Isoperimetrinen ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Isoperimetrinen epäyhtälö on geometrinen epäyhtälö , joka yhdistää suljetun käyrän kehän tasossa ja tämän käyrän rajoittaman tason osan pinta-alaan . Termiä käytetään myös tämän epätasa-arvon erilaisista yleistyksistä.

Isoperimetrinen tarkoittaa kirjaimellisesti "sama kehä ". Erityisesti isoperimetrinen epäyhtälö ilmoittaa, että kun otetaan huomioon suljetun käyrän pituus L ja tämän käyrän rajoittaman tasaisen alueen pinta-ala A ,

4\pi A\leqslant L^{2},

ja tästä epäyhtälöstä tulee yhtäläisyys jos ja vain jos käyrä on ympyrä.

Isoperimetrisen ongelman tarkoituksena on löytää suurimman mahdollisen alueen luku , jonka rajalla on tietty pituus [1] .

Isoperimetrinen ongelma on yleistetty monin tavoin muihin epäyhtälöihin kuvioiden, joukkojen ja monistojen ominaisuuksien välillä. Isoperimetrinen ongelma sisältää myös arviot fysikaalisesta alkuperästä (hitausmomentit, elastisen säteen vääntöjäykkyys, kalvon perustaajuus, sähköstaattinen kapasitanssi jne.) geometristen ominaisuuksien kautta. On olemassa yleistyksiä esimerkiksi pintojen käyrien ja korkeamman ulottuvuuden tilojen alueille.

Ehkä tunnetuin 3D-isoperimetrisen epätasa-arvon fyysinen ilmentymä on vesipisaran muoto. Pisara nimittäin saa yleisesti pyöreän muodon. Koska vesimäärä pisarassa on kiinteä, pintajännitys saa pisaran ottamaan muodon, joka minimoi pisaran pinnan minimipinnan ollessa pallo.

Historia

Didon tehtävässä, joka on sisällöltään läheinen , on löydettävä alue, jolla on maksimipinta-ala, jota rajoittavat suora ja kaareva kaari, joiden päät ovat tällä suoralla. Tehtävä liittyy foinikialaisen Tyroksen kaupungin kuninkaan sisaren Didon muinaiseen legendaan Karthagon perustamisesta.

Isoperimetrisen ongelman ratkaisu on ympyrä , ja tämä tiedettiin jo antiikin Kreikassa . Tutkielmassaan "Isoperimetrisistä hahmoista" ( muinaiskreikaksi Περὶ ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ) Zenodorus ( II vuosisata eKr. ) ratkaisee isoperimetrisen ongelman tasossa ja saa osittaisia tuloksia avaruudessa. Hermann Schwartz sai vuonna 1884 ensimmäisen matemaattisesti tarkan todisteen isoperimetrisestä epäyhtälöstä avaruudessa . Sen jälkeen on tullut paljon enemmän todisteita.

Isoperimetrinen ongelma koneessa

Klassinen isoperimetrinen ongelma juontaa juurensa muinaisista ajoista. Ongelma voidaan muotoilla seuraavasti: Mikä käyrä (jos sellainen on) maksimoi sen rajoittaman alueen kaikista suljetuista käyristä tietyllä kehällä? Tämä kysymys voidaan osoittaa vastaavan seuraavaa ongelmaa: Mikä kaikista tietyn alueen alueen rajaavista tason suljetuista käyristä minimoi kehän?

Ongelma liittyy käsitteellisesti fysiikan pienimmän toiminnan periaatteeseen ja voidaan muotoilla uudelleen tämän periaatteen mukaan: mihin toimiin kuuluu suuri alue, jolla on maksimaalinen tukitalous? 1400-luvun filosofi ja tiedemies, kardinaali Nicholas of Cusa , käsitteli pyörimistä , prosessia, jossa ympyröitä syntyy , suorimpana heijastuksena prosesseista, joissa maailmankaikkeus syntyi. Saksalainen tähtitieteilijä ja astrologi Johannes Kepler käytti isoperimetristä periaatetta käsitellessään aurinkokunnan rakennetta teoksessa The Secret of the Universe (1596).

Vaikka ympyrä on ilmeinen ratkaisu ongelmaan, tämän tosiasian todistaminen ei ole helppo tehtävä. Ensimmäisen edistyksen todisteen tiellä teki sveitsiläinen geometri Jakob Steiner vuonna 1838 käyttämällä geometrista menetelmää, jota myöhemmin kutsuttiin Steinerin symmetrisaatioksi [2] . Steiner osoitti, että jos ratkaisu on olemassa, sen on oltava ympyrä. Steinerin todistus valmistui myöhemmin jotkin muut matemaatikot.

Steiner aloittaa joistakin geometrisista rakenteista, jotka on helppo ymmärtää. Voidaan esimerkiksi osoittaa, että mitä tahansa suljettua käyrää, joka sulkee sisäänsä alueen, joka ei ole täysin kupera , voidaan modifioida suuremmaksi alueeksi "heijastamalla" koveria osia kuperiksi. Sitten voidaan osoittaa, että mikä tahansa suljettu käyrä, joka ei ole täysin symmetrinen, voidaan "kallistaa" siten, että se sulkee sisäänsä suuremman alueen. Ainoa täysin kupera ja symmetrinen kuvio on ympyrä, vaikka tämä päättely ei ole tiukka todiste (katso ulkoiset viitteet).

Isoperimetrinen epäyhtälö

Isoperimetrisen ongelman ratkaisu ilmaistaan yleensä epäyhtälönä , joka liittyy suljetun käyrän pituuteen L ja tämän käyrän rajoittaman tason pinta-alaan A. Isoperimetrinen epäyhtälö sanoo sen

4\pi A\leqslant L^{2},

ja että tästä epäyhtälöstä tulee yhtäläisyys jos ja vain jos käyrä on ympyrä. Todellakin, ympyrän, jonka säde on R , pinta-ala on π R 2 ja ympärysmitta on 2π R , joten epäyhtälön molemmista puolista tulee 4π 2 R 2 .

Isoperimetrisestä epäyhtälöstä löytyy kymmeniä todisteita. Vuonna 1902 Hurwitz julkaisi lyhyen todisteen käyttäen Fourier-sarjaa , jota voidaan soveltaa mielivaltaisiin tasauskäyriin (ei välttämättä tasaisia). E. Schmidt antoi vuonna 1938 tyylikkään suoran todisteen, joka perustuu tasaisen yksinkertaisen suljetun käyrän ja sopivan ympyrän vertailuun. . Todistuksessa käytetään vain käyrän pituuskaavaa , Greenin lauseen tasaisen alueen kaavaa ja Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälöä .

Tietylle suljetulle käyrälle isoperimetrinen kerroin määritellään kuvion pinta-alan suhteeksi ympyrän pinta-alaan, jolla on sama kehä. Tuo on

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}},

ja isoperimetrinen epäyhtälö sanoo, että Q ⩽ 1.

Säännöllisen n -gonin isoperimetrinen kerroin on

Q_{n}={\frac {\pi }{n\operaattorin nimi {tg} {\frac {\pi }{n)))).

Isoperimetrinen epäyhtälö pallolla

Olkoon C yksinkertainen suljettu käyrä pallolla , jonka säde on 1. Merkitään L :llä käyrän C pituus ja A :lla käyrän C rajaaman alueen pinta-ala . Pallomainen isoperimetrinen epäyhtälö sanoo sen

L^{2}\geqslant A(4\pi -A),

ja tästä epäyhtälöstä tulee yhtäläisyys jos ja vain jos käyrä on ympyrä. Itse asiassa on kaksi tapaa mitata pallomaisen alueen pinta-ala, mutta epäyhtälö on symmetrinen komplementin valinnassa.

Tämän epätasa-arvon havaitsi Paul Levy (1919), joka yleisti sen korkeampiin ulottuvuuksiin ja yleisempiin pintoihin. .

Mielivaltaisen säteen R tapauksessa tiedetään [3] , että

L^{2}\geqslant 4\pi AA^{2}/R^{2}.

Isoperimetrinen epäyhtälö suurempien ulottuvuuksien avaruudessa

Isoperimetrinen lause on yleistetty kolmiulotteisen euklidisen avaruuden pinnoille . Kaikkien yksinkertaisten suljettujen pintojen joukossa, joilla on tietty pinta-ala, pallo sisältää suurimman tilavuuden alueen . Samanlaiset väitteet pätevät minkä tahansa ulottuvuuden euklidisissa avaruksissa.

Yleisessä muodossa [4] isoperimetrinen epäyhtälö ilmoittaa, että mille tahansa joukolle S ⊂ R n , jonka sulkemisella on äärellinen Lebesguen mitta ,

n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S)))^{(n-1)/n}\leqslant M_{*}^{n- 1}(\partialS),

missä M * n −1 on ( n − 1)-ulotteinen Minkowskin kapasiteetti , L n on n - ulotteinen Lebesguen mitta ja ω n on yksikköpallon tilavuus Rn : ssä . Jos raja S on tasasuuntainen , Minkowskin kapasiteetti on yhtä suuri kuin ( n − 1)-ulotteinen Hausdorffin mitta .

Isoperimetrinen epäyhtälö dimensiossa n voidaan todistaa nopeasti käyttämällä Brunn-Minkowskin epäyhtälöä [3] [4] .

Isoperimetrinen epäyhtälö n - ulotteisessa avaruudessa on ekvivalentti (riittävän tasaisille alueille) Sobolev-epäyhtälölle R n : ssä optimaalisella vakiolla:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n }}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

kaikille u ∈ W 1,1 ( R n ).

Isoperimetrinen epäyhtälö mittaavaruuksissa

Suurin osa isoperimetrisen ongelman työstä tehdään euklidisten avaruuksien tasaisten alueiden tai yleisempien Riemannin monistojen yhteydessä . Isoperimetrinen ongelma voidaan kuitenkin olennaisesti yleistää Minkowskin kapasiteetin käsitteen avulla . Olkoon metriavaruus, jossa on mitta : X on metriavaruus , jossa metriikka d ja μ on Borel-mitta X :llä . X : n mitattavissa olevan osajoukon A rajamitta eli Minkowskin kapasiteetti määritellään lim inf :ksi: ${\näyttötyyli (X,\,\mu ,\,d)}$

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon )),

missä

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\mid d(x,A)\leqslant \varepsilon \))

on joukon A ε-laajennus .

X :n isoperimetrinen ongelma kysyy, kuinka pieni se voi olla tietylle suurelle μ( A ). Jos X on euklidinen taso , jolla on tavallinen etäisyys ja Lebesguen mitta , niin tämä kysymys yleistää klassisen isoperimetrisen ongelman tason alueille, joiden rajat eivät välttämättä ole tasaiset, vaikka vastaus on sama. $\mu ^{+}(A)$

Toiminto

{\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)\mid \mu (A)=a\))

kutsutaan metrisen mitattavan avaruuden isoperimetriseksi profiiliksi . Isoperimetrisiä profiileja on tutkittu erillisten ryhmien Cayley-graafien ja Riemannin monistojen erikoisluokkien (joissa yleensä tarkastellaan domeeneja A tavallisilla rajoilla) varten. ${\näyttötyyli (X,\,\mu ,\,d)}$

Isoperimetrinen epäyhtälö kaavioille

Graafiteoriassa isoperimetriset epäyhtälöt ovat keskiössä laajenninten , harvalukuisten graafien , joilla on vahva yhteys, tutkimuksen. Expanderien rakentaminen on synnyttänyt puhtaan ja sovelletun matematiikan tutkimusta laskennallisen monimutkaisuusteorian sovelluksilla , vankkojen tietokoneverkkojen suunnittelulla ja korjaavien koodien teorialla [5] .

Graafeiden isoperimetriset epäyhtälöt yhdistävät kärkien osajoukkojen koon näiden osajoukkojen rajojen kokoon, mikä yleensä ymmärretään osajoukosta lähtevien reunojen lukumääränä tai naapuripisteiden lukumääränä. Graafille ja luvulle on olemassa kaksi vakiokuvaajan isoperimetristä parametria [6] . $G$ $k$

Reunan isoperimetrinen parametri:

\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|E(S,{\overline {S)))|:|S|=k {\iso \))).

Vertexin isoperimetrinen parametri:

\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k{\big \ }}.

Tässä tarkoittaa reunojen joukkoa, joka lähtee , ja tarkoittaa joukkoa kärkipisteitä, joilla on naapureita . Isoperimetrinen ongelma on ymmärtää, kuinka parametrit ja käyttäytyvät graafiperheissä. $E(S,{\overline {S)))$ $S$ ${\näyttötyyli \Gamma (S)}$ $S$ $\Phi _{E}$ $\Phi _{V}$

Esimerkki: Isoperimetrinen epäyhtälö hyperkuutioille

$d$ -ulotteinen hyperkuutio on graafi, jonka kärjet ovat Boolen vektoreita, joiden pituus on , eli joukko . Kaksi tällaista vektoria on yhdistetty reunalla, jos ne eroavat yhdessä paikassa, eli niiden välinen Hamming-etäisyys on täsmälleen yksi. ${\näyttötyyli Q_{d))$ $d$ ${\displaystyle \{0,1\}^{d))$ ${\näyttötyyli Q_{d))$

Alla on kaksi isoperimetristä epäyhtälöä Boolen hyperkuutiolle [7] .

Reunojen isoperimetrinen epäyhtälö

Hyperkuution reunojen isoperimetrinen epäyhtälö on: . $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geqslant k(d-\log _{2}k)$

Isoperimetrinen epäyhtälö vertekseille

Harperin lause [8] väittää, että Hamming-palloilla on pienin huippupisteen raja kaikista tietyn kokoisista joukoista. Hamming-pallot ovat joukkoja, jotka sisältävät kaikki pisteet, joiden Hamming-paino ei ylitä jotakin kokonaislukua . Lauseesta seuraa, että mikä tahansa joukko , jossa on [ 9] $r$ $r$ $S\subseteq V$ $|S|\geqslant \sum _{i=0}^{r}{\binom {n}{i))$ $|S\cup \Gamma (S)|\geqslant \sum _{i=0}^{r+1}{\binom {n}{i)).$

Siinä erikoistapauksessa, jossa joukon koolla on muotoa jollekin kokonaisluvulle , edellä olevasta seuraa, että tarkka kärjen isoperimetrinen parametri on [5] . $k=|S|$ $k={\binom {d}{0}}+{\binom {d}{1}}+\pisteet +{\binom {d}{r}}$ $r$ $\Phi _{V}(Q_{d},k)={\binom {d}{r+1))$

Isoperimetrinen epäyhtälö kolmiolle

Kolmioiden isoperimetrinen epäyhtälö kehän p ja pinta -alan T suhteen kertoo, että [10]

p^{2}\geqslant 12{\sqrt {3}}\cdot T,

tasa-arvo säännöllisen kolmion tapauksessa .

Muistiinpanot

↑ Blåsjö, 2005 , s. 526-566.
↑ Steiner, 1838 , s. 281-296.
↑ 12 Osserman , 1978 .
↑ 1 2 Federer, 1987 .
↑ 1 2 Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Määritelmät 4.2 ja 4.3 julkaisussa Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Katso Bollobás, 1986 ja osa 4 julkaisussa Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Katso Calabro, 2004 tai Bollobás, 1986 .
↑ Johtaja, 1991 .
↑ Chakerian, 1979 .

Kirjallisuus

Viktor Blasjö. Isoperimetrisen ongelman kehitys (englanniksi) // Amer. Matematiikka. Kuukausittain. - 2005. - Voi. 112 .
Blaschke , Leichtweiss. Elementare Differentialgeometrie (saksa) . - 5., täysin tarkistanut K. Leichtweiß. - New York Heidelberg Berlin: Springer-Verlag , 1973. - Bd. 1. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-05889-3 .
Blaschke . Ympyrä ja pallo . - M . : Tiede. – 1967.
Bela Bollobas. Kombinatoriikka: joukkojärjestelmät, hypergraafit, vektoriperheet ja kombinatorinen todennäköisyys . - Cambridge University Press, 1986. - ISBN 978-0-521-33703-8 .
Burago. Matematiikan tietosanakirja / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Chris Calabro. Harperin lause . – 2004.
Luca Capogna, Donatella Danielli, Scott Pauls, Jeremy Tyson. Johdatus Heisenberg-ryhmään ja Sub-Riemanniseen isoperimetriseen ongelmaan . - Birkhäuser Verlag , 2007. - ISBN 3-7643-8132-9 .
GD Chakerian. Matemaattiset luumut (englanti) / R. Honsberger. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
T. Bonnesen, W. Fenchel. Teoria kuperista kappaleista. - 2002. - (Matematiikan opiskelijan kirjasto).
Protasov V. Yu. Maksimit ja minimit geometriassa . - M .: MTsNMO. — 56 s. - (Kirjasto "Mathematical Education", numero 31).
G. Federer. Geometrinen mittateoria. - M .: Nauka, 1987.
M. Gromov . Paul Levynisoperimetrinen epäyhtälö . - Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., 1999. - Voi. 152. - (Matematiikan edistyminen).
J. Steiner. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze (saksa) . - J. reine angew Math.. - 1838. Myös kerätyt teokset, osa 2, Reimer, Berlin, (1882).
G. Hadwiger. Luentoja tilavuudesta, pinta-alasta ja isoperimetriasta. - M .: Nauka, 1966.
Shlomo Hoory, Nathan Linial, Avi Widgerson. Expander-kaaviot ja niiden sovellukset // Bulletin (New series) of the American Mathematical Society . - 2006. - Voi. 43 , iss. 4 . - doi : 10.1090/S0273-0979-06-01126-8 .
Johtaja Imre. Proceedings of Symposiumi in Applied Mathematics . - 1991. - Voi. 44. - s. 57-80.
Robert Osserman. Isoperimetrinen epäyhtälö // Bull . amer. Matematiikka. Soc.. - 1978. - Voi. 84 , iss. 6 . - s. 1182-1238 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 .

Linkit

Isoperimetrisen ongelman historia konvergenssissa
Treiberg: Useita todisteita isoperimetrisestä epäyhtälöstä
Isoperimetrinen lause solmun leikkaamisessa