Hurwitzin vakauskriteeri

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Hurwitzin vakauskriteeri on yksi tavoista analysoida lineaarista stationaarista dynaamista vakauden järjestelmää , jonka on kehittänyt saksalainen matemaatikko Adolf Hurwitz . Routhin kriteerin ohella se edustaa algebrallisten vakauskriteerien perhettä, toisin kuin taajuuskriteerit, kuten Nyquist-Mikhailov-stabiilisuuskriteeri . Menetelmän etuna on sen perustavanlaatuinen yksinkertaisuus, haittana on tarve suorittaa determinantin laskentatoiminto, joka liittyy tiettyihin laskennallisiin hienouksiin (esimerkiksi suurilla matriiseilla voi ilmetä merkittävä laskentavirhe).

Sanamuoto

Menetelmä toimii järjestelmän ominaisyhtälön kertoimilla . Olkoon järjestelmän siirtofunktio ja järjestelmän ominaisyhtälö. Esitämme ominaispolynomin muodossa $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ $\ U(s)=0$ $\ U(s)$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

missä on monimutkainen argumentti. $s$

Karakteriyhtälön kertoimista muodostetaan Hurwitzin determinantti seuraavan algoritmin mukaan : $\Delta$

päädiagonaalia pitkin vasemmalta oikealle asetetaan kaikki ominaisyhtälön kertoimet alkaen - ; ${\näyttötyyli \a_{1))$ ${\näyttötyyli \a_{n))$
jokaisesta diagonaalin elementistä ylös ja alas, determinantin sarakkeet täydennetään siten, että indeksit laskevat ylhäältä alas;
nollat asetetaan kertoimien tilalle, joiden indeksit ovat pienempiä kuin nolla tai suurempi . $\n$

Hurwitz-matriisin ulottuvuus määräytyy ominaisyhtälön maksimiteholla kohdassa s (eli n ).

Tai nimenomaisesti [1]

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\lpisteet &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\lpisteet &0\\0&a_{ 1}&a_{3}&\lpisteet &0\\0&a_{0}&a_{2}&\lpisteet &0\\\vpisteet &\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &a_{n}\end{vmatrix}}$

Sitten Hurwitzin kriteerin mukaan :

Jotta dynaaminen järjestelmä olisi vakaa, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki Hurwitz- determinantin diagonaaliset molaarit ovat positiivisia edellyttäen, että . Näitä alaikäisiä kutsutaan Hurwitzin determinantteiksi. $\n$ $a_{0}>0$

(Esimerkki Hurwitzin determinantista viidennen asteen ominaisyhtälölle.)

Meillä on viidennen asteen ominaisyhtälö: . Hurwitzin determinantit näyttävät tältä: $\ U(s)=a_{0}s^{5}+a_{1}s^{4}+a_{2}s^{3}+a_{3}s^{2}+a_ {4}s+a_{5}$

$\Delta _{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}$ , , , , ja . Dynaamisen järjestelmän vakauden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki viisi determinanttia ovat positiivisia. $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{ 3}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}$

Hurwitz-kriteerin tilaa analysoimalla voidaan havaita sen redundanssi. Epäyhtälöiden määrä voidaan puolittaa Liénard-Schipar -lauseen avulla . Laskennallisesti kriteerin monimutkaisuus ei kuitenkaan pienene merkittävästi, koska korkealuokkaista alaikäistä laskettaessa on useimmiten tarpeen laskea alaikäisiä.

Edut ja haitat

Hurwitz-kriteerin haittana on sen huono näkyvyys. Etu - kätevä toteuttaa tietokoneella. Sitä käytetään usein määrittämään yhden ACS-parametrin vaikutus sen vakauteen. Joten päädeterminantin yhtäläisyys nollaan osoittaa, että järjestelmä on stabiilisuuden rajalla. Tässä tapauksessa joko - muissa olosuhteissa järjestelmä on aperiodisen stabiilisuuden rajalla tai toiseksi viimeinen molli - jos kaikki muut alaikäiset ovat positiivisia, järjestelmä on värähtelevän stabiilisuuden rajalla. ACS:n parametrit määrittävät dynamiikan yhtälön kertoimien arvot, joten minkä tahansa parametrin muutos vaikuttaa determinantin arvoon . Tätä vaikutusta tutkimalla voidaan selvittää, millä arvolla determinantista tulee yhtä suuri kuin nolla ja sitten negatiivinen. Tämä on tutkittavan parametrin raja-arvo, jonka jälkeen järjestelmä muuttuu epävakaaksi. $\Delta _{n}=\Delta _{n-1}=0$ $\Delta _{n}=0$ $\Delta _{n-1}=0$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$

Menetelmän automatisoinnista

Hurwitz-menetelmä on varsin kätevä määrittämään linkkien vakautta tietokoneella. Tässä tapauksessa on kuitenkin otettava huomioon, että kriteerin soveltaminen järjestelmiin, joiden kertaluku on suurempi kuin 5, voi johtaa merkittäviin virheisiin, koska korkean kertaluvun determinanttien laskenta on melko monimutkainen toimenpide ja johtaa kertymiseen. laskuvirheitä.

Alla on esimerkki menetelmän työn automatisoinnista käyttämällä yhtä yleisimmistä teknisten laskelmien kielistä MATLAB - versio 5.3 sen syntaksilla.

Alla oleva toiminto suorittaa kaikki tarvittavat laskelmat. Toimiakseen se on sijoitettava tekstitiedostoon, jonka pääte on .m ja jonka nimi vastaa itse funktion nimeä, tässä tapauksessa tiedostonimen tulee olla raus_gur.m .

funktio [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur ( D ) % Järjestelmän stabiilisuuden määritys Routh-Hurwitz-menetelmällä, annettu osoitteessa % seuraavan siirtofunktion apu. % %B(s) % W(s) = ----, %D(s) % % Tässä D(s) on karakteristinen polynomi. % % D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - polynomin D kertoimet. % % % RAUS_GUR-funktion kutsuminen voidaan tehdä kahdella tavalla: % % Menetelmä 1. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D); % % Syöttöparametrit: %D - nimittäjäkertoimien vektori (tyypillinen polynomi) % % lähtöparametrit: % ust - merkkijonoarvo, joka osoittaa, onko järjestelmä vakaa vai epävakaa % % Mnrs - alaikäisten arvojen vektori pienimmästä suurimpaan, %, joka on laskettava stabiilisuuden arvioimiseksi Routh-Hurwitz-menetelmällä. % Routh-Hurwitzin menetelmän mukaan järjestelmä on vakaa, jos kaikki alaikäiset ovat positiivisia. % Ulomman mollin arvon laskennassa ei ole järkeä, koska sen merkki % vastaa aina edellisen mollimerkkiä. % % Mtrx on täysi Routh-Hurwitz-matriisi tietylle polynomille. % % Menetelmä 2. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(W); % % Syöttöparametrit: %W - LTI-luokan objekti (katso Control System Toolboxin kuvaus) % % Lähtöparametrit ovat samat kuin yllä. % % % Keskittynyt työskentelemään MATLAB 2022a -versiossa jos isa ( D , 'tf' ) [ ~ , D ]= tfdata ( D , 'v' ); loppu n = pituus ( D ) -2 ; _ Dr =[ D nollia ( 1 , n )]; A = flipud ( muotoile uudelleen ( Dr , 2 , [])); Mtrx = cell2mat ( arrayfun (@( x )( circshift ( A ' , x )) ' ,( 0 : n / 2 ) ' , "UniformOutput" , false )); Mnrs = cell2mat ( arrayfun (@( x ) det ( Mtrx ( 1 : x , 1 : x )),( 2 : n ) ' , "UniformOutput" , false )); Z = '' ; jos on ( Mnrs < 0 ) Z = 'ei' ; loppu Ust =[ 'järjestelmä ' , Z , 'vakaa' ]; loppu

Esimerkki

Olkoon siirtofunktio annettu:

$\operaattorinnimi {W} (s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot s+4}{{{s}^{5}} +16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}}$

Sitten yllä olevan funktion kutsu näyttäisi tältä:

muoto lyhytG

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
Ja laskennan tulos:
A =

"järjestelmä on vakaa"

1260

2,4696e+05

6.3504e+07

16 260 144 0 0

1 95 324 0 0

0 16 260 144 0

0 1 95 324 0

0 0 16 260 144

0 0 1 95 324

A kertoo järjestelmän olevan vakaa.

Vektori B sisältää diagonaalideterminanttien arvot välillä 2x2 - 4x4, ensimmäisellä elementillä ei ole arvoa, ja ulomman determinantin arvolla on aina sama etumerkki kuin edellisellä. Hurwitzin menetelmän mukaan, jotta järjestelmä olisi vakaa, kaikkien näiden determinanttien on oltava positiivisia.

Matriisi C on itse Hurwitzin determinantti.

Tätä toimintoa voidaan käyttää matemaattisissa paketeissa, joiden syntaksi on samanlainen kuin MATLAB , tai pienen muutoksen jälkeen.

Järjestelmä on jaksollisen stabiilisuuden rajalla, jos . Järjestelmä on värähtelystabiilisuuden rajalla, jos Hurwitzin determinantti indeksillä (n-1) on 0. $a_{n}=0$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - 5. painos - M. : Fizmatlit, 2010. - S. 463. - 560 s. - ISBN 978-5-9221-0524-8 .

Kirjallisuus

Chetaev N. G. Liikkeen vakaus. - M: Nauka, 1965. - 234 s.