Logaritminen amplitudi-vaihetaajuusvaste

Logaritminen amplitudi- vaihetaajuusvaste (yleinen lyhenne - LAFCH, ulkomaisessa kirjallisuudessa kutsutaan usein Bode-diagrammiksi tai Bode-diagrammiksi) - esitys lineaarisen kiinteän järjestelmän taajuusvasteesta logaritmisella asteikolla.

Johdanto

LAFC on rakennettu kahteen kuvaajaan: logaritminen amplitudi-taajuusvaste ja logaritminen vaihe-taajuusvaste , jotka on yleensä sijoitettu päällekkäin.

LACHH

LAFC on laitteen vahvistusmoduulin (jännite, virta tai teho) riippuvuus taajuudesta logaritmisella asteikolla. $20\cdot \lg(|A_{{out}}|/|A_{{in}}|)$ $10\cdot \lg(|P_{out}|/|P_{in}|)$

Skaalaa abskissaa pitkin LACHH

Taajuus piirretään abskissa-akselia pitkin logaritmisella asteikolla, mittayksikkö on dimensioton suure:

vuosikymmen (dec): 1 dekaati on yhtä suuri kuin 10 kertaa taajuuden muutos.
oktaavi (oktaavi): 1 oktaavi vastaa 2-kertaista taajuuden muutosta.

Skaalaa y-akselia pitkin LACHH

Lähtösignaalin amplitudi piirretään ordinaattiselle akselille logaritmisina dimensiottomina suureina:

desibeli (dB) (yksi kymmenesosa Belistä) on tehojen suhde (20 desibeliä on 10 kertaa teho) [1] .

neper (Np): 1 neper on yhtä suuri kuin signaalien amplitudin muutos e kertaa

LPCHX

LPFC on lähtö- ja tulosignaalien vaihe-eron riippuvuus taajuudesta puolilogaritmisella asteikolla

taajuus piirretään abskissaa pitkin logaritmisella asteikolla (vuosikymmeninä tai oktaaveina)
y-akseli edustaa lähtövaihetta asteina tai radiaaneina .

Napierit ja oktaavit ovat nyt vanhentuneita ja tuskin käytettyjä.

Syynä amplitudi- ja vaiheominaisuuksien piirtämiseen logaritmisella asteikolla on mahdollisuus tutkia ominaisuuksia laajalla alueella.

Asymptoottinen LACH ja LPCH

Itse asiassa LACHH:ta ja LPCHH:ta käytetään vähän käytännössä.

Ominaisuuksien visuaalisempaa analysointia varten käytetään niiden muunneltuja versioita - asymptoottista logaritmista amplitudi-taajuusominaisuutta (ALFC) ja asymptoottista logaritmista vaihetaajuusominaisuutta (ALFC) , kun taas käyrä korvataan katkoviivan segmenteillä. Yleensä sana "asymptoottinen" jätetään pois, mutta on aina muistettava, että ALACHH (ALPHCH) ja LACHH (LPCH) ovat eri ominaisuuksia.

ALPFC:tä käyttävien järjestelmien analyysi on erittäin yksinkertaista ja kätevää, joten sitä käytetään laajasti tekniikan eri aloilla, kuten digitaalisessa signaalinkäsittelyssä , sähkötekniikassa ja ohjausteoriassa .

Nimet

Länsimaisessa kirjallisuudessa käytetään nimeä Bode diagram tai Bode graph , joka on nimetty erinomaisen insinöörin Hendrik Wade Boden mukaan .

Insinööripiireissä nimi lyhennetään yleensä muotoon LAH .

GNU Octave - ja MATLAB - suunnitteluohjelmistopaketti käyttää bode - toimintoa LAFC : n rakentamiseen .

Käyttö

Ominaisuudet ja ominaisuudet

Jos järjestelmän siirtofunktio on rationaalinen , niin LAFC voidaan approksimoida suorilla viivoilla. Tämä on kätevää piirrettäessä LAFCH manuaalisesti, samoin kuin käännettäessä LAFCH yksinkertaisia järjestelmiä.

LAFC:n avulla on kätevää suorittaa ohjausjärjestelmien sekä digitaalisten ja analogisten suodattimien synteesi : tiettyjen laatukriteerien mukaisesti rakennetaan haluttu LAFC, likimääräinen suorilla viivoilla, joka jaetaan sitten LAFC:ksi. yksittäisiä peruslinkkejä, joista järjestelmän ( säätimen ) siirtotoiminto palautetaan tai suodatetaan.

LACHH

LAFC-kaaviossa abskissa on taajuus logaritmisella asteikolla , ordinaatta näyttää siirtofunktion amplitudin desibeleinä .

Taajuusvasteen esittäminen logaritmisella asteikolla yksinkertaistaa monimutkaisten järjestelmien ominaisuuksien rakentamista, koska se mahdollistaa linkkien taajuusvasteen kertomisoperaation korvaamisen summalla, mikä seuraa logaritmin ominaisuudesta : . $\lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b)$

FCH

Vaihe-taajuusominaisuuden kaaviossa abskissa on taajuus logaritmisella asteikolla, ordinaatta edustaa järjestelmän lähtösignaalin vaihesiirtoa tuloon nähden (yleensä asteina ).

On myös mahdollista, että vaihesiirto logaritmisella asteikolla piirretään y-akselia pitkin, jolloin ominaisuutta kutsutaan LPFC:ksi.

Vähimmäisvaihejärjestelmien tapaus

Järjestelmän amplitudi ja vaihe muuttuvat harvoin toisistaan riippumatta - amplitudin muuttuessa myös vaihe muuttuu ja päinvastoin. Vähimmäisvaihejärjestelmissä LPFC ja LAFC voidaan määrittää yksilöllisesti toisistaan Hilbert-Warrington-muunnoksen avulla .

Rakennus LAFCHH

Pääidea perustuu seuraavaan matemaattiseen logaritmien lisäämissääntöön. Jos siirtofunktio voidaan esittää rationaalisen murtofunktiona

f(x)=A\tuote (x+c_{n})^{a_{n}}

sitten:

\log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}log(x+c_{n})

Kun siirtofunktio on jaettu peruslinkkeihin, on mahdollista rakentaa kunkin yksittäisen linkin LAFC, ja tuloksena oleva LAFC voidaan saada yksinkertaisella summauksella.

Asymptoottisen LAFC:n rakentaminen ( LAFC:n approksimaatio suorilla viivoilla )

Y-akselin LFR:ää rakennettaessa käytetään yleensä asteikkoa , eli taajuusvasteen arvo , joka on 100, muuttuu LFR-asteikon 40 desibeliksi. Jos siirtofunktio on: $20\cdot \operaattorinimi {lg} (X)$

H(s)=A\cdot \prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}

jossa on kompleksimuuttuja, joka voidaan yhdistää taajuuteen käyttämällä seuraavaa muodollista substituutiota: , ja ovat vakioita, ja se on siirtofunktio. Sitten voit rakentaa LACHH:n seuraavilla säännöillä:

\s

s=j\omega \

\x_{n}

\y_{n}

\ H

jokaisessa kohdassa (nolla) viivan kaltevuus kasvaa dB per vuosikymmen . $\s$ $\omega \=x_{n}$ $(20\cdot a_{n})$

kussakin missä (napa) viivan kaltevuus pienenee dB per vuosikymmen . $\s$ $\omega \=y_{n}$ $(20\cdot b_{n})$

Kuvaajan alkuarvo voidaan löytää yksinkertaisesti korvaamalla ympyrätaajuusarvo siirtofunktioon. $\omega \$

Kuvaajan alkukaltevuus riippuu nollien ja napojen lukumäärästä ja järjestyksestä, jotka ovat pienempiä kuin alkuperäinen taajuusarvo. Se löytyy käyttämällä kahta ensimmäistä sääntöä.

Kompleksisten konjugoitujen nollien tai napojen tapauksessa on tarpeen käyttää toisen kertaluvun linkkejä, , kaltevuus muuttuu pisteessä välittömästi dB per vuosikymmen. $x^{2}+ax+b$ ${\sqrt {b}}$ $(40\cdot a_{n})$

Aproksimoidun LACH:n korjaus

LACH:n korjaamiseksi suorilla viivoilla likimääräisesti on välttämätöntä:

laita piste jokaiseen nollaan dB viivan yläpuolelle ( dB kahdelle kompleksiselle konjugaattinollalle) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

laita jokaiseen napaan piste dB viivan alle ( dB kahdelle monimutkaiselle konjugaattinavalle) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

yhdistä pisteet sujuvasti käyttämällä suoria viivoja asymptootteina

Asymptoottisen LPHF:n rakentaminen (approksimaatio)

Approksimoidun PFC:n rakentamiseen käytetään siirtofunktiota samassa muodossa kuin LAFC:ssä:

H(s)=A\tuote {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}.

PFC:n rakentamisen perusperiaate on piirtää erilliset kaaviot jokaiselle napalle tai nollalle ja sitten laskea ne yhteen. Tarkka vaihevastekäyrä saadaan yhtälöstä:

\varphi =\operaattorinimi {arctg} \left({\frac {\Im (H(j\omega ))}{\Re (H(j\omega ))))\oikea).

Piirtääksesi vaihevasteen jokaiselle navalle tai nollalle, käytä seuraavia sääntöjä:

jos positiivinen, aloita viiva (nollakulmalla) 0 astetta, $\A$
jos negatiivinen, aloita viiva (nolla-kaltevuus) 180 astetta, $\A$
jos nolla on, viiva kallistuu ylöspäin ( kompleksikonjugaattia varten) asteella vuosikymmenessä alkaen $45\cdot a_{n}$ $90\cdot a_{n}$ $\omega ={\frac {x_{n}}{10)),$
napaa varten kallista viivaa alaspäin ( monimutkaisen konjugaatin tapauksessa) astetta dekaatia kohti alkaen $45\cdot b_{n}$ $90\cdot b_{n}$ $\omega ={\frac {y_{n}}{10)),$
nollaa kaltevuus uudelleen, kun vaihe muuttuu asteina yksinkertaiselle nollalle tai napalle ja asteilla kompleksiselle konjugoidulle nollalle tai napalle, $90\cdot a_{n}$ $180\cdot a_{n}$
lisää kaikki viivat ja piirrä tuloksena oleva.

Stabiilisuusanalyysi LAFCH:n mukaan

Alla on taulukko, joka sisältää joidenkin tyypillisten peruslinkkien siirtofunktiot ja LAFC:n. Suurin osa lineaarisista kiinteistä järjestelmistä voidaan esittää tällaisten linkkien yhteyksinä. Taulukossa - monimutkainen muuttuja. $\s$

Ei.	Linkki	Lähetystoiminto	Huomautuksia
yksi	suhteellinen	$\K$	$\K=100$
2	ihanteellinen integrointi	$\ 1/s$
3	ihanteellinen erottelu	$\s$
neljä	jaksollinen (todellinen integroiva)	${\frac {1}{Ts+1}}$	$\T=0,01$
5	värähtelevä	${\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1))$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
6	epävakaa jaksollinen	${\frac {1}{Ts-1}}$	$\T=0,01$ ei - minimivaihe
7	ensimmäisen asteen erottaja (pakottaa ensimmäinen tilaus)	$\Ts+1$	$\T=0,01$
kahdeksan	pakottaa toisen järjestyksen	$\ T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
9	puhdasta viivettä	$\e^{-sT}$	$\T=0,0001$

Perustelut

Järjestelmän vakauden määrittämisen ytimessä tarkastellaan mallia negatiivisen takaisinkytkennän peittämän linkin muodossa ja sen mahdollisuutta joutua itsevärähtelyihin (värähtelystabiilisuusraja). Itsevärähtelyn ehto on positiivisen takaisinkytkennän olemassaolo, kun taas suorassa piirissä vahvistuksen tulee olla vähintään yksikkö. Lähtösignaalin vaihe (kuvattu vaihe-taajuusominaisuudella) syötetään takaisin negatiivisen takaisinkytkentäpiirin kautta sisääntuloon, kun taas "vaihemarginaali" on ylimääräinen vaihesiirto, jonka on oltava lähdössä positiivisen palautteen saamiseksi. Suoran haaran lähetyskerrointa kuvataan amplitudi-taajuusominaiskäyrällä, kun taas taajuus, jota yksikkövahvistus vastaa, kutsutaan "rajataajuudeksi", LAF:ssä rajataajuus on ominaisuuden leikkauspiste abskissan kanssa. akseli. Graafisesti vaihemarginaali määritellään π radiaanien (180°) vaiheen ja rajataajuuden vaiheen (positiivinen takaisinkytkentätila) välisenä erona; "amplitudimarginaali" on etäisyys amplitudiakselia pitkin rajataajuuden pisteestä amplitudiin π radiaanin kulmassa (yksikkökertoimen ehto suorassa haarassa).

Laskenta-algoritmi

Suljetun järjestelmän stabiilisuuden määrittämiseksi rakennetaan avoimen järjestelmän LAFC (katso kuva). Sen jälkeen sinun on löydettävä katkaisutaajuus ω cf ratkaisemalla yhtälö (jäljempänä , jos juuria on useita, sinun on valittava suurin juuri), ja taajuus ω in on niiden taajuuksien maksimi, joille . Sitten - amplitudin stabiilisuusmarginaali, - vaiheen stabiilisuusmarginaali. Jos nämä marginaalit ovat negatiivisia, suljettu järjestelmä on epävakaa; jos se on nolla, se on stabiilisuuden rajalla. $A(\omega _{cp})=0$ $A(\omega )=20\lg |W(j\omega )|$ $\varphi (\omega )=-180^{\circ }$ $\Delta A=A(\omega _{B})$ $\Delta \varphi =\varphi (\omega _{cp})+180^{\circ }$

Tämä algoritmi soveltuu vain minimivaihejärjestelmiin . Muissa tapauksissa voidaan käyttää Nyquist-Mihailov- ja Routh-Hurwitzin vakauskriteerejä stabiilisuuden määrittämiseen .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ DB \u003d 20lg (A 2 / A 1 ) 20 \u003d 20 lg (A 2 / A 1 ) A 2 / A 1 \u003d 10

Linkit

[yksi]