Routh-Hurwitzin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8.3.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Routh-Hurwitzin lause tarjoaa mahdollisuuden määrittää, onko tietty polynomi Hurwitzin stabiili . Sen todisti vuonna 1895 A. Hurwitz , ja se nimettiin E. J. Routhin (joka ehdotti vuonna 1876 toisen - mutta Hurwitzin kriteeriä vastaavan - kriteerin polynomin stabiiliudelle) ja A. Hurwitzin mukaan [1] .

Yleissopimukset

Antaa olla polynomi (monimutkaisilla kertoimilla) asteen . Lisäksi sen juurien joukossa ei ole kahta juuria samalla imaginaariviivalla (eli rivillä, jossa on imaginaariyksikkö ja on reaaliluku ). Merkitään (astepolynomi ) ja (nollasta poikkeava astepolynomi tiukasti pienempi kuin ) , suhteessa imaginaariviivan reaali- ja imaginaariosaan . $f(z)$ $n$ $z=ic$ $i$ $c$ $P_{0}(y)$ $n$ $P_{1}(y)$ $n$ $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ $f$

Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

$s$ on juurien lukumäärä vasemmassa puolitasossa (kertoimet huomioitu); $f$
$q$ on juurien lukumäärä oikealla puolitasolla (ottaen huomioon kerrannaisuudet); $f$
$\Delta \arg f(iy)$ — argumentin muutos, kun se alkaa arvosta ; $f(iy)$ $y$ $-\infty$ $+\infty$
$w(x)$ on yleistettyyn Sturm-ketjuun tehtyjen muutosten määrä, joka on saatu euklidisesta algoritmista ja sitä käyttämällä ; $P_{0}(y)$ $P_{1}(y)$

$I_{-\infty }^{+\infty }r(x)$ on rationaalisen funktion Cauchyn indeksi reaaliviivalla . $r(x)$

Olkoon Hurwitzin polynomi kompleksilukujen kentän yli (eli sillä ei ole kompleksikertoimia ja kaikki sen juuret ovat vasemmassa puolitasossa). Tehdään se yhteenvetona: $f(z)$ $f$ $f$

f(z)=g(z^{2})+zh(z)

Merkitään kertoimet , ja — kuten . Huomio! Ne on numeroitu "päästä", eli polynomin vapaa kerroin on . $g$ ${\displaystyle a_{j}^{0))$ $h$ $a_{j}^{1}$ $g$ $a_{0}^{0}$

Sanamuoto

Yllä esitetyssä merkinnässä Routh-Hurwitzin lause on muotoiltu seuraavasti:

pq={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)} {P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).

Esimerkiksi ensimmäisestä yhtälöstä voimme päätellä, että kun argumentin muutos on positiivinen, niin imaginaarisen akselin vasemmalla puolella on enemmän juuria kuin oikealla. Tasa -arvoa voidaan pitää Sturmin lauseen kompleksisena analogina . Ero kuitenkin on: Sturmin lauseessa vasen puoli , ja oikealta puolelta on Sturm-ketjun muutosten lukumäärä (kun taas tässä tapauksessa se viittaa yleistettyyn Sturm-ketjuun). $f(iy)$ $f(z)$ $pq=w(+\infty )-w(-\infty )$ $p+q$ $w$ $w$

Hurwitzin vakauskriteeri

Määrittelemme Hurwitz- matriisin parittomiksi ja parillisiksi kertoimilla, jotka on rivissä "tikkaita":

H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\pisteet &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2))]}&&\\ a_{0}&a_{2}&\pisteet &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\pisteet &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\pisteet &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\ &\vpisteet &&&\vpisteet &\\&&&&\pisteet &a_{n}\end{pmatrix}},

polynomin asteesta riippuen viimeinen rivi sisältää parilliset tai parittomat kertoimet. Kaikki tämän matriisin päämollit ovat positiivisia, jos on Hurwitzin polynomi, ja päinvastoin. $f$

Routhin vakauskriteeri

Sturm-ketju alkaa polynomeista ja määrittelee ketjun polynomien johtavan kertoimen sarjan. Kaikilla tämän sekvenssin elementeillä on täsmälleen sama merkki , jos on Hurwitzin polynomi, ja päinvastoin. $g$ $h$ ${\displaystyle a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots ,a_{0}^{n))$ $f$

Routhin kriteeristä on olemassa yleisempi versio: juurien lukumäärä oikeassa puolitasossa on yhtä suuri kuin ketjun etumerkkimuutosten lukumäärä.
Huomaa myös, että merkinnöissä luku on muuttujan indeksi, ei eksponentti. ${\displaystyle a_{0}^{i))$ $i$

Ekvivalenssi

Hurwitzin ja Routhin kriteerit ovat vastaavat. Ne molemmat karakterisoivat Hurwitzin stabiileja polynomeja.

Todiste

Soveltamalla matriisiin Gaussin menetelmää saadaan diagonaalimatriisi . Nyt Hurwitz-kriteeri täyttää kuitenkin vaatimuksen "kaikilla muunnetun matriisin elementeillä on sama merkki". Jos tarkastellaan yksityiskohtaisesti, kuinka Gauss-menetelmä muuttaa matriisin , saamme ehdot Sturm-ketjun generoimiseksi. Varmistamalla, että kertoimet vastaavat kertoimia , saamme Routhin kriteerin. $H_{f}$ $H_{f}^{*}$ $h_{j,j}^{*}$ $H_{f}$ $h_{j,j}^{*}$ ${\displaystyle a_{0}^{j))$

Routh-Hurwitzin kriteeri

Tämä lause sisältää helposti vakauskriteerin, koska on Hurwitz stabiili silloin ja vain jos . Siten saamme kertoimille ehdot asettamalla lisäehtoja ja . $f(z)$ $pq=n$ $f(z)$ $w(+\infty )=n$ $w(-\infty )=0$

Stieltjesin lauseen ohella Routh-Hurwitzin teoreema antaa tapoja karakterisoida stabiileja polynomeja. Vakaus on ominaisuus, joka on tärkeä paitsi monimutkaisten muuttujien funktioteoriassa. Esimerkiksi ohjausteoriassa rationaalinen suodatin on stabiili silloin ja vain, jos sen z-muunnos on stabiili. Näin on, jos Laurentin polynomilla nimittäjässä ei ole juuria yksikköympyrän ulkopuolella . Ratkaisu tähän ongelmaan voidaan kuitenkin pelkistää "tavallisen" polynomin stabiilisuuden ongelmaksi tässä artikkelissa esitetyssä formulaatiossa.

Lisäksi Routhin ja Hurwitz-testin vastaavuus antaa enemmän tietoa yksinkertaisen Routhin testin rakenteesta, mikä näkyy tutkittaessa monimutkaisempaa Hurwitz-testiä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Postnikov, 1981 , s. 15-16.

Kirjallisuus

Gantmakher F. R. Matriisiteoria. — M .: Nauka , 1967. — 576 s.
Postnikov M. M. Vakaat polynomit. - M .: Nauka, 1981. - 176 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Routh-Hurwitzin lause (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .