Epätasa-arvo

Matematiikan eriarvoisuus on relaatio , joka yhdistää kaksi numeroa tai muuta matemaattista objektia käyttämällä yhtä alla luetelluista merkeistä [1] .

Tiukkaa eriarvoisuutta

$a<b$ tarkoittaa vähemmän kuin $a$ $b.$
$a>b$ tarkoittaa enemmän kuin $a$ $b.$

Epätasa-arvot ovat samanarvoisia . He sanovat, että merkit ja ovat päinvastaisia ; esimerkiksi ilmaus "epätasa-arvomerkki on käännetty" tarkoittaa, että se on korvattu tai päinvastoin. $a>b$ $b<a$ $>$ $<$ $<$ $>$

Ei-tiukat eriarvoisuudet

$a\leqslant b$ tarkoittaa pienempi tai yhtä suuri kuin $a$ $b.$
$a\geqslant b$ tarkoittaa suurempi tai yhtä suuri kuin $a$ $b.$

Venäjänkielinen perinne merkkien ⩽ ja ⩾ kirjoittamisesta vastaa kansainvälistä standardia ISO 80000-2 . Ulkomailla käytetään joskus merkkejä ≤ ja ≥ tai ≦ ja ≧. Myös merkkien ⩽ ja ⩾ sanotaan olevan vastakkaisia .

Muuntyyppiset epätasa-arvot

$a\neq b$ - tarkoittaa ei yhtä suuri kuin . $a$ $b$
$a\gg b$ tarkoittaa, että arvo on paljon suurempi kuin $a$ $b.$
$a\ll b$ tarkoittaa, että arvo on paljon pienempi kuin $a$ $b.$

Edelleen tässä artikkelissa, ellei toisin mainita, epätasa-arvon käsite viittaa neljään ensimmäiseen tyyppiin.

Alkeismatematiikassa tutkitaan numeerisia epäyhtälöitä (rationaalinen, irrationaalinen, trigonometrinen, logaritminen, eksponentiaalinen). Yleisessä algebrassa , analyysissä , geometriassa , epäyhtälöissä huomioidaan myös ei-numeeristen kohteiden välillä.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Eriarvoisuuksia, joilla on samat merkit, kutsutaan samannimisiksi eriarvoisuuksiksi ( joskus käytetään termiä "sama merkitys" tai "sama merkitys").

Kaksinkertainen tai jopa moninkertainen epäyhtälö on sallittu yhdistämällä useita epäyhtälöitä yhdeksi. Esimerkki:

a<b<c

on lyhenne epätasa-arvoparille: ja

a<b

b<c.

Numeeriset epäyhtälöt

Numeeriset epäyhtälöt sisältävät reaalilukuja ( suuremman tai vähemmän vertailua ei ole määritelty kompleksiluvuille ) ja ne voivat sisältää myös tuntemattomien symboleja . Tuntemattomia suureita sisältävät numeeriset epäyhtälöt jaetaan (samalla tavalla kuin yhtälöt ) algebrallisiin ja transsendentaalisiin. Algebralliset epäyhtälöt puolestaan jaetaan ensimmäisen asteen, toisen asteen epäyhtälöihin ja niin edelleen. Esimerkiksi epäyhtälö on ensimmäisen asteen algebrallinen, epäyhtälö on kolmannen asteen algebrallinen, epäyhtälö on transsendentaalinen [2] . ${\näyttötyyli (x,y,\pisteet ).}$ $18x<414$ $2x^{3}-7x+6>0$ $2^{x}>x+4$

Ominaisuudet

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet ovat joissain suhteissa lähellä yhtälöiden ominaisuuksia [1] :

Voit lisätä saman luvun epäyhtälön molemmille puolille.
Voit vähentää saman luvun epäyhtälön molemmilta puolilta. Seuraus: yhtälöiden osalta mikä tahansa epäyhtälön termi voidaan siirtää toiseen osaan päinvastaisella merkillä. Siitä seuraa esimerkiksi $a+b<c$ $a<cb.$
Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa samalla positiivisella luvulla.
Samannimiset epäyhtälöt voidaan lisätä: esimerkiksi jos ja sitten Epäyhtälöt , joilla on vastakkaiset merkit, voidaan samalla tavalla vähentää termi kerrallaan. $a<b$ $c<d,$ $a+c<b+d.$
Jos kahden epäyhtälön kaikki neljä osaa ovat positiivisia, niin epäyhtälöt voidaan kertoa.
Jos molemmat epäyhtälön osat ovat positiivisia, ne voidaan nostaa samaan (luonnolliseen) potenssiin ja myös logaritmiin millä tahansa kantalla (jos logaritmin kanta on pienempi kuin 1, niin epäyhtälön etumerkki on käännettävä) .

Muut ominaisuudet

Transitiivisuus : jos ja silloin ja samalla tavalla muille merkeille. $a<b$ $b<c,$ $a<c$
Jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön merkki muuttuu päinvastaiseksi: suurempi kuin pienempi kuin , suurempi tai yhtä suuri kuin pienempi tai yhtä suuri kuin , jne.

Epäyhtälöiden ratkaisu

Jos epäyhtälö sisältää tuntemattomien symboleja, niin sen ratkaiseminen tarkoittaa kysymyksen selvittämistä, mille tuntemattomien arvoille epäyhtälö täyttyy. Esimerkkejä:

x^{2}<4

suoritettu klo

-2<x<2.

x^{2}>4

suoritetaan jos tai

x>2

x<-2.

x^{2}<-4

ei koskaan suoritettu (ei ratkaisuja).

x^{2}>-4

pätee kaikille ( identiteetti ).

x

Huomio : jos nostat tuntemattomia sisältävän epäyhtälön parilliseen potenssiin, saattaa ilmestyä "ylimääräisiä" ratkaisuja. Esimerkki: jos epäyhtälö on neliö: silloin tulee virheellinen ratkaisu, joka ei täytä alkuperäistä epäyhtälöä. Siksi kaikki tällä tavalla saadut ratkaisut tulee varmistaa korvaamalla alkuperäiseen epäyhtälöön. $x>3$ $x^{2}>9,$ $x<-3,$

Ensimmäisen asteen epäyhtälöt

Ensimmäisen asteen epätasa-arvolla on yleinen muoto: tai missä (työskennellä merkkien kanssa ja on samanlainen). Ratkaise se jakamalla epäyhtälö ja kääntämällä epäyhtälömerkki [3] . Esimerkki: $ax>b$ $ax<b,$ $a\neq 0$ $\geqslant$ $\leqslant$ $a$ $a<0,$

5x-11>8x+1.

Tässä ovat samanlaiset termit: tai

-3x>12,

x<-4.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöjärjestelmät

Jos sama tuntematon sisältyy useampaan kuin yhteen epäyhtälöön, tulee jokainen epäyhtälö ratkaista erikseen ja sitten verrata näitä ratkaisuja, jotka on suoritettava yhdessä.

Esimerkki 1 . Järjestelmästä saamme kaksi ratkaisua: ensimmäiselle epätasa -arvolle toiselle: Yhdistämällä ne, saamme vastauksen: ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases))$ $x<2,$ $x>{2 \over 3}.$ ${2 \over 3}<x<2.$

Esimerkki 2 . Ratkaisut: ja Toinen ratkaisu imee ensimmäisen, joten vastaus on: ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x<2$ $x<{2 \over 3}.$ $x<{2 \over 3}.$

Esimerkki 3 . Ratkaisut: ja ne eivät ole yhteensopivia, joten alkuperäisellä järjestelmällä ei ole ratkaisuja. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x>2$ $x<{2 \over 3},$

Toisen asteen epäyhtälöt

Toisen asteen epätasa-arvon yleinen muoto (kutsutaan myös toisen asteen epätasa- arvoksi ):

x^{2}+px+q>0

tai

x^{2}+px+q<0.

Jos toisen asteen yhtälöllä on todelliset juuret , niin epäyhtälö voidaan vähentää muotoon, vastaavasti: $x^{2}+px+q=0$ $x_{1},x_{2},$

{\näyttötyyli (x-x_{1})(x-x_{2})>0}

tai

{\näyttötyyli (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}

Ensimmäisessä tapauksessa ja niillä on oltava samat merkit, toisessa - erilaiset. Lopulliseen vastaukseen tulee soveltaa seuraavaa yksinkertaista sääntöä [4] . ${\näyttötyyli x-x_{1))$ ${\näyttötyyli x-x_{2))$

Neliötrinomi , jolla on erilaiset reaalijuuret, on negatiivinen juurien välissä ja positiivinen tämän välin ulkopuolella. $x^{2}+px+q$

Jos kävi ilmi, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria, niin sen vasen puoli säilyttää saman merkin kaikille , joten alkuperäinen toisen asteen epäyhtälö on joko identtisyys tai sillä ei ole ratkaisuja (katso esimerkit alla [5] ). $x^{2}+px+q=0$ $x.$

Esimerkki 1 . Jakamalla :lla saamme epäyhtälön muotoon: Ratkaistuamme toisen asteen yhtälön saamme juuret , joten alkuperäinen epäyhtälö vastaa tätä: Yllä olevan säännön mukaan mikä on vastaus. $-2x^{2}+14x-20>0.$ ${\näyttötyyli -2,}$ $x^{2}-7x+10<0.$ $x^{2}-7x+10=0,$ $x_{1}=2;x_{2}=5,$ $(x-2)(x-5)<0.$ $2<x<5,$

