Bernoullin differentiaaliyhtälö

Tavallinen differentiaaliyhtälö muotoa:

y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1

kutsutaan Bernoullin yhtälöksi (sillä tai saamme epähomogeenisen tai homogeenisen lineaarisen yhtälön). $n = 0$ $n = 1$

At on Riccatin yhtälön erikoistapaus . Nimetty Jacob Bernoullin mukaan, joka julkaisi tämän yhtälön vuonna 1695. $n = 2$

Hänen veljensä Johann Bernoulli löysi vuonna 1697 menetelmän ratkaista korvaus, joka vähentää tämän yhtälön lineaariseksi. [yksi]

Ratkaisumenetelmä

Ensimmäinen tapa

Jaa kaikki yhtälön ehdot arvolla

y^{n},

saamme

{\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).

Vaihdon tekeminen

{\näyttötyyli z=y^{1-n))

ja erottamalla saamme:

{\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.

Tämä yhtälö on pelkistetty lineaariseksi:

{\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

ja voidaan ratkaista Lagrange-menetelmällä (vakiovariaatio) tai integroivalla tekijämenetelmällä.

Toinen tapa

Vaihdetaan

y=uv,

sitten:

{\piste {u}}v+u({\piste {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.

Valitaan niin $v(x)\not \equiv 0$

{\piste {v}}+a(x)v=0,

tätä varten riittää, että yhtälö ratkaistaan 1. kertaluvun erotettavissa olevilla muuttujilla. Tämän jälkeen määritelmää varten saadaan yhtälö - yhtälö, jossa on erotettavissa olevia muuttujia. $u$ ${\frac {{\piste {u}}}{u^{n}}}=b(x)v^{{n-1}}$

Esimerkki

Yhtälö

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

jakamalla saamme: $y^{2},$

y'y^{{-2}}-{\frac {2}{x}}y^{{-1}}=-x^{2}.

Muuttujien muutos

w={\frac {1}{y}}

antaa:

w'={\frac {-y'}{y^{2}}},

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.

M(x)=e^{{-2\int {\frac {1}{x}}dx}}=x^{{-2}}.

Jaamme mukaan $M(x)$

w'x^{2}+2xw=x^{4},

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.

Tulos:

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.

Kirjallisuus

A. F. Filippov . Kokoelma tehtäviä differentiaaliyhtälöistä, - Mikä tahansa painos.
V. V. Stepanov . Differentiaaliyhtälöiden kurssi, - Mikä tahansa painos.
Zelikin M. I. Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa, - Factorial, Moskova, 1998.

Muistiinpanot

↑ Zelikin M. I. Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa, - Factorial, Moskova, 1998.