Endomorfismi

Endomorfismi on luokkaobjektin morfismi itsessään; universaalin algebran kontekstissa se on homomorfismi , joka kartoittaa algebrallisen järjestelmän itseensä.

Missä tahansa luokassa kahden endomorfismin koostumus on myös endomorfismi, koostumus on assosiatiivinen ja siinä on identtinen endomorfismi. Tästä seuraa, että kaikki objektin endomorfismit muodostavat monoidin , joka on merkitty (tai korostamaan luokkaa ). $X$ $X$ $\operaattorinimi {Loppu}(X)$ $\operaattorinimi {End}_{C}(X)$ $C$

Reversiibeliä endomorfismia (jolla on isomorfismin ominaisuuksia ) kutsutaan automorfismiksi . Automorfismien joukko on osajoukko , jolla on luonnollinen ryhmärakenne ja jota merkitään . $\operaattorinimi {Loppu}(X)$ $\operaattorin nimi {Aut}(X)$

Mikä tahansa kaksi Abelin ryhmän endomorfismia voidaan lisätä säännön mukaisesti . Kun summaus on määritelty tällä tavalla, minkä tahansa Abelin ryhmän endomorfismit muodostavat renkaan, jota kutsutaan endomorfismirenkaaksi . Esimerkiksi vapaan Abelin ryhmän endomorfismit ovat kaikkien kokonaislukukertoimien matriisien rengas. Vektoriavaruuden tai moduulin endomorfismit muodostavat myös renkaan, samoin kuin minkä tahansa preadditiivisen luokan objektin endomorfismit . Kommutatiivisen monoidin endomorfismit muodostavat puolirenkaan , kun taas ei-kommutatiivisen ryhmän endomorfismit muodostavat rakenteen, joka tunnetaan nimellä lähirengas . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\mathbb Z}^{n}$ $n\ kertaa n$

Kirjallisuus

Nathan Jacobson . Perusalgebra (epämääräinen) . – 2. - Dover, 2009. - Osa 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .