Automaattisen ohjauksen teoria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Automaattisen ohjauksen teoria ( TAU ) on tieteellinen tieteenala , joka tutkii erilaisten fysikaalisten kohteiden automaattisen ohjauksen prosesseja. Samalla paljastetaan matemaattisten keinojen avulla automaattisten ohjausjärjestelmien ominaisuuksia ja laaditaan suosituksia niiden suunnitteluun.

Se on olennainen osa teknistä kybernetiikkaa ja on tarkoitettu kehittämään automaattisen ohjauksen yleisiä periaatteita sekä teknisten kohteiden automaattisten ohjausjärjestelmien (ACS) analysointimenetelmiä (toiminnan tutkimus) ja synteesimenetelmiä (parametrien valinta) .

Tässä teoriassa vain ohjausobjektien signaalimuunnosten luonteella [1] on merkitystä.

Historia

Ensimmäistä kertaa tietoa automaateista ilmestyi aikakautemme alussa Aleksandrian Heronin teoksissa " Pneumatiikka " ja " Mekaniikka ", jotka kuvaavat Heronin itsensä ja hänen opettajansa Ctesibiuksen luomia automaatteja : pneumaattista automaattia ovien avaamiseen. temppeli, vesiurut, pyhän veden myyntiautomaatti jne. Heronin ideat olivat paljon aikaansa edellä eivätkä löytäneet käyttöä hänen aikakautensa.

Keskiajalla jäljitelmä "android" -mekaniikka saavutti merkittävää kehitystä, kun mekaaniset suunnittelijat loivat joukon automaatteja, jotka matkivat yksittäisiä ihmisen toimia, ja vaikutelman parantamiseksi keksijät antoivat automaateille ulkoisen samankaltaisuuden henkilöä ja kutsuivat niitä " androidit ", eli humanoidi. Tällä hetkellä tällaisia laitteita kutsutaan roboteiksi , toisin kuin automaattisilla ohjauslaitteilla, joita käytetään laajalti kaikilla ihmisen toiminnan osa-alueilla, joita kutsutaan automaateiksi.

1200-luvulla saksalainen filosofi ja alkemisti Albert von Bolstadt rakensi robotin avaamaan ja sulkemaan ovia.

Erittäin mielenkiintoisia androideja luotiin XVII-XVIII vuosisatojen aikana. 1700-luvulla sveitsiläiset kellosepät Pierre Droz ja hänen poikansa Henri loivat mekaanisen kirjurin, mekaanisen taiteilijan ym. Kaunis automaatioteatteri syntyi 1700-luvulla. Venäläinen itseoppinut mekaanikko Kulibin . Hänen teatterinsa, jota pidetään Eremitaasissa , on sijoitettu "munahahmokelloon".

Sen lapsenkengissä monet automaattisen ohjauksen teorian säännökset sisältyvät (Lineaaristen) säätimien teoriaan, joka kehitettiin pääasiassa vuosina 1868-1876 Maxwellin ja Vyshnegradskyn teoksissa . Vyshnegradskyn perusteokset ovat: "Sääntelyviranomaisten yleisestä teoriasta", "Epäsuoran toiminnan säätelijöistä". Näistä töistä löytyy nykyaikaisten suunnittelumenetelmien alkuperä sääntelyn vakauden ja laadun tutkimiseksi.

Erinomaisen Neuvostoliiton matemaatikon Andrei Markovin (nuorempi) , Neuvostoliiton konstruktivistisen matematiikan koulukunnan perustajan, algoritmien teoriaa ja matemaattista logiikkaa käsittelevien teosten kirjoittaja, teoksilla oli ratkaiseva vaikutus kotimaisen tutkimusmenetelmän kehitykseen. automaattisen ohjauksen teoria . Nämä tutkimukset ovat löytäneet sovelluksen akateemikko Lebedevin tieteellisessä ja käytännön toiminnassa sotilaallisissa aiheissa - torpedojen automaattisessa ohjauksessa ja aseiden ohjauksessa sekä suurten energiajärjestelmien vakaudessa .

1900 - luvun alussa ja ensimmäisellä vuosikymmenellä automaattisen ohjauksen teoria on muodostumassa yleiseksi tieteenalaksi, jolla on useita sovellettavia osia.

Peruskäsitteet

Automaatio on tieteen ja teknologian ala, joka kattaa automaattisen ohjauksen teorian ja käytännön sekä automaattisten järjestelmien rakentamisen periaatteet ja niitä muodostavat tekniset välineet.

Ohjausobjekti (OC) on laite, fyysinen prosessi tai joukko prosesseja, joita on ohjattava halutun tuloksen saavuttamiseksi. Vuorovaikutus käyttöjärjestelmän kanssa tapahtuu soveltamalla ohjaustoimintoa sen ehdolliseen tuloon (joka korjaa käyttöjärjestelmässä tapahtuvia prosesseja), kun taas lähtö on muuttunut parametri (joka on prosessin seuraus).

Ohjaus on ohjausobjektin tuloon kohdistettu vaikutus (signaali), joka varmistaa ohjausobjektissa sellaisen prosessivirran, joka varmistaa määritellyn ohjaustavoitteen saavuttamisen sen lähdössä.

Tavoitteena on haluttu prosessivirta ohjausobjektissa ja halutun muutoksen saaminen parametriin sen lähdössä.

Objektit:

onnistui
hallitsematon

Automaattinen ohjausjärjestelmä (ACS) sisältää ohjausobjektin ja ohjauslaitteen.

Ohjauslaite (CU) on joukko laitteita, jotka ohjaavat ohjausobjektin tuloja.

Sääntely on ohjauksen erikoistapaus, jonka tarkoituksena on säilyttää yksi tai useampi ohjausobjektin lähtö tietyllä tasolla.

Regulator - muuntaa ohjausvirheen ε(t) ohjausobjektiin saapuvaksi ohjaustoiminnoksi.

Asetustoiminto g(t) määrittää vaaditun lähtöarvon säädön.

Säätövirhe ε(t) = g(t) - y(t), säädettävän muuttujan vaaditun arvon ja sen nykyisen arvon välinen ero. Jos ε(t) on muu kuin nolla, tämä signaali syötetään säätimen tuloon, joka synnyttää sellaisen ohjaustoiminnon, että lopulta ε(t) = 0 ajan myötä.

Häiritsevä toiminta f(t) on ohjausobjektin sisääntulossa oleva prosessi, joka estää ohjauksen.

Automaattiset ohjausjärjestelmät:

Avata:

ohjelman ohjausjärjestelmä. CU suorittaa ohjaustoimenpiteen saamatta tietoa järjestelmän tilasta minkään merkkien, aikaohjelman perusteella (yksinkertaisuus ja lisääntynyt luotettavuus, ohjauksen heikko laatu);
SU on närkästynyt. CU generoi ohjaustoiminnon järjestelmään kohdistuvan häiritsevän vaikutuksen suuruuden perusteella.

Suljettu: CU luo ohjaustoiminnon valitun parametrin kohteen tilasta mitatun tiedon perusteella.
Yhdistetty järjestelmä: CU generoi ohjaustoimenpiteen kohteen parametrien ja häiritsevän toiminnan tiedon perusteella.

Toiminnalliset kaaviot

Elementin toiminnallinen kaavio - kaavio automaattisesta säätö- ja ohjausjärjestelmästä, joka on koottu tämän elementin suorittaman toiminnon mukaan.

Lähtösignaalit ovat parametreja, jotka kuvaavat ohjausobjektin tilaa ja ovat tärkeitä ohjausprosessille.

Järjestelmän lähdöt ovat järjestelmän pisteitä, joissa lähtösignaaleja voidaan havaita tiettyjen fyysisten suureiden muodossa.

Järjestelmän tulot ovat järjestelmän kohtia, joissa ulkoiset vaikutteet vaikuttavat.

Tulosignaalit:

häiriöt - signaalit, jotka eivät liity tietolähteisiin hallinnan tehtävistä ja tuloksista.
hyödyllinen - tietolähteisiin liittyvät signaalit johtamisen tehtävistä ja tuloksista.

Järjestelmät:

yksiulotteinen - järjestelmät, joissa on yksi tulo ja yksi lähtö.
moniulotteinen - järjestelmät, joissa on useita tuloja ja lähtöjä.

ACS-ohjausperiaatteet

Takaisinkytkentä on yhteys, jossa lähtömuuttujan todellinen arvo sekä säädettävän muuttujan asetusarvo syötetään säätimen tuloon .

kova - sellainen käyttöjärjestelmä, jossa ohjaimen tulo vastaanottaa signaalin, joka on verrannollinen kohteen lähtösignaaliin milloin tahansa.
joustava - sellainen käyttöjärjestelmä, jossa ohjaimen tulo ei vastaanota vain kohteen lähtösignaaliin verrannollista signaalia, vaan myös signaalin, joka on verrannollinen lähtömuuttujan johdannaisiin.

