Lagrangin mekaniikka

Lagrangian mekaniikka on klassisen mekaniikan uudelleenmuotoilu , jonka Lagrange esitteli vuonna 1788 . Lagrangian mekaniikassa kohteen liikerata saadaan etsimällä polku, joka minimoi toiminnan - Lagrange-funktion integraali ajan myötä. Klassisen mekaniikan Lagrange-funktio esitellään erona liike- ja potentiaalienergian välillä .

Tämä yksinkertaistaa suuresti monia fyysisiä ongelmia. Harkitse esimerkiksi helmeä vanteessa. Jos lasket liikkeen Newtonin toisella lailla, sinun on kirjoitettava monimutkainen yhtälösarja, joka ottaa huomioon kaikki voimat, jotka vaikuttavat vanteeseen helmen sivulta kullakin hetkellä. Lagrangian mekaniikkaa käyttämällä saman ongelman ratkaiseminen on paljon helpompaa. On tarpeen ottaa huomioon kaikki mahdolliset helmen liikkeet vannetta pitkin ja löytää matemaattisesti se, joka minimoi toiminnan. Tässä on vähemmän yhtälöitä, koska ei tarvitse suoraan laskea vanteen vaikutusta helmeen tietyllä hetkellä. Totta, tässä tehtävässä on vain yksi yhtälö, ja se voidaan saada myös mekaanisen energian säilymisen laista.

Lagrangian mekaniikan olemus

Lagrange ja pienimmän toiminnan periaate

Mekaaniselle järjestelmälle on tunnusomaista yleiset koordinaatit ja yleistyneet nopeudet . Mekaaninen järjestelmä liittyy Lagrangen funktioon - Lagrangian , riippuen yleistetyistä koordinaateista ja nopeuksista, ja mahdollisesti suoraan ajankohdasta - . Lagrangin aikaintegraalia tietylle lentoradalle kutsutaan toiminnaksi : $q$ ${\piste {q}}$ $L(q,{\piste {q}},t)$ $S$

S=\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(q,{\piste {q}}),t)dt

Lagrangian mekaniikan liikeyhtälöt perustuvat pienimmän (stationaarisen) toiminnan periaatteeseen (Hamiltonin periaate) - järjestelmä liikkuu liikeradalla, joka vastaa minimitoimintaa (ainakin jossain mahdollisten lentoratojen joukon pienessä ympäristössä). Stationaarisuus tarkoittaa, että toiminta ei muutu ensimmäisessä pienuusjärjestyksessä, kun liikeradan muutos on äärettömän pieni, ja alku- ja loppupisteet ovat kiinteät . Hamiltonin periaate voidaan kirjoittaa näin $(q_{0},\;t_{0})$ $(q_{1},\;t_{1})$

\deltaS=0.

Mitä tahansa tällaista lentorataa kutsutaan suoraksi poluksi kahden pisteen välillä. Kaikkia muita polkuja kutsutaan kiertäviksi .

On oltava varovainen ja muistettava, että toiminnan ensimmäisen muunnelman yhtäläisyys nollaan merkitsee vain sen stationaarisuutta, mutta ei toiminnan minimaalisuutta. On helppo nähdä, että klassisessa mekaniikassa toimintafunktio ei voi saada maksimiarvoa, koska hiukkanen voi kulkea samaa reittiä suuremmalla nopeudella, samalla kun sen liike-energia on koko matkan suurempi eikä potentiaalienergia muutu. , eli toimintaa ei ole rajoitettu ylhäältä (jos et aseta nopeusrajoituksia). Kaksi pistettä voidaan kuitenkin yhdistää useilla tavoilla, jolloin toiminta saa kiinteän arvon. Yksinkertaisin esimerkki on pisteen vapaa liike pallolla, jossa on äärettömän monta yhtäläistä tapaa päästä diametraalisesti vastakkaiseen pisteeseen. Monimutkaisemmat tapaukset ovat mahdollisia, kun pisteitä yhdistää useita suoria polkuja, mutta niihin kohdistuvan toiminnan arvo on erilainen.

Pistettä kutsutaan pisteen konjugoiduksi kineettiseksi keskittymiseksi , jos on useita suoria polkuja läpi ja . $M_{2}$ $M_{1}$ $M_{1}$ $M_{2}$

Kirjaimellisessa mielessä vähiten toimien periaate pätee vain paikallisesti. Nimittäin on

Bobylevin lause [1] : suoraa polkua pitkin tapahtuvalla toiminnalla on pienin arvo verrattuna kiertoliittymiin, jos kaaren kineettiselle fokusoinnille ei ole konjugaattia . $M_{1}M_{2}$ $M_{1}M_{2}$ $M_{1}$

Hamiltonin periaatteesta, edeten variaatiolaskelman mukaisesti, saadaan Euler-Lagrange-yhtälöt :

${\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0$

Jos otamme käyttöön seuraavan merkinnän

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))$ - yleistyneet impulssit

$F={\frac {\partial L}{\partial q))$ - yleistyneet voimat

silloin Euler-Lagrange-yhtälöt saavat muodon

${\frac {dp}{dt}}=F$

Eli yleistetyn Newtonin toisen lain muodossa.

Järjestelmän Lagrange määritetään mielivaltaisen koordinaattien ja ajan funktion kokonaisaikaderivaataan asti. Tällaisen funktion lisääminen Lagrangian ei vaikuta liikeyhtälöiden muotoon.

Lagrange inertiaalisissa viitekehyksessä

Lagrangian pohjimmiltaan tärkeä ominaisuus on vuorovaikuttamattomien järjestelmien additiivisuus – ei-vuorovaikutteisten järjestelmien Lagrange on yhtä suuri kuin niiden Lagrangien summa. Toinen tärkeä klassisen mekaniikan periaate on Galileon suhteellisuusperiaate – lakien samaisuus eri inertiakehyksissä. Lisäksi käytetään yleisiä oletuksia tilan homogeenisuudesta ja isotropiasta sekä ajan homogeenisuudesta. Nämä periaatteet tarkoittavat Lagrangin invarianssia (määriteltyyn epävarmuuteen asti) tiettyjen muunnosten suhteen.

Erityisesti vapaasti liikkuvalle kehykselle (materiaalipisteelle) inertiakehyksessä seuraa tilan ja ajan homogeenisuuden periaatteista, että Lagrangin on oltava vain nopeuden funktio. Avaruuden isotropia tarkoittaa, että Lagrange riippuu vain nopeuden itseisarvosta, ei suunnasta, eli itse asiassa . Seuraavaksi käytämme suhteellisuusperiaatetta. Lagrangin muunnelma on . Tämä variaatio on kokonaisaikaderivaata vain , jos josta saadaan, että Lagrange on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön $L=L(v^{2})$ $\delta L={\frac {\partial L}{\partial v^{2))}2v\delta v$ ${\frac {\partial L}{\partial v^{2))}=vakio$

$L={\frac {m}{2}}v^{2}$

Parametri on, kuten liikeyhtälöistä voidaan osoittaa, hiukkasen massa, ja Lagrangian on olennaisesti yhtä suuri kuin liike-energia. $m$

Liikeyhtälöistä seuraa sitten, että Lagrangin derivaatta nopeuden suhteen on vakio. Mutta tämä johdannainen on sama Lagrangin muodon perusteella. Siksi vapaasti liikkuvan hiukkasen nopeusvektori inertiakehyksessä on vakio (Newtonin ensimmäinen laki) $mv$

Lagrangian additiivisuudesta seuraa, että vuorovaikuttamattomien hiukkasten järjestelmässä Lagrangian on yhtä suuri kuin

$L=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}$

Vuorovaikutteisten hiukkasten suljetun järjestelmän tapauksessa tätä Lagrangian tulisi täydentää koordinaattien (ja joskus nopeuksien) funktiolla, joka riippuu vuorovaikutuksen luonteesta

$L=\summa _{i}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}-U(r_{1},r_{2},...,r_{n} )$

Ulkoisessa kentässä avoimen järjestelmän Lagrangian muoto on samanlainen. Tässä tapauksessa kentän koordinaattien ja nopeuksien funktiot oletetaan annetuiksi, joten kentän Lagrangin kineettinen osa voidaan jättää huomiotta vain ajan funktiona. Siksi suuren järjestelmän (mukaan lukien ulkoinen kenttä) Lagrangian kuvaa tietyn järjestelmän Lagrange plus järjestelmän koordinaattien ja nopeuksien kenttäfunktio sekä mahdollisesti aika.

Yhdelle hiukkaselle ulkoisessa kentässä Lagrangian on yhtä suuri kuin

$L=mv^{2}/2-U(r,t)$

Tästä on helppo johtaa liikeyhtälöt

$m{\piste v}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=F$

Tämä on Newtonin toinen laki

Säilytyslait (liikkeen integraalit)

Avaruuden ja ajan homogeenisuus ja isotropia johtavat yleisimmin käytettyihin säilymislakeihin - ns. liikkeen lisäintegraalit.

Energian säilymislaki

Ajan homogeenisuudesta seuraa, että Lagrange ei siis ole suoraan riippuvainen ajasta

${\frac {dL}{dt))=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}{\dot {q_{i))}+\sum _{i }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\ddot {q_{i}}}$

Euler-Lagrange-yhtälöitä käyttämällä saamme tästä

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i))}\oikea){\piste {q_{i}}}+\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\piste {q_{i}}}}} {\ddot {q_{i))}=\sum _{i}{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\piste {q))_{ i))}{\piste {q_{i))}\oikea)$

Täältä

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot { q_{i}}}-L\oikea)=0$

Arvo siis

$E=\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}{\piste {q_{i))}-L=\sum _{i}p_ {i}{\piste {q_{i}}}-L$

järjestelmän energia ei muutu ajan myötä. Tämä on energian säilymisen laki.

Kun otetaan huomioon suljetun järjestelmän tai ulkoisessa kentässä sijaitsevan järjestelmän Lagrangian muoto, se on yhtä suuri kuin

$L=T(q,{\piste q})-U(q)$

missä on nopeuksien homogeeninen neliöfunktio, niin homogeenisia funktioita koskevan Eulerin lauseen perusteella saadaan $T(q,{\piste q})$

$E = 2T-(TU) = T+U$

Siten järjestelmän energia koostuu kahdesta komponentista - liike-energiasta ja potentiaalista.

Liikemäärän säilymislaki

Avaruuden homogeenisuus tarkoittaa Lagrangin invarianssia rinnakkaisten käännösten suhteen. Meillä on Lagrangin muunnelma

$\delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}=\left( \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\right)\delta \mathbf {r} =0$

Koska on mielivaltainen, meillä on $\delta {\mathbf {r}}$

$\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}=0$

Tämä suhde, kun otetaan huomioon yleisen voiman käsite, tarkoittaa, että voimien vektorisumma on yhtä suuri kuin nolla (kahden kappaleen erityistapauksessa - toiminta on yhtä suuri kuin reaktio - Newtonin kolmas laki).

Korvaamalla tämän yhtälön Euler-Lagrange-yhtälöihin, saamme

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\ oikea)=0$

Siksi suluissa oleva lauseke

$P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}} _{i}$

joka on liikemääräksi kutsuttu vektorisuure, säilyy ajassa. Tämä on liikemäärän säilymisen laki.

Hiukkasjärjestelmän liikemäärän säilymislaki voidaan muotoilla järjestelmän painopisteen liikkeen tasaiseksi ja suoruudeksi.

Kulmamomentin säilymislaki

Avaruuden isotropia tarkoittaa suljetun mekaanisen järjestelmän Lagrangian invarianssia suhteessa pyörimiseen. Jos määritetään äärettömän pieni kiertovektori ruuvisäännön mukaan, sädevektorin ja nopeusvektorin muutokset ovat yhtä suuria kuin kiertovektorin ja sädevektorin tai nopeusvektorin vektoritulo: $\delta {\mathbf {\phi }}$

$\delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}]$ , $\delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]$

Lagrangin invarianssi tarkoittaa sitä

$\delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}+ {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i))}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\ piste {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0$

Korvaamalla tässä sädevektorin ja nopeusvektorin muutosten lausekkeet, saadaan:

$\sum _{i}\left({\piste {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\piste {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \ phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0$

Kun otetaan huomioon kiertovektorin mielivaltaisuus, voimme vihdoin kirjoittaa

${\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0$

Tämä tarkoittaa, että vektorisuure

${\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]$

on tallennettu. Tätä määrää kutsutaan kulmamomentiksi tai yksinkertaisesti momentiksi.

Lagrange-yhtälöiden johtaminen Newtonin mekaniikasta

Tarkastellaan yksittäistä hiukkasta, jonka massa- ja sädevektori on . Oletetaan, että voimakenttä , jossa ja jonka vaikutuksesta se liikkuu, voidaan ilmaista skalaarifunktion gradienttina - potentiaalienergia (tämän ehdon täyttyvät esimerkiksi gravitaatio- ja sähkökentät, eikä magneettikentillä): $m$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {F}$ $V({\mathbf {r)),\;t)$

{\mathbf {F}}=-\nabla V.

Tällainen voima ei riipu derivaatoista , joten Newtonin toinen laki muodostaa 3 toisen asteen tavallista differentiaaliyhtälöä . Hiukkasen liikettä voidaan kuvata täysin kolmella riippumattomalla muuttujalla, joita kutsutaan vapausasteiksi . Ilmeinen muuttujien joukko on (Carteesiset komponentit tietyllä hetkellä). $\mathbf {r}$ $\{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}$ $\mathbf {r}$

Yleistäen voimme työskennellä yleistetyillä koordinaatteilla , ja niiden derivaatoilla, yleistetyillä nopeuksilla . Sädevektori liittyy yleistettyihin koordinaatteihin jollain muunnosyhtälöllä: $q_{j}$ $q'_{j}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,

missä on järjestelmän vapausasteiden lukumäärä. $N$

Esimerkiksi matemaattisen heilurin tasoliikkeelle, jolla on pituus, yleisen koordinaatin looginen valinta on poikkeamakulma ripustuksen pystysuorasta, jonka muunnosyhtälöillä on muoto $l$ $\theta$

{\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).

Termi yleiset koordinaatit on jäänyt ajalta, jolloin suorakulmaiset koordinaatit olivat oletuskoordinaatisto.

Harkitse mielivaltaista hiukkasten siirtymää. Sovelletun voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin . Newtonin toista lakia käyttäen kirjoitamme: $\delta {\mathbf {r}}$ $\mathbf {F}$ $\delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}$

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.

Kirjoitetaan tämä yhtälö uudelleen yleistetyillä koordinaatteilla ja nopeuksilla. Tasa-arvon oikealla puolella

{\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle { \partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{ i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}

Tasa-arvon vasen puoli on monimutkaisempi, mutta joidenkin permutaatioiden jälkeen saamme:

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}=\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_ {i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i},

missä on hiukkasen liike-energia. Työn yhtälö kirjoitetaan muotoon $T={\frac {m}{2}}{{\piste {{\mathbf {r}}}}}^{2}$

\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\oikea]\delta q_{i}=0.

Tämän lausekkeen on oltava totta kaikille muutoksille , joten $\delta q_{i}$

\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\ oikea]=0

jokaiselle yleistetylle koordinaatille . Voimme yksinkertaistaa tätä lauseketta edelleen, jos huomaamme, että se on vain ja funktio , ja se on yleistettyjen koordinaattien ja funktio . Silloin se ei riipu yleistetyistä nopeuksista: $\delta q_{i}$ $V$ $\mathbf {r}$ $t$ $\mathbf {r}$ $t$ $V$

{d \over dt}{\partial {V} \over \partial {{\dot q}_{i))}=0.

Lisäämällä tämän edelliseen yhtälöön ja korvaamalla , saadaan Lagrangen yhtälöt : $L = TV$

{\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot q}_{i}}}.

Aivan kuten Newtonin yhtälöt, Lagrangen yhtälöt ovat toisen asteen yhtälöitä, kuten niiden johdosta seuraa. Jokaiselle yleistetylle koordinaatille on yksi Lagrange-yhtälö . Kun (eli yleiset koordinaatit ovat vain karteesisia koordinaatteja), voidaan helposti varmistaa, että Lagrangen yhtälöt pelkistyvät Newtonin toiseen lakiin. $q_{i}$ $q_{i}=r_{i}$

Yllä oleva johtaminen voidaan yleistää hiukkasjärjestelmäksi. Sitten on yleistetyt koordinaatit, jotka liitetään sijaintikoordinaatteihin muunnosyhtälöillä. Jokaisessa Lagrange-yhtälössä on järjestelmän kokonaiskineettinen energia ja potentiaalinen kokonaisenergia. $N$ $3N$ $3N$ $3N$ $T$ $V$

Käytännössä ongelma on usein helpompi ratkaista käyttämällä Euler-Lagrange-yhtälöitä eikä Newtonin lakeja, koska sopivat yleiset koordinaatit voidaan valita ottamaan huomioon ongelman symmetriat . $q_{i}$

Ongelmaesimerkkejä

Tehtävä 1. Tarkastellaan pistemäistä massapalloa, joka liikkuu ilman kitkaa kiinteää pystyrengasta pitkin. Järjestelmällä on yksi vapausaste. Valitaan koordinaatiksi helmaan suunnatun säteen poikkeamakulma painovoimavektorista . Kineettinen energia kirjoitetaan muotoon $m$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}},

ja potentiaalinen energia on

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange-toiminto tälle järjestelmälle

L=TU={\frac {mr^{2}{\piste \varphi }^{2}}{2}}+mgr\cos \varphi .

Lagrangen yhtälöt ovat muotoa:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}={\frac { d}{dt))(mr^{2}{\piste \varphi })+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot \varphi }+mgr\sin \varphi =0.

Tämä yhtälö voidaan saada myös erottamalla mekaanisen energian säilymislaki ajan suhteen. Pienillä kulmilla kulman sini on yhtä suuri kuin itse kulma: . Tässä tapauksessa saamme $\varphi$ $\sin \varphi \noin \varphi$

mr^{2}{\ddot \varphi }=-mgr\,\varphi

tuo on

{\ddot \varphi }=-{\frac {g}{r}}\,\varphi

Tämä differentiaaliyhtälö tunnetaan Newtonin liikeyhtälöistä ja sillä on ratkaisu

\varphi (t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t

jossa vakiot ja riippuvat alkuehdoista, ja $A$ $B$ $\omega ={\sqrt {{\frac {g}{r))))$

Tehtävä 2. Tarkastellaan pistemäistä massapalloa, joka liikkuu ilman kitkaa pystysuoraa rengasta pitkin, joka pyörii pystyakselinsa ympäri vakiokulmanopeudella . Järjestelmällä on yksi vapausaste. Valitaan koordinaatiksi helmaan suunnatun säteen poikkeamakulma painovoimavektorista . Kineettinen energia kirjoitetaan muotoon $m$ $\omega$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {m}{2}}(r^{2}{\piste \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\piste \theta } ^{2}),

missä on renkaan kiertokulma. Potentiaalinen energia on $\theta$

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange-toiminto tälle järjestelmälle

L=TU={\frac {m}{2}}(r^{2}{\piste \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\piste \ theta }^{2})+mgr\cos\varphi .

Lagrangen yhtälöt saavat muodon

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }} ={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\piste {\varphi }})-mr^{2}\sin \varphi \cos \varphi \,{\dot {\theta }} ^{2}+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr\sin\varphi=0,

koska on annettu ajan funktio (ei yleistetty koordinaatti). $\theta =\theta _{0}+\omega t$

Tehtävä 3. Jos renkaan pyörimisnopeutta ei annettaisi meille, vaan se määräytyisi järjestelmän liikkeen mukaan (esim. kevytrengas, joka pyörii ilman kitkaa), niin yhden Lagrange-yhtälön sijaan saisimme kaksi (yhtälöt ja for ): $\varphi$ $\theta$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \theta }}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta }}=0,

mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr \sin \varphi =0,\quad {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\piste {\theta }})=0.

Nämä yhtälöt voidaan saada myös erottamalla ajan suhteen mekaanisen energian säilymislaki ja liikemäärän säilymislaki.

Relativistinen Lagrangin mekaniikka

Suhteellisuusteorian peruspostulaatti - valonnopeuden pysyvyys kaikissa inertiakehyksissä johtaa invarianttiarvoon, jota kutsutaan intervalliksi s , joka on erityinen mittari neliulotteisessa aika-avaruudessa:

$s^{2}=c^{2}t^{2}-{\mathbf {x}}^{2}$

Satunnaisesti (eli ei välttämättä tasaisesti ja suoraviivaisesti) liikkuvalle järjestelmälle voidaan ajatella äärettömän pieniä aikavälejä, joiden aikana liikettä voidaan pitää yhtenäisenä. Anna liikkuvan kohteen kulkea matka dx tietyssä aikavälissä paikallaan olevan kellon mukaan. Sitten välille meillä on lauseke $dt$

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}dt^{2}(1-dx^{2}/c^{2}dt^{ 2})=c^{2}dt^{2}(1-v^{2}/c^{2})$

Näin ollen

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Integroimalla saamme

$S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Siksi, jos hyväksymme relativistisen hiukkasen Lagrangin verrannollisena nopeuden integrandiin, niin osoitettu integraali on toimintainvariantti inertiajärjestelmien suhteen.

Klassisen mekaniikan kanssa pienillä nopeuksilla yhteensopivuuden vuoksi vapaan relativistisen hiukkasen Lagrangian inertiakehyksessä on lopulta yhtä suuri kuin

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Vastaavasti relativistinen liikemäärä on yhtä suuri kuin

${\mathbf {p}}={\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v ^{2}/c^{2}}}}}}$

relativistinen energia on

$E={\mathbf {pv}}-L={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Voidaan nähdä, että jopa nollanopeudella hiukkasella on energiaa (toisin kuin klassinen mekaniikka), jota kutsutaan lepoenergiaksi.

Tästä on helppo saada relativistinen suhde energian ja liikemäärän välillä

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$

Lagrangin formalismi kenttäteoriassa

Kenttäteoriassa mekaanisen järjestelmän hiukkasten Lagrangien summa korvataan integraalilla ns. Lagrangin tiheyden tietyllä tilavuudella (kenttäteoriassa Lagrangin tiheyttä kutsutaan joskus Lagrangian tiheydeksi):

$L=\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}r$

Näin ollen toiminta on

$S=\int _{{t_{0}}}^{{t}}\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}rdt=\int _{X}{\mathcal {L }}d^{4}x$

jossa viimeinen kaava olettaa integraation neliulotteisen aika-avaruuden yli.

Oletetaan, että Lagrangin tiheys ei riipu suoraan koordinaateista, vaan riippuu kenttäfunktiosta ja sen ensimmäisistä derivaatoista. Tässä tapauksessa Euler-Lagrange-yhtälöillä on muoto:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{a}(x)))-\partial _{{\nu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L }}}{\osittainen (\osittainen _{{\nu }}u_{a}(x)))}}\oikea)=0$

Lagrangian mekaniikan laajennukset

Hamiltonin, merkitty , saadaan suorittamalla Legendre-muunnoksia Lagrange-funktiolle. Hamiltonilainen on perusta klassisen mekaniikan vaihtoehtoiselle muotoilulle, joka tunnetaan nimellä Hamiltonin mekaniikka . Tämä toiminto on erityisen yleinen kvanttimekaniikassa (katso Hamiltonin (kvanttimekaniikka) ). $\mathbf {H}$

Vuonna 1948 Feynman keksi polun integraalin muotoilun ja laajensi pienimmän toiminnan periaatteen kvanttimekaniikkaan. Tässä koostumuksessa hiukkaset kulkevat kaikkia mahdollisia reittejä alku- ja lopputilojen välillä ; tietyn lopputilan todennäköisyys lasketaan summaamalla (integroimalla) kaikki mahdolliset siihen johtavat liikeradat. Klassisessa tapauksessa polkuintegraalin muotoilu toistaa täysin Hamiltonin periaatteen.

Klassiset teokset

Lagrange J. Analyyttinen mekaniikka, osa 1. - M.-L.: GITTL, 1950.
Lagrange J. Analyyttinen mekaniikka, osa 2. - M.-L.: GITTL, 1950.
Mekaniikan variaatioperiaatteet. Tieteen klassikoiden artikkelikokoelma. Toimittanut Polak L. S. - M .: Fizmatgiz, 1959.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Bobylev D.K. Hamiltonin tai Ostrogradskyn alussa ja pienimmän Lagrange-toiminnan alussa / Liite osaan LXI Zap. Ak. Tieteet. - Pietari. , 1889.

Kirjallisuus

Gantmakher F. R. Luennot analyyttisestä mekaniikasta: Oppikirja lukioille / Toim. E. S. Pyatnitsky . - 3. painos — M .: Fizmatlit , 2005. — 264 s. — ISBN 5-9221-0067-X .
Goldstein H. Klassinen mekaniikka. – 2. painos. - Addison-Wesley, 1980. - s. 16.
Moon FC sovelsi dynamiikkaa sovelluksilla monirunkoisiin ja mekatronisiin järjestelmiin. - Wiley, 1998. - s. 103-168.

Linkit

Rychlik, Marek. " Lagrangian ja Hamiltonin mekaniikka – lyhyt johdanto "
Tong, David. Klassisen dynamiikan luennot Cambridgen yliopistosta
Aslanov V. S., Timbay I. A. Jäykkä kehon liike yleisessä Lagrangen tapauksessa