Parabolinen yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Paraboliset yhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokka . Yksi yhtälötyypeistä, jotka kuvaavat ei-stationaarisia prosesseja.

Määritelmä

Tarkastellaan toisen asteen skalaariosittaisdifferentiaaliyhtälön yleistä muotoa funktion suhteen : $u:R^{n}\rightarrow R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

Tässä tapauksessa yhtälö kirjoitetaan symmetriseen muotoon, eli: . Sitten ekvivalentti yhtälö neliömuodossa : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

missä . Matriisia kutsutaan pääkertoimien matriisiksi . Jos tuloksena olevan muodon allekirjoitus on , eli matriisissa on yksi ominaisarvo, joka on yhtä suuri kuin nolla ja ominaisarvoilla on sama etumerkki, yhtälöä kutsutaan paraboliseksi tyypiksi [1] . Toinen, vastaava määritelmä: yhtälöä kutsutaan paraboliseksi, jos se voidaan esittää seuraavasti: $A=A^{T}$
$A$
$(n-1,0)$ $A$ $n-1$

Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)

jossa: on elliptinen operaattori , . $L$ $a \neq 0$

Parabolisten yhtälöiden ratkaiseminen

Ainutlaatuisen ratkaisun löytämiseksi yhtälöä tarkastellaan yhdessä alku- ja reunaehtojen kanssa . Koska yhtälö on ajallisesti ensimmäistä kertaluokkaa, alkuehto asetetaan halutulle funktiolle yksi:.

Ratkaisujen löytämiseen parabolisiin yhtälöihin, mukaan lukien abstrakteihin parabolisiin yhtälöihin, voidaan käyttää operaattoripuoliryhmien teorian menetelmiä .
Parabolisten yhtälöiden analyyttiseen ratkaisuun äärettömällä alueella ( Cauchyn ongelma paraboliselle yhtälölle) käytetään erityistä integraalikaavaa [2] .
Parabolisten yhtälöiden analyyttiseen ratkaisuun äärellisellä alueella voidaan soveltaa Fourier-muuttujien erotusmenetelmää .
Parabolisten yhtälöiden numeeriseen ratkaisuun käytetään elementtimenetelmää , äärellisen eron menetelmää , äärellisen tilavuuden menetelmää sekä niiden yhdistelmiä ja muita ratkaistavaan ongelmaan sopivia numeerisia menetelmiä.

Maksimiperiaate

Muodon paraboliselle yhtälölle:

-a^{2}\Delta u+\partial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{{n-1}})\Omegassa

Ratkaisu saa maksimiarvonsa joko kohdasta tai alueen rajalta . $u(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)$ $t = 0$ $\Omega$

Esimerkkejä parabolisista yhtälöistä

Konvektio- ja diffuusioprosesseja kuvaavat yhtälöt , mukaan lukien diffuusioyhtälö ja sen erikoistapaus - lämpöyhtälö .
Nesteiden ja kaasujen liikettä kuvaava Navier-Stokes-yhtälöjärjestelmä on parabolisten yhtälöiden järjestelmä, jossa on erilaisia rajoituksia.
Joillekin mediatyypeille on mahdollista saada parabolisia yhtälöitä suhteessa vektoreihin tai Maxwellin yhtälöistä . [3] $\mathbf {A}$ $\mathbf {E}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt (5. painos) - Moskova: Nauka, 1977.
↑ L.K. Martinson , Yu.I. Malov. Matemaattisen fysiikan differentiaaliyhtälöt. - Moskova: MSTU nimetty N.E. Bauman, 2002. - 368 s. — ISBN 5-7038-1270-4 .
↑ Soloveicchik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Elementtimenetelmä skalaari- ja vektoriongelmiin. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet