Hermitian operaattori

Matematiikassa operaattoria kompleksisessa tai todellisessa Hilbert-avaruudessa kutsutaan hermiitiksi , symmetriseksi , jos se täyttää kaikkien määrittelyalueen tasa - arvon . Tässä ja alla oletetaan, että se on skalaaritulo . Nimi on annettu ranskalaisen matemaatikon Charles Hermiten kunniaksi . $A$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$ $(x, y)$ $\mathfrak H$

Operaattoria in kutsutaan itseadjointiksi eli hypermaksimaaliseksi hermiitiksi , jos se osuu yhteen sen adjointin kanssa . $\mathfrak H$

Itseliittyvä operaattori on symmetrinen; päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. Koko avaruuteen määritellyille jatkuville operaattoreille symmetrisen ja itseliittyvän käsitteet ovat samat.

Ominaisuudet

1. Itseadjoint-operaattorin spektri ( ominaisarvojen joukko ) on todellinen .

Todiste

Jokaiselle ominaisarvolle on määritelmän mukaan tosi . Siksi itseadjoint-muunnoksen määritelmän mukaan seuraavat lausekkeet ovat yhtäläisiä: $\lambda$ $A\left( x \right) = \lambda x$

\vasen( {A\vasen( x \oikea),x} \oikea) = \vasen( {\lambda x,x} \oikea) = \lambda \vasen( {x,x} \oikea)

\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

mistä on reaaliluku. $\lambda = \overline \lambda$ $\lambda$

2. Unitaarisissa äärellisulotteisissa avaruuksissa itseadjoint-operaattorin matriisi on Hermitian . (Erityisesti euklidisessa avaruudessa itseadjoint-operaattorin matriisi on symmetrinen.)

Todiste

Unitaarisessa avaruudessa sisätulo määritellään , jossa ja ovat vektorien ja vastaavasti koordinaattisarakkeet. Näin ollen itseliittyvän operaattorin määritelmän mukaan lausekkeet ovat yhtä suuret $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $x$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Siksi , joka on hermiittisen matriisin määritelmä. $A^T = \yliviiva A$

3. Hermiittisellä matriisilla on aina ortonormaali ominaisvektorikanta — eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.

Todiste Lemma 1. Itseadjoint-muunnoksen ominaisavaruudet ovat pareittain ortogonaalisia. Todiste Lemmasta 1: On olemassa kaksi erillistä ominaisarvoa ja . Vastaavasti vektoreille ja niitä vastaavista ominaisavaruuksista ja pätee . Siksi on yhtä suuri . Mutta itseliittyvän muunnoksen ominaisarvot ovat todellisia, ja ne voidaan johtaa viimeisestä lausekkeesta . Siten itseadjoint-muunnoksen määritelmän mukaan voimme saada , josta, jos ominaisarvot ovat erilaiset , on selvää, että , mikä oli todistettava.

\lambda

\mu

x

y

A\left( x \right) = \lambda x

A\left(y \right) = \mu y

\vasen( {A\vasen( x \oikea),y} \oikea) = \vasen( {\lambda x,y} \oikea) = \lambda \vasen( {x,y} \oikea)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\left({x,y} \right) = 0

Lemma 2. Jos aliavaruus on invariantti itseadjoint-muunnoksen alla , niin tämän aliavaruuden ortogonaalinen komplementti on myös invariantti alla .

E'

A

A

Todistus lemasta 2: Tiedetään, että minkä tahansa aliavaruuteen kuuluvan vektorin kuva on siinä. Siksi mille tahansa vektorille , . Koska muunnos on itseadjointinen, tästä seuraa , että , eli minkä tahansa vektorin kuva osoitteesta kuuluu luokkaan , mikä tarkoittaa, että aliavaruus on invariantti muunnoksen A alla, joka oli todistettava.

x

E'

y \in \left( {E'} \right)^ \bot

\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0

A

\left({x,A\left(y \right)} \right) = 0

y

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

Todistus omaisuudesta 3: Operaattorilla R on ainakin yksi ominaisarvo n-ulotteisessa avaruudessa . Ominaisuuden 1 mukaan tämä ominaisarvo on todellinen. Voidaan löytää vastaava ominaisvektori e 1 . Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että . Jos n=1, niin todiste on valmis.

\lambda_1

|e_1| = 1

Tarkastellaan E 1 - elementin e 1 lineaariverhokäyrää , joka on R:n yksiulotteinen invariantti varsinainen aliavaruus. Olkoon E n-1 E 1 :n ortogonaalinen komplementti . Sitten Lemman 2 mukaan E n-1 on invariantti tarkasteltavan operaattorin alla. Tarkastellaan sitä nyt R':nä toimivana vain E n-1 :ssä . Silloin on selvää, että se on itseadjoint-operaattori, joka on annettu E n-1 :ssä , koska E n-1 on invariantti R:n alla Lemman 2 mukaan ja lisäksi x:lle y E n : (Rx, y) = (x, Ry) , mukaan lukien x,y Е n-1 .

\kaikille

\sisään

\kaikille

\sisään

Yllä olevaa päättelyä soveltaen löydämme uuden ominaisarvon ja sitä vastaavan ominaisvektorin . Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että . Tässä tapauksessa se voi vahingossa osua yhteen kanssa , mutta konstruktiosta on selvää, että . Jos n=2, niin todiste on valmis. Muussa tapauksessa harkitse E - lineaarista kuorta ja sen ortogonaalista komplementtia E n-2 . Etsi uusi ominaisarvo ja sitä vastaava ominaisvektori , ja niin edelleen.

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Suoritamme samanlaisia päätelmiä Е n loppuun asti . Todistus on valmis.

4. Hermitian operaattorille A determinantti det ||A|| sen matriisi on yhtä suuri kuin ominaisarvojen tulo.

Matriisit

Hermitian konjugaatti annettuun matriisiin on matriisi , joka saadaan alkuperäisestä matriisista transponoimalla se ja siirtämällä kompleksikonjugaattiin, eli . Tämä on luonnollinen määritelmä: jos kirjoitamme lineaarisen kuvauksen ja sen hermiittisen konjugaattioperaattorin missä tahansa kannassa matriiseiksi, niin niiden matriisit ovat hermiittisiä konjugaattia. Matriisia, joka on yhtä suuri kuin sen hermiittinen konjugaatio, kutsutaan hermiitiksi tai itseadjointiksi: sillä . $A^{\dagger },$ $A$ $(A^{\dagger })_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\dagger }=A$

Sovellus

Hermiittisillä operaattoreilla on tärkeä rooli kvanttimekaniikassa , jossa ne edustavat havaittavia fyysisiä suureita, katso Heisenbergin epävarmuusperiaate .

Katso myös

Yhteisoperaattori