Fréchet muunnelma

Fréchet-variaatio on yksi usean muuttujan funktion numeerisista ominaisuuksista, jota voidaan pitää yhden muuttujan funktion variaation moniulotteisena analogina .

Määritelmä

Fréchet - muunnelma määritellään seuraavasti:

F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\sum _{{r_{1}=0}}^{{l_{1}-1}}\summa _{{r_{2}=0}}^{{l_{2}-1}}\lpisteitä \summa _{{r_{n}=0}}^{{l_{n}-1}}\varepsilon _{n}^{{(r_{1})}}\varepsilon _{n}^{{(r_) {2})}}\ldots \varepsilon _{n}^{{(r_{n})}}\times \right.

\times \Delta _{{h_{1}^{{(r_{1})}}h_{2}^{{(r_{2})}}\ldots h_{n}^{{(r_{n) })}}}}(f;\;x_{1}^{{(r_{1})}},\;x_{2}^{{(r_{2})}},\;\ldots , \;x_{n}^{{(r_{n})))){\Bigg |},

missä on reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty -ulotteisessa laatikossa $f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ $D_{n}$

D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n }];

$\Pi$ on mielivaltainen suuntaissärmiön osio hypertasoilla siten, että $D_{n}$ $x_{s}=x_{s}^{{(r_{s})}}$

x_{s}^{{(0)}}=a_{s}

, ja ,

x_{s}^{{(l_{s})}}=b_{s}

x_{s}^{{(r_{s})}}<x_{s}^{{(r_{s}+1)}}

missä ,. _

r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}

s=1,\;2,\;\ldots ,\;n

$h_{s}^{{(r_{s})}}=x_{s}^{{(r_{s}+1)}}-x_{s}^{{(r_{s})}}$ - halkaisuaskel;

$\Delta _{{h_{k}}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k}, \;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n} )$ ( ) on funktion inkrementti pitkin -: nnettä koordinaattia; $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $x_k$

$\Delta _{{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}}(f;\;x)=\Delta _{{h_{k}}}(\Delta _{{h_{1} h_{2}\ldots h_{{k-1}}}};\;x)$ on funktion yleinen inkrementti ensimmäisissä koordinaateissa ( ); $k$ $k = 2,\;3,\;\ldots ,\;n$

$\varepsilon _{k}^{{(r_{k})}}=\pm 1$ ( ) mielivaltaisesti. $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

Sovellus

Jos , niin funktion sanotaan rajoittaneen (äärellisen) Fréchet - muunnelman . Kaikkien tällaisten funktioiden luokka on merkitty . $F(f;\;D_{n})<\infty$ $f(x)$ $D_{n}$ $F(D_{n})$

Tämän luokan esitteli M. Fréchet [1] tutkiessaan bilineaarisen jatkuvan funktion yleistä muotoa neliöllä jatkuvan muodon funktioiden avaruudessa . Hän osoitti, että mikä tahansa tällainen funktionaalinen voidaan esittää muodossa $n = 2$ $U(\varphi _{1},\varphi _{2})$ $Q_{2}=[a,\;b]\kertaa [a,\;b]$ $\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})$

U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}( x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{{x_{l}}}d_{{x_{2}}}u(x_{1},\;x_{2} ),

missä ,. _ $u(x_{1},\;x_{2})\in F(Q_{2})$ $u(a,\;x_{2})\equiv u(x_{1},\;b)\equiv 0$

Myöhemmin osoitettiin, että luokan ( ) -jaksollisille funktioille monien klassisten Fourier-sarjan konvergenssikriteerien analogit [2] ovat totta . Joten esimerkiksi jos , niin funktion Fourier-sarjan suorakulmaiset osasummat kussakin pisteessä konvergoivat numeroon $2\pi$ $f(Q_{n})$ $Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]$ $f(x)\in F(Q_{n})$ $n = 2,\;3,\;\lpistettä$ $f(x)$ $x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})$

{\frac {1}{2^{n))}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0 ),

jossa summaus ulottuu kaikkiin mahdollisiin merkkiyhdistelmiin . Lisäksi, jos funktio on jatkuva, konvergenssi on tasainen. Tämä on Jordan-merkin analogi . $2^{n}$ $\pm$

Kirjallisuus

Kantorovich, L. V., Akilov, G. P. Functional Analysis . - Pietari. : BHV-Petersburg, 2004. - 816 s. — ISBN 5-94157-597-1 . .

Katso myös

Toiminnan vaihtelu
Artzelin variaatio
Vitali-variaatio
Pierpont-muunnelma
Tasainen muunnelma Tonellista
Kestävä variaatio

Muistiinpanot

↑ Frechet M. Transactions of the American Mathematical Society. - 1915. - v. 16. - nro 3. - s. 215-234.
↑ Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of USA. - 1949. - v. 35. - nro 7. - s. 395-399.