Laurentin polynomi

Yhden muuttujan Laurent - polynomi kentän päällä on muuttujan positiivisten ja negatiivisten potenssien lineaarinen yhdistelmä kertoimilla alkaen . Laurentin polynomi eroaa tavallisista polynomeista siinä, että eksponentti voi olla negatiivinen. Laurentin polynomit ovat erityisen kiinnostavia tutkia kompleksisen muuttujan funktioiden teoriassa ( katso Laurent-sarja ). $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Määritelmä

Laurent-polynomi kertoimilla kentästä on muodon ilmaus $\mathbb {F}$

p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,

missä X on muodollinen muuttuja, on kokonaisluku (ei välttämättä positiivinen) ja vain äärellinen luku ei ole negatiivinen. $k$ $p_{k}$

Kaksi Laurentin polynomia ovat yhtä suuret, jos niiden kertoimet ovat yhtä suuret. Laurentin polynomeja voidaan lisätä ja kertoa aivan kuten tavallisia polynomeja, mutta muista, että X :llä voi olla negatiivisia potteja

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _ {i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.

Koska ei-negatiivisten kertoimien määrä ja on äärellinen, niin kaikilla summilla on äärellinen määrä termejä ja siten ne näyttävät Laurentin polynomin. $a_{j}$ $b_{j}$

Ominaisuudet

Kentän päällä olevaa Laurent-polynomia voidaan pitää Laurent-sarjana , jossa on äärellinen määrä ei-negatiivisia kertoimia. $\mathbb {C}$
Laurentin polynomirengas on rationaalisten murtofunktioiden renkaan osajoukko .

Kirjallisuus

Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1968. - 564 s.