorilla // Lineaarinen algebra ja sen sovellus. : päiväkirja. - 1997. - Voi. 264 . - s. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Klassiset ja uudet epätasa-arvot analyysissä. Matematiikka ja sen sovellukset . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - Voi. 61. - (East European Series).
↑ Lupaş A. Huomio Schweitzerin ja Kantorovichin epätasa-arvosta (neopr.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Beograd Ser. Matto. i Fiz .. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (saksa) // Warsch. Sitzungsber. : myymälä. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Saksan kieli)
↑ Shisha O. Epäyhtälöt I . - New York-Lontoo, 1967. - S. 293-308.

Lähde

A. Khrabrov. Schweitzerin epätasa-arvo // La. Pietarin matematiikan koululaisten olympialaisten tehtävät, 2005. Nevskin murre, 2005. - S. 89--96 .. Arkistoitu 20. toukokuuta 2006.