Ohjaus säädetyn muuttujan poikkeaman periaatteen mukaan - takaisinkytkentä muodostaa suljetun silmukan. Ohjattavaan objektiin kohdistuu tulosmuuttujan ja asetetun arvon väliseen summaan (eroon) verrannollinen toimenpide, jolloin tämä summa (ero) pienenee.

Ohjaus häiriön kompensointiperiaatteen mukaisesti - häiriövaikutukseen verrannollinen signaali tulee säätimen tuloon. Ohjaustoiminnon ja tämän toiminnon tuloksen välillä ei ole yhteyttä.

Ohjaus yhdistetyn säädön periaatteella - käytetään sekä häiriö- että poikkeamasäätöä, mikä takaa korkeimman ohjaustarkkuuden.

TAU:n ohjatun muuttujan poikkeaman periaate
Häiriön kompensointiperiaate TAU:ssa
TAU:n yhdistetyn sääntelyn periaate

ACS:n luokitus

Ohjauksen luonteen mukaan:

ohjausjärjestelmät
ohjausjärjestelmät

Toiminnan luonteen mukaan:

jatkuvat järjestelmät
erilliset toimintajärjestelmät
reletoimintajärjestelmät

Ohjausobjektin tilaa koskevien tietojen käyttöasteen mukaan:

käyttöjärjestelmän ohjaus
ohjaus ilman käyttöjärjestelmää

Ohjausobjektin parametreja ja rakennetta koskevien tietojen käyttöasteen mukaan:

mukautuva
sopeutumaton
Hae
etsimätön
tunnistamisen kanssa
vaihtelevalla rakenteella

ACS:n koordinaattimuunnosasteen mukaan:

deterministinen
stokastinen (satunnaisilla vaikutuksilla)

Koordinaattimuunnoksen matemaattisen mallin muodossa:

lineaarinen
epälineaarinen (rele, looginen jne.)

Ohjaustoimintojen tyypin mukaan:

analoginen
diskreetti (jaksollinen, pulssi, digitaalinen)

Ihmisen osallistumisasteen mukaan:

manuaalinen
Automaattinen
automatisoitu (mies hallitsee)

Lähtömuuttujan muutoslain mukaan:

stabilointi : lähtömuuttujan määrätty arvo ei muutu.
ohjelma : lähtömuuttuja muuttuu tietyn, ennalta määrätyn ohjelman mukaan.
seuranta : lähtömuuttujan määrätty arvo riippuu muuttujan arvosta, jota ei tiedetä etukäteen automaattisen järjestelmän sisääntulossa.

Ohjattujen ja säädeltyjen muuttujien lukumäärän mukaan:

yksiulotteinen : jos objektilla on vain yksi manipuloitu arvo;
moniulotteinen: jos objektilla on suhteellisen suuri määrä ohjattuja muuttujia ja vastaava määrä ohjaustoimintoja.

Itseviritys-, mukautumis-, optimointi- ja älykkyyden asteen mukaan:

äärimmäinen
itsesäätyvä
älyllinen

Sen mukaan, miten herkkä (mittaus) elementti vaikuttaa sääntelyelimeen:

suorat ohjausjärjestelmät
epäsuorat ohjausjärjestelmät

Älykkäät itseliikkuvat aseet

ISAS -järjestelmät ovat järjestelmiä, jotka mahdollistavat harjoittelun, mukauttamisen tai virityksen muistamalla ja analysoimalla tietoa kohteen käyttäytymisestä, sen ohjausjärjestelmästä ja ulkoisista vaikutuksista. Näiden järjestelmien ominaisuus on päättelymoottorin tietokanta, selitysalijärjestelmä jne.

Tietokanta - formalisoidut säännöt loogisten kaavojen, taulukoiden jne. muodossa. IMS:ää käytetään huonosti formalisoitujen tai monimutkaisten teknisten objektien hallintaan.

ISU-luokka vastaa ominaisuuksia:

CS-vuorovaikutusten saatavuus todellisen ulkomaailman kanssa tietoliikennekanavien avulla.
Tietojen täydentämiseen ja hankkimiseen tarvitaan järjestelmän avoimuutta.
Mekanismien saatavuus järjestelmän toimintaympäristössä tapahtuvien muutosten ennustamiseen.
CO:ta koskevien tietojen epätarkkuutta voidaan kompensoida lisäämällä ohjausalgoritmin älykkyyttä.
Toiminnan säilyminen kommunikaatiokatkoksen yhteydessä.

Jos ISU täyttää kaikki 5 kriteeriä, se on älykäs "isossa", muuten "pienessä" mielessä.

Lineaarisen ACS:n matemaattiset mallit

Deterministinen

$W_{0}(p)={\frac {A(p)}{B(p)))$

$W_{0}(p)={\frac {K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau }$

Tilastollinen

Tilastollisille on tunnusomaista joukko tilastollisia parametreja ja jakautumisfunktioita. Heidän tutkimuksessaan käytetään matemaattisten tilastojen menetelmiä .

Mukautuva

Adaptiiviset käyttävät deterministis-stokastisia menetelmiä ohjausobjektin kuvaamiseen.

Vaikutustyypit. Siirtymä, paino, siirtofunktiot

Identiteettiaskelfunktio on erityinen matemaattinen funktio, jonka arvo on nolla negatiivisille argumenteille ja yksi positiivisille argumenteille . Se on luonnollinen yksinkertaisin vaikutus ohjausobjektiin. Matematiikassa se ilmaistaan Heavisiden identiteettifunktiolla .
Yksikköpulssifunktio on yksikköaskelfunktion derivaatta . Se luonnehtii äärettömän suuren amplitudin impulssia, joka virtaa äärettömän pienen ajanjakson ajan. Geometrinen merkitys on, että tämän funktion rajoittama alue on yhtä suuri kuin 1. Sitä käytetään useissa tapauksissa, joissa dynaamisten ominaisuuksien määrittäminen yksinkertaisimmalla tavalla on mahdotonta tietyllä arvolla ylittävän lähtöarvon vuoksi. . [2]
Siirtymäfunktio on järjestelmän vastaus yksivaiheiseen signaaliin.
Painofunktio on järjestelmän vastaus yhteen impulssiin.
Siirtofunktio on lähtösignaalin Laplace-muunnoksen suhdetulosignaalin Laplace-muunnokseen nollassa alkuolosuhteissa ja nollassa ulkoisia häiriöitä.

Linkkien yhdistämisen siirtotoiminto

Sarjaliitäntä

L e (p) \u003d L 1 (p) L 2 (p) ... L n (p) \u003d (p) $\prod _{i=1}^{n}W_{i}$

Rinnakkaisliitäntä

W e (p) \u003d W 1 (p) + W 2 (p) + ... + L n (p) \u003d (p) $\sum _{i=1}^{n}W_{i}$

Suljetun järjestelmän siirtofunktio

W OC (p) on takaisinkytkentäpiiriä kuvaava yhtälö
W(p) on yhtälö, joka kuvaa linkkiä
G(p) on yhtälö, joka kuvaa syöttötoimintoa
U OC (p) on yhtälö, joka kuvaa takaisinkytkentälinkin lähtösignaalia
ΔU(p) on yhtälö, joka kuvaa summaa (erotusta) G(p) ja U OC (p)
Y(p) on yhtälö, joka kuvaa järjestelmän lähtösignaalia

$f(n)=\left\{{\begin{matrix}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p) )\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{matriisi}}\oikea.$

Ratkaisemalla tämän yhtälöjärjestelmän saamme seuraavat tulokset:

$Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))$

$Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)$

$Y(p)={{W(p)G(p)} \yli {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

$W_{\ni }(p)={Y(p) \over G(p)}={W(p) \over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}$

Tila-avaruuden siirtofunktion saaminen

Tila-avaruuden järjestelmä annetaan seuraavasti:

$\left\{{\begin{matrix}{\piste {x}}(t)=A\cdot x(t)+B\cdot u(t)\\y(t)=C\cdot x(t) +D\cdot u(t)\end{matrix}}\right.$

Järjestelmässä on m tuloa u(t), l lähtöä y(t), n tilaa x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D ovat numeerisia matriiseja, joilla on vastaava mitta nxn, nxm, lxn..

Olkoon sitten nxn-identiteettimatriisi:

pI X(p) - AX(p) = BU(p)

(pI - A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pl - A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pI - A)^{-1) B + D

Järjestelmien ja linkkien linearisointi

Ohjataan ja kuvataan ACS epälineaarisella yhtälöllä

$F(x,{\piste {x}},y,{\piste {y}},{\ddot {y}},...,f,{\piste {f}},{\dpiste {f} })=0$

Lisäksi epälineaarisuus on merkityksetön, eli tätä funktiota voidaan laajentaa Taylor-sarjassa kiinteän pisteen läheisyydessä esimerkiksi ulkoisella häiriöllä f = 0 .

Tämän linkin yhtälö vakaassa tilassa on seuraava:

$F(x^{0},0,y^{0},0,0)=0,x_{k}^{0},y_{k}^{0}$ , alkupisteet, johdannaiset puuttuvat.

Sitten laajentamalla epälineaarista funktiota Taylor-sarjassa saamme:

$F(x^{0},y^{0})+\left({\frac {\partial F}{\partial x))\right)^{0}\Delta x+\left({\frac {\ osittainen F}{\osittainen {\piste {x}}}\oikea)^{0}\Delta {\piste {x}}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\ oikea)^{0}\Delta y+\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {y))))\right)^{0}\Delta {\piste {y))+\ vasen({\frac {\partial F}{\partial {\ddot {y))))\right)^{0}\Delta {\ddot {y}}+R_{n}=0,R_{n} ,$ - loput

$F(x,y)^{0}+\left(-b_{1}\right)\Delta x+\left(-b_{0}\right)\Delta {\piste {x}}+\left(a_ {2}\oikea)\Delta y+\left(a_{1}\right)\Delta {\piste {y}}+\left(a_{0}\right)\Delta {\ddot {y}}+R_ {n}=0$

$\left\{{\begin{matrix}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{matrix}}\right.\Rightarrow R_{n}\rightarrow 0$

$a_{0}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{2}y=b_{0}{ \frac {dx}{dt}}+b_{1}x$

Vaihdoimme epälineaarisesta lineaariseen. Siirrytään operaattoriyhtälöön:

$(a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2})y=(b_{0}p+b_{1})x$

$F()\rightarrow F(\Delta x,\Delta y)\rightarrow LE\rightarrow OE$

Itseliikkuvien aseiden ohjattavuus, havaittavuus

ACS on ohjattavissa (täysin ohjattavissa), jos se voidaan siirtää mistä tahansa aloitustilasta x 0 (t) toiseen mielivaltaiseen tilaan x 1 (t) mielivaltaisella ajanhetkellä käyttämällä palakohtaista jatkuvaa toimintaa U(t)∈[t 0 ;t1 ] .

ACS on havaittavissa (täysin havaittavissa), jos kaikki tilamuuttujat x(t) voidaan määrittää ulostulon (mitatusta) vaikutuksesta y(t).

Lineaaristen järjestelmien vakaus

Vakaus on ACS:n ominaisuus palata annettuun tai sen lähelle vakaaseen tilaan minkä tahansa häiriön jälkeen. Vakaa ACS on järjestelmä, jossa transienttiprosessit vaimentuvat.

$(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=(b_{0}p^{m}+b_{1 }p^{{m-1}}+...+b_{m})g$ on linearisoidun yhtälön operaattorimuoto.

y(t) \u003d y set (t) + y p \ u003d y out (t) + y st

y mouth (y out ) on linearisoidun yhtälön erityinen ratkaisu.

y p (y st ) on linearisoidun yhtälön yleinen ratkaisu homogeenisena differentiaaliyhtälönä, eli $D(p)=(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=0$

ACS on stabiili, jos mahdollisten häiriöiden aiheuttamat transienttiprosessit y n (t) vaimentuvat ajan myötä, eli kun $y_{n}(t)\nuoli oikealle 0$ $t\rightarrow {\mathcal {1}}$

Ratkaisemalla differentiaaliyhtälön yleisessä tapauksessa saadaan kompleksijuuret p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Jokainen kompleksisten konjugaattijuurien pari vastaa seuraavaa transienttiyhtälön komponenttia:

$c_{i}e^{{(\alpha _{i}+j\beta _{i})t}}+c_{{i+1}}e^{{(\alpha _{i}-j\ beta _{i})t}}=\alpha _{i}(c_{i}e^{{j\beta _{i}t}}+c_{{i+1}}e^{{-j \beta _{i}t)))=Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}$ , missä , $A={\sqrt {c_{i}^{2}+c_{{i+1}}^{2}}}$ $\operaattorinimi {tg}{\varphi _{i}}={c_{i}+c_{{i+1}} \over c_{i}-c_{{i+1}}}$

Saaduista tuloksista voidaan nähdä, että:

kun ∀α i <0, stabiilisuusehto täyttyy, eli ohimenevä prosessi pyrkii y suuhun ajan myötä (Ljapunovin lause 1);
kun ∃α i >0, epästabiilisuusehto täyttyy (Ljapunovin lause 2), eli , mikä johtaa divergentteihin värähtelyihin; $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}\rightarrow {\mathcal {1}}$
kun ∃α i =0 ja ¬∃α i >0 , mikä johtaa järjestelmän (stabiilisuusrajalla olevan järjestelmän) vaimentamattomiin sinivärähtelyihin (Ljapunovin lause 3). $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}=const$

Vakauden kriteerit

Routh-kriteeri

Järjestelmän vakauden määrittämiseksi rakennetaan lomakkeen taulukot:

Kertoimet	jouset	sarake 1	sarake 2	sarake 3
	yksi	$C_{{11}}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}$	$C_{{12}}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}$	$C_{{13}}=a_{4}$
	2	$C_{{21}}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}$	$C_{{22}}=a_{3}=1+k$	$C_{{23}}=a_{5}$
$r_{3}={\frac {C_{{11}}}{C_{{21}}}}$	3	$C_{{31}}=C_{{12}}-r_{3}C_{{22}}$	$C_{{32}}=C_{{13}}-r_{3}C_{{23}}$	$C_{{33}}=C_{{14}}-r_{3}C_{{24}}$
$r_{4}={\frac {C_{{21}}}{C_{{31}}}}$	neljä	$C_{{41}}=C_{{22}}-r_{4}C_{{32}}$	$C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33}$	$C_{{43}}=C_{{24}}-r_{4}C_{{34}}$

Järjestelmän vakauden vuoksi on välttämätöntä, että kaikilla ensimmäisen sarakkeen elementeillä on positiiviset arvot; jos ensimmäisessä sarakkeessa on negatiivisia elementtejä, järjestelmä on epävakaa; jos ainakin yksi elementti on yhtä suuri kuin nolla ja loput ovat positiivisia, niin järjestelmä on stabiilisuuden rajalla.

Hurwitzin kriteeri

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

$\Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{{n-1}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_ {0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&. ..\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatrix}}$ - Hurwitzin määräävä tekijä

Lause : suljetun ACS:n stabiilisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että Hurwitzin determinantti ja kaikki sen alamerkit ovat positiivisia $a_{0}>0.$

Mihailovin kriteeri

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

Korvataan , jossa ω on annetun ominaispolynomin puhtaasti imaginaarista juuria vastaavien värähtelyjen kulmataajuus. $p=j\omega$

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{{j\psi (\omega )}}$

$X(\omega )=a_{n}-a_{{n-2}}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{{n-1}}\omega -a_{{n-3}}\omega ^{3}+...$

Kriteeri : n:nnen kertaluvun lineaarisen järjestelmän stabiiliuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että koordinaatteihin rakennettu Mihailov-käyrä kulkee peräkkäin n kvadrantin läpi. $X(\omega ),Y(\omega )$

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n} )$

Mieti Mikhailov-käyrän ja sen juurten merkkien (α>0 ja β>0) välistä suhdetta.

1) Karakteriyhtälön juuri on negatiivinen reaaliluku $p_{1}=-\alpha _{1}$

Annettua juuria vastaava tekijä $(\alpha _{1}+j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ oikea nuoli {\frac {\pi }{2))$

2) Karakteriyhtälön juuri on positiivinen reaaliluku $p_{1}=+\alpha _{1}$

Annettua juuria vastaava tekijä $(\alpha _{1}-j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ oikea nuoli -{\frac {\pi }{2}}$

3) Ominaistayhtälön juuri on kompleksilukupari, jolla on negatiivinen reaaliosa $p_{{2,3}}=-\alpha _{1}\pm j\beta$

Annettua juuria vastaava tekijä $(j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}- \gamma \\\psi _{3}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow +2{\frac {\pi }{2}}=+\pi$ , missä $\gamma =\operaattorinimi {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

4) Ominaistayhtälön juuri on kompleksilukupari, jolla on positiivinen reaaliosa $p_{{2,3}}=+\alpha _{1}\pm j\beta$

Annettua juuria vastaava tekijä $(j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+ \gamma \\\psi _{3}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -2{\frac {\pi }{2}}=-\pi$ , missä $\gamma =\operaattorinimi {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

Nyquistin kriteeri

Nyquistin kriteeri on graafianalyyttinen kriteeri. Sen ominaispiirre on, että johtopäätös suljetun järjestelmän stabiilisuudesta tai epävakaudesta tehdään riippuen avoimen järjestelmän amplitudi-vaihe- tai logaritmisista taajuusominaisuuksista.

Esitetään avoin järjestelmä polynomina $W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1} +...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}$

sitten teemme vaihdon ja saamme: $p=j\omega$ $W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^ {{j\psi (\omega )}}$

Hodografin rakentamisen helpottamiseksi n>2:lle saamme yhtälön (*) "vakiomuotoon": $W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{ 2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\ omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega ](-1+j\omega T_{3})...}}$

Tällä esityksellä moduuli A(ω) = | W(jω)| on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän moduulien suhde, ja argumentti (vaihe) ψ(ω) on niiden argumenttien välinen erotus. Kompleksilukujen tulon moduuli on puolestaan yhtä suuri kuin moduulien tulo, ja argumentti on argumenttien summa.

Siirtofunktion tekijöitä vastaavat moduulit ja argumentit:

Tekijä	$A(\omega)$	$\psi (\omega)$
k	k	0
s	ω	${\frac {\pi }{2))$
$p^{2}$	$\omega ^{2}$	$\pi$
$Tp+1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\operaattorin nimi {arctg}\omega T$
$Tp-1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\pi -\operaattorin nimi {arctg}\omega T$
$1-Tp$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$-\operaattorin nimi {arctg}\omega T$
$T^{2}p^{2}+1$	$\left\|1-T^{2}\omega ^{2}\oikea\|$	${\begin{matrix}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{matrix}}$
$T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1$	${\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2))}$	${\begin{matrix}\operaattorin nimi {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{ T}}\\\pi +\operaattorinimi {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac { 1}{T}}\end{matrix}}$

Sitten rakennamme hodografin apufunktiolle , jota varten muutamme $W_{1}(j\omega )=1+W(j\omega )$ $\omega [0;{\mathcal {1)))$

For , mutta for (koska n<m ja ) $\omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1$ $\omega ={\mathcal {1)),\quad W_{1}(j\omega )=1$ $W(j\omega )=0$

Tuloksena olevan kiertokulman määrittämiseksi löydämme eron osoittajan ja nimittäjän argumenttien välillä $\psi_{1}$ $\psi_{2}$

Apufunktion osoittajan polynomilla on sama aste kuin sen nimittäjän polynomilla, mikä tarkoittaa , että apufunktion kiertokulma on 0. Tämä tarkoittaa, että suljetun järjestelmän stabiilisuuden kannalta hodografi apufunktiovektori ei saa peittää funktion origoa ja hodografi , vastaavasti pistettä koordinaatteineen $\psi_{1}=\psi_{2}$ $W(j\omega)$ $(-1;j0)$

Itseliikkuvien aseiden vakauden marginaali

Käyttöolosuhteissa järjestelmän parametrit voivat syystä tai toisesta muuttua tietyissä rajoissa (vanheneminen, lämpötilan vaihtelut jne.). Nämä parametrien vaihtelut voivat johtaa järjestelmän vakauden menettämiseen, jos se toimii lähellä vakauden rajaa. Siksi he pyrkivät suunnittelemaan järjestelmän niin, että se toimii kaukana vakauden rajasta. Tämän poiston astetta kutsutaan vakausmarginaaliksi.

Vakausmarginaalin tarve määräytyy seuraavien ehtojen mukaan:

Epälineaaristen termien hylkääminen linearisoinnin aikana.
ACS:tä kuvaavaan yhtälöön sisältyvät kertoimet määritetään virheellisesti.
Tyypillisten järjestelmien vakautta tyypillisissä olosuhteissa.

Kriteerit

Routh-kriteeri: stabiilisuusmarginaalin mallintamiseksi on välttämätöntä, että ensimmäisen sarakkeen elementit ovat suurempia kuin jokin kiinteä arvo ε>0, jota kutsutaan stabiilisuusmarginaalitekijäksi.
Hurwitz - kriteeri : stabiilisuusmarginaali määritetään samalla tavalla kuin Routhin vakausmarginaali, vain ε luonnehtii Hurwitzin determinantin arvoa.
Mihailovin kriteeri: piirretään ympyrä, jonka säde on nollasta poikkeava ja jonka keskipiste on pisteessä O (0; 0). Marginaali määräytyy tämän ympyrän säteen mukaan. Järjestelmä on epävakaa, kun Mikhailov-kriteeriä rikotaan tai kun Mikhailov-käyrä leikkaa ympyrän.
Nyquistin kriteeri : tässä kriittinen piste on (-1; j0), joten tämän pisteen ympärille rakennetaan kielletty vyöhyke, jonka säde edustaa stabiilisuustekijää.

Stabiilisuuskriteerien vertailuominaisuudet

Taajuus-Nyquist-kriteeriä voidaan soveltaa pääasiassa silloin, kun vaiheominaisuuksia on vaikea saada kokeellisesti. Kuitenkin AFC:iden, erityisesti taajuusmuutosten, laskeminen on vaikeampaa kuin Mikhailov-käyrien rakentaminen. Lisäksi AFC:n sijainti ei anna suoraa vastausta kysymykseen: onko järjestelmä vakaa, eli tarvitaan lisätutkimusta järjestelmän stabiilisuudesta avoimessa tilassa.

Mikhailov-kriteeriä sovelletaan minkä tahansa luokan järjestelmiin, toisin kuin Routhin kriteeri. Taajuus-Nyquist-kriteerin ja Mikhailov-kriteerin avulla ominaiskäyrät voidaan rakentaa asteittain kunkin linkin vaikutus huomioon ottaen, mikä tekee kriteerit selväksi ja ratkaisee ongelman valita järjestelmän parametrit stabiilisuusehdosta.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rotach V.Ya. Automaattisen ohjauksen teoria. - 2., tarkistettu. ja muita .. - Moskova: MPEI, 2004. - S. 3-15. – 400 s. - ISBN 5-7046-0924-4 .
↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Hallinta ja innovaatio lämpövoimatekniikassa. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 s. — ISBN 978-5-38300539-2

Kirjallisuus

Besekersky V.A. Automaattisten ohjausjärjestelmien teoria: oppikirja. korvaus. - Pietari. : Ammatti, 2007.
Besekersky V.A., Popov E.P. 4. painos // Automaattisten ohjausjärjestelmien teoria. - Pietari. : Ammatti, 2003.
Vasiliev DV, Chuich VG Automaattisten ohjausjärjestelmien laskenta. - M. - L .: Mashgiz, 1959. - 390 s.
Goodwin G.K., Grebe S.F., Salgado M.E. Ohjausjärjestelmien suunnittelu. - M . : Binom, Basic Knowledge Laboratory, 2004.
Dorf R., piispa R. Nykyaikaiset ohjausjärjestelmät. - M . : Binom, Basic Knowledge Laboratory, 2004.
Egorov, AI Osnovy teorii upravleniya: ucheb. korvaus. - M .: Fizmatlit, 2007.
Zubov, V. I. Luennot ohjausteoriasta: oppikirja. korvaus. - Pietari. : Lan, 2009.
Knorring, V. I. Johtamisen teoria, käytäntö ja taide: oppikirja yliopistoille. - M . : Norma, 2007 (Venäjän federaation puolustusministeriön merkintä).
Miroshnik I.V. Automaattisen ohjauksen teoria. Lineaariset järjestelmät. - Pietari. : Peter, 2005.
Parakhina V.N. Ohjausteorian työpaja: oppikirja. korvaus. - M. : Talous ja tilastot, 2009 (sertifioitu UMO MO RF).
Pervozvansky A.A. Automaattisen ohjauksen teorian kurssi. - M .: Nauka, 1986.
Popov E.P. Automaattisen säädön ja ohjauksen lineaaristen järjestelmien teoria .. - M . : Nauka, 1989.
Ruzhnikov G.M. Luentokurssi TAU:sta.
Senigov P.N. Automaattisen ohjauksen teoria. Luentomuistiinpanot.
Makarov I. M., Lokhin V. M., Manko S. V., Romanov M. P. Tekoäly ja älykkäät ohjausjärjestelmät. - M. : Nauka, 2006. - 333 s. — ISBN 5-02-033782-X .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	maailman ympäri
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4076594-5