Laplacen operaattori

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Laplace - operaattori ( Laplacian , delta-operaattori) on tasaisten funktioiden lineaarisessa avaruudessa toimiva differentiaalioperaattori, joka on merkitty symbolilla . Hän yhdistää toiminnon funktioon $\ \ Delta$ $F\$

\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2))+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2)) +\lpisteet +{\osittais ^{2}F \over \partial x_{n}^{2))

n- ulotteisessa avaruudessa .

Laplace-operaattori vastaa gradientti- ja divergenssioperaatioiden ottamista peräkkäin : , jolloin Laplace-operaattorin arvo pisteessä voidaan tulkita potentiaalivektorikentän lähteiden (nielujen) tiheydeksi kyseisessä pisteessä. Karteesisessa koordinaatistossa Laplace-operaattoria merkitään usein seuraavasti [1] , eli nabla-operaattorin ja itsensä skalaaritulona . Laplace-operaattori on symmetrinen . $\Delta=\operaattorinnimi{div}\,\operaattorinnimi{grad}$ $\ \operaattorinnimi{grad}F$ $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$

Laplace-operaattori vektorille : $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\osittinen ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$ [2]

Vektorin laplalainen on myös vektori.

Toinen Laplace-operaattorin määritelmä

Laplace-operaattori on luonnollinen yleistys yhden muuttujan funktion tavanomaisen toisen derivaatan useiden muuttujien funktioille . Todellakin, jos funktiolla on jatkuva toinen derivaatta pisteen läheisyydessä , niin, kuten Taylorin kaavasta seuraa $\f(x)$ $\ x_0$ $\f''(x)$

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

klo ,

r\ to 0,

\f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

klo

r\ to 0,

toinen derivaatta on raja

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{ 2}-f(x_0)\oikea\}.

Jos siirrytään muuttujien funktioon , edetään samalla tavalla, eli annetulle pisteelle otetaan huomioon sen -ulotteinen pallomainen säteen läheisyys ja aritmeettisen keskiarvon ero $\F$ $\k$ $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ $\k$ $\ Q_r$ $\r$

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

funktio sellaisen naapuruston rajalla , jossa on rajan pinta-ala ja arvo tämän naapuruston keskellä , niin jos funktion toiset osittaiset derivaatat ovat jatkuvia pisteen läheisyydessä , arvo laplalainen tässä vaiheessa on rajana $\F$ $\ S_r$ $\ \sigma(S_r)$ $\F(M_0)$ $\M_0$ $\F$ $\M_0$ $\ \ Delta F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r }F(M)d\sigma -F(M_0) \oikea\}.

Samanaikaisesti edellisen esityksen kanssa funktion Laplace-operaattorille , jolla on jatkuvat toiset derivaatat, kaava $\F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\ int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},

missä on naapuruston tilavuus

\\omega(Q_r)

\ Q_r.

Tämä kaava ilmaisee suoran suhteen funktion laplalaisen ja sen tilavuuskeskiarvon välillä tietyn pisteen läheisyydessä.

Todiste näille kaavoille löytyy esimerkiksi julkaisusta [3] .

Yllä olevat rajat, kaikissa tapauksissa, joissa niitä on, voivat toimia funktion Laplace-operaattorin määritelmänä. Tällainen määritelmä on parempi kuin tavallinen laplalaisen määritelmä, jossa oletetaan, että kyseessä olevien funktioiden toiset derivaatat ovat olemassa. ja vastaa näiden johdannaisten jatkuvuuden tavanomaista määritelmää. $\F.$

Laplace-operaattorin lausekkeet erilaisissa kaarevissa koordinaattijärjestelmissä

Mielivaltaisissa ortogonaalisissa kaarevissa koordinaateissa kolmiulotteisessa avaruudessa : $q_1,\ q_2,\ q_3$

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operaattorinnimi{div}\,\operaattorinnimi{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\ vasen( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

missä ovat Lame-kertoimet .

Hei\

Sylinterimäiset koordinaatit

Lieriömäisissä koordinaateissa viivan ulkopuolella : $\r=0$

\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Pallokoordinaatit

Pallomaisissa koordinaateissa origon ulkopuolella (kolmiulotteisessa avaruudessa):

\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} { \partial^2 f \over \partial \varphi^2}

tai

\Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \ varphi^2}.

Jos n- ulotteisessa avaruudessa: $\f=f(r)$

\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Paraboliset koordinaatit

Parabolisissa koordinaateissa (kolmiulotteisessa avaruudessa) origon ulkopuolella:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left ( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\ osittainen f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Sylinterimäiset paraboliset koordinaatit

Origon ulkopuolella olevan parabolisen sylinterin koordinaateissa:

\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\vasen[{\frac {\osittais ^{2 }F}{\partial u^{2))}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2))}\right]+{\frac {\partial ^{2} F}{\osittainen z^{2}}}.

Yleiset kaarevat koordinaatit ja Riemannin avaruudet

Olkoon paikallinen koordinaattijärjestelmä annettu sileälle monistolle ja olkoon Riemannilainen metristensori kohdassa , eli metriikan muoto on $X$ $g_{ij}$ $X$

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Merkitään matriisin alkioilla ja $g^{ij}$ $(g_{ij})^{-1}$

g = \operaattorinnimi{det} g_{ij} = (\operaattorinnimi{det} g^{ij})^{-1}

Koordinaattien antaman (ja edustavan ensimmäisen asteen differentiaalioperaattoria ) vektorikentän divergentti monistossa X lasketaan kaavalla $F$ $F^i$ $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

\operaattorinimi{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i )

ja funktion f gradientin komponentit kaavan mukaan

(\nabla f)^{j}=\sum _{{i=1}}^{n}g^{{ij}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.

Laplace- Beltrami - operaattori : $X$

\Delta f=\operaattorin nimi {div}(\nabla f)={\frac {1}({\sqrt {g))))\sum _{{i=1))^{n}{\frac {\ osittainen }{\osittais x^{i))}{\Big (}{\sqrt {g))\sum _{{k=1))^{n}g^{{ik)){\frac {\ osittainen f}{\osittainen x^{k))}{\Big )}.

Arvo on skalaari, eli se ei muutu, kun koordinaatit muunnetaan. $\Delta f$

Sovellus

Tällä operaattorilla on kätevää kirjoittaa Laplace- , Poisson- ja aaltoyhtälöt . Fysiikassa Laplace-operaattoria voidaan soveltaa sähköstatiikassa ja sähködynamiikassa, kvanttimekaniikassa , monissa jatkumofysiikan yhtälöissä sekä kalvojen, kalvojen tai pintajännityksen kanssa olevien rajapintojen tasapainon tutkimuksessa (katso Laplacen paine ), staattisissa ongelmissa diffuusio ja lämmönjohtavuus, jotka pelkistyvät jatkuvassa rajassa tavallisiin Laplace- tai Poisson-yhtälöihin tai joihinkin niiden yleistyksiin.

Muunnelmia

D'Alembert-operaattori on yleistys Laplace-operaattorista hyperbolisille yhtälöille . Sisältää toisen derivaatan ajan suhteen.
Vektori Laplace-operaattori on Laplace-operaattorin yleistys vektoriargumentin tapauksessa .

Katso myös

Nabla operaattori
D'Alembert-operaattori
Laplacen yhtälö
harmoninen toiminto
Kirchhoff matriisi
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Korkeakoulun matemaattinen sanakirja". Kustantaja MPI 1984.

Muistiinpanot

↑ Laplace-operaattorin merkintää nabla-operaattorin neliön muodossa tulee välttää , koska tällaisesta merkinnästä ei käy selväksi, tarkoitetaanko neliöinnillä skalaari- vai vektorituloa .
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Ylemmän koulun matemaattinen sanakirja". MPI Publishing House 1984. Artikkeli "Laplace-operaattori" ja "Vektorikenttäroottori".
↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Johdatus harmonisten funktioiden teoriaan. M. Science. 1968. 208s.

Linkit

MathWorld-kuvaus Laplacianista Arkistoitu 17. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet