Alierotus

Banach-avaruudessa E määritellyn funktion f alidifferentiaali on yksi tapa yleistää derivaatan käsite mielivaltaisiin funktioihin. Vaikka sitä käytettäessä on uhrattava kartoituksen ainutlaatuisuus (yleisessä tapauksessa osadifferentiaalin arvot ovat joukkoja, ei yksittäisiä pisteitä), se osoittautuu varsin käteväksi: mikä tahansa konveksi funktio osoittautuu alidifferentioituvaksi koko määritelmäalue. Niissä tapauksissa, joissa funktion differentiatiivisuudesta ei tiedetä etukäteen mitään, tämä osoittautuu merkittäväksi eduksi.

Lisäksi alidifferentiaali (jolla on melko heikkoja rajoituksia funktiolle) on ominaisuuksiltaan monin tavoin samanlainen kuin tavallinen derivaatta. Erityisesti differentioituvalle funktiolle ne ovat samat, mutta ei-differentoiville funktiolle se osoittautuu ikään kuin "joukko mahdollisia derivaattoja" tietyssä pisteessä. Alidifferentiaalin arvot ovat kaksoisavaruuden E * konveksia osajoukkoja.

Määritelmä

Konveksin funktion osadifferentiaali pisteessä on joukko , joka koostuu kaikista lineaarisista funktionaaleista , jotka täyttävät kaikki epäyhtälöt $\partial f(x_{0})$ $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ ${\näyttötyyli x_{0))$ $p\in E^{*}$ $x\in E$

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

Funktiota kutsutaan alidifferentioituvaksi pisteessä, jos joukko ei ole tyhjä. $f(x)$ $x_{0}$ $\partial f(x_{0})$

Osadifferentiaaliin kuuluvaa vektoria kutsutaan funktion aligradienttiksi pisteessä . $p\in E^{*}$ $\partial f(x_{0})$ $f(x)$ $x_0$

Ominaisuudet

$\partial f(x_{0})$ on kupera (mahdollisesti tyhjä) asetettuna $E^{*}$

Olkoot f 1 (x), f 2 (x) konveksia äärellisiä funktioita ja yksi niistä on jatkuva pisteessä x, , niin $\lambda \geq 0$

$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{ 2}(x)\oikea)$ , сумма понимается в смысле суммы Минковского .

$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

Jos funktio on konveksi ja jatkuva pisteessä , niin se on alidifferentioituva tässä pisteessä eli ja sen osadifferentiaali on kompakti ja kupera joukko $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $x\in E$ $x\in E$ $\partial f(x)\neq \varnothing$ $\partial f(x)$

Olkoon funktio kupera ja äärellinen. Tässä tapauksessa funktio on Gateaux'n differentioituva pisteessä silloin ja vain jos sen alidifferentiaali tässä pisteessä koostuu yhdestä vektorista $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $f(x)$ $x_{0}\in E$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x))\right\))$

Funktiolla on paikallinen minimi pisteessä silloin ja vain, jos 0 kuuluu alidifferentiaaliin kyseisessä pisteessä.

Jos konveksifunktiojono konvergoi pisteittäin konveksiksi funktioksi , niin minkä tahansa konvergentin sekvenssin raja kuuluu osadifferentiaaliin . $f_n$ $f$ $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n))$ $\partial _{x_{0}}f$

Linkit

Polovinkin E.S., Balashov M.V. Kuperan ja vahvasti kuperan analyysin elementit. - M. : Fizmatlit, 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3 .
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Kuperan analyysin perusteet. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .