Puolijatkuva toiminto

Puolijatkuvuus laskennassa on funktion heikompi ominaisuus kuin jatkuvuus. Funktio on pienempi puolijatkuva pisteessä, jos funktion arvo lähipisteissä ei ole paljon pienempi kuin funktion arvo siinä. Funktio on ylempi puolijatkuva pisteessä, jos funktion arvot lähipisteissä eivät ylitä suuresti funktion arvoja siinä.

Määritelmät

Olkoon täydellinen metriavaruus . Reaaliarvoista funktiota kutsutaan alemmaksi (yläksi) puolijatkuvaksi pisteessä, jos $(X,\varrho ).$ $f:X \to \mathbb{R}$ $x_{0}\in X$

\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x) \leq f(x_{0})\oikea).

Funktion sanotaan olevan alempi (ylempi) puolijatkuva, jos se on alempi (ylempi) puolijatkuva kaikille . $f$ $M\alajoukko X$ $x_{0}\in M$

Ominaisuudet

Funktio on alempi puolijatkuva silloin ja vain jos joukko on avoin reaaliviivan standarditopologiassa mille tahansa $f:X\to \mathbb{R}$ $\{x\in X\mid f(x)>a\}$ $a\in \mathbb{R} .$
Olkoon kaksi alempaa (ylempää) puolijatkuvaa funktiota. Silloin niiden summa on myös alempi (ylempi) puolijatkuva. $f,g:X\to \mathbb{R}$ $f+g$
Alempien (ylempien) puolijatkuvien funktioiden monotonisesti kasvavan (laskevan) sekvenssin raja pisteessä on alempi (ylempi) puolijatkuva funktio . Tarkemmin sanottuna annetaan alempien (ylempien) puolijatkuvien funktioiden sarja siten, että Silloin jos raja on olemassa, niin se on alempi (ylempi) puolijatkuva. $x_{0}$ $x_{0}$ $f_{n}:X\to {\mathbb {R)],\;n\in {\mathbb {N))$ $f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,$ $f$
Jos ja on puolijatkuvia funktioita, vastaavasti alhaalta ja ylhäältä, ja koko avaruus täyttyy, niin on jatkuva funktio , joka $u:X\to {\mathbb {R}}$ $v:X\to {\mathbb {R}}$
$-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
$f:X \to \mathbb{R}$
$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\in X.$
( Weierstrassin lause ) Olkoon kompakti osajoukko Sitten alempi (ylempi) puolijatkuva funktio saavuttaa miniminsä (maksiminsa) . $K\alajoukko X.$ $f:K\to \mathbb{R}$ $K$

Esimerkkejä

Kokonaislukuosa on ylempi puolijatkuva funktio; $x\mapsto[x]$
Murto -osa on alempi puolijatkuva. $x\mapsto\{x\}$
Mittarin muodostaman topologian mielivaltaisen avoimen joukon indikaattori on alempi puolijatkuva funktio. ${\mathbf {1}}_{U}$ $\varrho$ $U\alajoukko X$
Mielivaltaisen suljetun joukon ilmaisin on ylempi puolijatkuva funktio. ${\mathbf {1}}_{V}$ $V\alajoukko X$

Kirjallisuus

Natanson I.P., Reaalimuuttujan funktioiden teoria , 3. painos, M., 1974;
Sachs S, Integraaliteoria , käänn. Englannista, M., 1949.