Esimerkki 2 . Samalla tavalla saamme sen ja meillä on samat merkit, eli säännön mukaan tai $-2x^{2}+14x-20<0.$ $x-2$ $x-5$ $x<2,$ $x>5.$

Esimerkki 3 . Yhtälöllä ei ole todellisia juuria, joten sen vasen puoli säilyttää merkkinsä kaikille Sillä vasen puoli on positiivinen, joten alkuperäinen epäyhtälö on identiteetti (tosi kaikille ). $x^{2}+6x+15>0.$ $x^{2}+6x+15=0$ $x.$ $x=0$ $x$

Esimerkki 4 . Kuten edellisessä esimerkissä, tässä vasen puoli on aina positiivinen, joten epätasa-arvolla ei ole ratkaisuja. $x^{2}+6x+15<0.$

Vastaavasti factoringin avulla voidaan ratkaista korkeamman asteen epäyhtälöitä. Toinen tapa on rakentaa kuvaaja vasemmasta reunasta ja määrittää, mitä merkkejä siinä on eri aikavälein [6] .

Muut epätasa-arvot

On myös murto-rationaalisia, irrationaalisia, logaritmisia ja trigonometrisiä epäyhtälöitä.

Joitakin tunnettuja epätasa-arvoja

Alla on käytännössä hyödyllisiä epäyhtälöitä, jotka täyttyvät identtisesti, jos tuntemattomat ovat määritettyjen rajojen sisällä [7] .

$a+{1 \over a}\geqslant 2,$ jossa tasa-arvo pätee vain $a>0.$ $a=1.$
${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ jossa Merkitys: kahden luvun geometrinen keskiarvo ei ylitä niiden aritmeettista keskiarvoa . Tasa-arvo toteutuu vain silloin, kun $a,b>0.$ $a=b.$
Eriarvoisuus keinojen suhteen
Bernoullin epäyhtälö :

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,

jossa positiivinen luku on suurempi kuin 1.

x\geqslant -1,n

|a+b|\leqslant |a|+|b|

Katso artikkeli Absoluuttinen arvo tämän epätasa-arvon seurauksista .

Epätasa-arvomerkit ohjelmointikielissä

"Ei yhtäläinen" -symboli on kirjoitettu eri tavalla eri ohjelmointikielissä .

symboli	Kieli (kielet
!=	C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<>	Perus , Pascal , 1C
~=	Lua
/=	Haskell , Fortran , Ada
#	Modula-2 , Oberon

Epäyhtälömerkkikoodit

symboli	kuva	Unicode		venäläinen nimi	HTML			LaTeX
symboli	kuva	koodi	otsikko	venäläinen nimi	heksadesimaali	desimaali	muistitekniikka	LaTeX
<	$<$	U+003C	Alle merkki	Vähemmän	<	<	<	<, \tekstitön
>	$>$	U+003E	Suurempi kuin merkki	Lisää	>	>	>	>, \textgreater
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Pienempi kuin tai vinossa yhtä suuri kuin	Vähemmän tai yhtä suuret	⩽	⩽	Ei	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Suurempi kuin tai vinossa yhtä suuri kuin	Enemmän tai yhtä paljon	⩾	⩾	Ei	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Pienempi kuin tai yhtä suuri kuin	Vähemmän tai yhtä suuret	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Suurempi tai yhtä suuri kuin	Enemmän tai yhtä paljon	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Paljon vähemmän kuin	Paljon vähemmän	≪	≪	Ei	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Paljon suurempi kuin	Paljon enemmän	≫	≫	Ei	\gg

Katso myös

Vertailu (ohjelmointi)

Muistiinpanot

↑ 1 2 Epäyhtälöt // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 999.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 177.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 178.
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 217-222.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 180-181.
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 212-213, 219-222.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 174-176.

Kirjallisuus

Beckenbach E.F. Epätasa-arvo. - M .: Mir, 1965.
Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja . - M .: Nauka, 1978.
- Uudelleenjulkaisu: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Epäyhtälöt. - M . : Ulkomainen kirjallisuus, 1948.

Matemaattiset merkit

Plus ( + )
Miinus ( - )
Kertomerkki ( · tai × )
Jakomerkki ( : tai / )
Obelus ( ÷ )
Juurimerkki ( √ )
Factorial ( ! )
Integraalimerkki ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Yhtävyysmerkki ( = , ≈ , ≡ jne. )
Eriarvoisuusmerkit ( ≠ , > , < jne. )
Suhteellisuus ( ∝ )
Hakasulkeet ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Pystypalkki ( | )
kauttaviiva, kauttaviiva ( / )
Kenoviiva, kenoviiva ( \ )
Ääretön merkki ( ∞ )
Tutkintomerkki ( ° )
Aivohalvaus ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Tähti ( * )
Prosenttiosuus ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plus-miinus ( ± )
Miinus-plus-merkki ( ∓ )
Desimaalierotin ( , tai . )
Vedosmerkki ( ∎ )