Variaatio (matematiikka)

Variaatio ( latinasta variaatio - muutos, muutos) on termi, jonka J. L. Lagrange otti matematiikkaan vuonna 1762 teoksessaan "Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formulas intégrates indéfines" [1] riippumattoman muuttujan tai funktion pieni muutos.

"Vaihtelun" käsite otettiin käyttöön osana variaatioiden menetelmää äärimmäisten ongelmien tutkimuksessa, joka perustuu argumentin pieniin syrjäytyksiin ja tutkimukseen, kuinka funktionaaliset muuttuvat niistä riippuen. Tämä menetelmä on yksi tärkeimmistä menetelmistä äärimmäisten ongelmien ratkaisemiseksi (tästä syystä tätä ongelmaa tutkivan matematiikan osan nimi - " muunnelmien laskenta ").

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Harkitse tilaa , jolle funktionaali annetaan , ja se on joidenkin parametrien tila. Argumentin muunnelman alla ymmärrämme yleensä käyrän , jossa , ja , avaruudessa, joka kulkee tietyssä lähellä rajoituksia, ja arvo vastaa . Siten, kun kaikkien parametrien joukko kulkee läpi, variaatiot kulkevat tietyn käyräperheen läpi alkaen pisteestä . $X$ $f(x)$ $V$ $x_{0}\in X$ $x(t,v)$ $\alpha \leqslant t\leqslant \beta$ $\alpha \leqslant 0$ $\beta \geqslant 0$ $v\in V$ $X$ $x_{0}$ $x_{0}$ $t = 0$ $v$ $x_{0}$

Äärillis- ja ääretön-ulotteisessa analyysissä, J. Lagrangen ensimmäisestä teoksesta alkaen , käytetään yleensä vaihteluita suunnissa , milloin ja . Tässä tapauksessa vektoria kutsutaan variaatioksi . Mutta tämä ei ole ainoa vaihtelutapaus, joten geometriassa, variaatiolaskelmassa ja erityisesti optimaalisen ohjauksen teoriassa käytetään esimerkiksi katkoviivoja , neulavaihteluita [2] , liukumoodiin liittyviä variaatioita [3] . . $V=X$ $x(t,v)=x_{0}+tv$ $v$

Variaatiotilan valinta ja itse variaatioiden rakentaminen on tärkein elementti tarvittavien ääriolosuhteiden saavuttamiseksi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formulas intégrates indéfines (ranska) . Torino, 1762.
↑ Bliss G. A. Luentoja variaatiolaskennasta. - per. englannista. - M., 1950.
↑ Pontryagin L. S. Optimaalisten prosessien matemaattinen teoria. - 2. painos - M., 1969.