Extreem

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Ekstreemi ( lat. extremum - äärimmäinen) matematiikassa - funktion enimmäis- tai minimiarvo tietyssä joukossa . Pistettä, jossa ääripiste saavutetaan, kutsutaan ääripisteeksi . Vastaavasti, jos minimi saavutetaan, ääripistepistettä kutsutaan minimipisteeksi ja jos maksimipisteeksi kutsutaan maksimipistettä . Matemaattisessa analyysissä erotetaan myös paikallisen ääripään (vastaavasti minimi tai maksimi) käsite .

Ekstreemumin löytämisen ongelmat syntyvät kaikilla ihmistiedon aloilla: automaattisen ohjauksen teoriassa , taloustieteen , biologian , fysiikan ongelmissa jne. [1]

Määritelmät

Olkoon funktio ja määritelmäalueen sisäpiste _ $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ kutsutaan funktion paikalliseksi maksimipisteeksi, jos on olemassa sellainen lävistetty ympäristö $f,$ ${\piste {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ kutsutaan funktion paikalliseksi minimipisteeksi, jos on olemassa sellainen lävistetty ympäristö $f,$ ${\piste {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

$x_{0}$ kutsutaan globaaliksi (absoluuttiseksi) maksimipisteeksi, jos $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ kutsutaan globaaliksi (absoluuttiseksi) minimipisteeksi, jos $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Jos yllä olevat epäyhtälöt ovat tiukkoja, sitä kutsutaan tiukan paikallisen tai globaalin maksimi- tai minimipisteeksi. $x_{0}$

Funktion arvoa kutsutaan (tiukkaksi) paikalliseksi tai globaaliksi maksimi- tai minimiarvoksi. Pisteitä, jotka ovat (paikallisen) maksimin tai minimin pisteitä, kutsutaan (paikallisen) ääripään pisteiksi. $f(x_{0})$

Huomautus

Joukkoon määritetyllä funktiolla ei saa olla paikallista tai globaalia ääripäätä. Esimerkiksi, $f,$ $M,$ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Paikallisten ääripäiden olemassaolon välttämättömät ehdot

Fermatin lemasta [ 2] seuraa seuraavaa :

Olkoon piste jossain pisteen ympäristössä määritellyn funktion ääripistepiste .

x_{0}

f

x_{0}

Tällöin joko johdannaista ei ole olemassa tai .

f'(x_{0})

f'(x_{0})=0

Nämä ehdot eivät ole riittäviä, joten funktiolla voi olla nolladerivaata pisteessä, mutta tämä piste ei välttämättä ole ääripiste, vaan se voi olla esimerkiksi käännepiste , kuten funktion piste (0,0) . $f(x)=x^{3}$

Riittävät olosuhteet paikallisten ääripäiden olemassaololle

Olkoon funktio jatkuva in ja on olemassa äärellisiä tai äärettömiä yksipuolisia derivaattoja . Siis ehdolla $f\in C(x_{0})$ $x_{0}\in M^{0},$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0

$x_{0}$ on tiukan paikallisen maksimin piste. Mitä jos

f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,

silloin on tiukka paikallisen minimin piste. $x_{0}$

Huomaa, että tässä tapauksessa funktio ei välttämättä ole differentioituva pisteessä . $x_{0}$

Olkoon funktio jatkuva ja kahdesti differentioituva pisteessä . Siis ehdolla $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0

f''(x_{0})<0

$x_{0}$ on paikallinen maksimipiste. Mitä jos

f'(x_{0})=0

f''(x_{0})>0

joka on paikallinen minimipiste. $x_{0}$

Olkoon funktio differentioituva kertaa pisteessä ja , ja . $f$ $n$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\pisteet =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ $f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$

Jos ja on parillinen , Silloin on paikallinen maksimipiste. Jos ja on parillinen , niin on paikallinen minimipiste. Jos outoa, ääripäätä ei ole. $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ $x_{0}$ $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ $x_{0}$ $n$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vehnä, 1969 , s. 7.
↑ Kudrjavtsev L. D. Matemaattinen analyysi. - 2. painos - M . : Korkeakoulu , 1973. - T. 1.

Kirjallisuus

Vehnä B.N. Ekstreemin välttämättömät olosuhteet. - M .: Nauka, 1969. - 150 s.