Usean operaattorin ryhmä

Monioperaattoriryhmä on mielivaltainen ryhmärakenteella varustettu algebra , joka yleistää käsitteet ryhmästä , renkaasta , kappaleesta , operaattoriryhmästä (joka puolestaan yleistää renkaiden päälle moduuleja , erityisesti vektoriavaruuksia ) .

Englantilainen matemaatikko Philip Higgins esitteli sen vuonna 1956 [1] [2] universaalimmaksi rakenteeksi, jossa jokainen kongruenssi esitetään hajoamalla ihanteissa oleviksi koseteiksi ja jolle voidaan määritellä kommutaattorin käsite .

Muita esimerkkejä monioperaattoriryhmistä ovat lähi- ja lähikenttä . Tutkimme myös erityisiä universaaleja monioperaattoriryhmien luokkia — monioperaattorirenkaita ja monioperaattorialgebroita .

Määritelmät

Monen operaattorin ryhmä tai -ryhmä on algebra , joka muodostaa ryhmän , lisäksi mille tahansa -ary-operaatiolle , eli muodostaa alijärjestelmän . Oletetaan, että osa allekirjoituksesta ei sisällä nollatoimintoja. Joskus monioperaattoriryhmää kutsutaan sen lisäallekirjoituksella - -ryhmällä . $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $\sigma(0, \pisteet, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

Ryhmän normaalia aliryhmää kutsutaan monioperaattoriryhmän ideaaliksi , jos jollekin -ary-operaatiolle , mielivaltaiselle ( ) ja kaikille muodon elementeille: $N$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $g_i \in G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $a \ in N$

-\sigma(g_1, \pisteet, g_n) + \sigma(g_1, \pisteet, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \pisteet, g_n)

uudelleen omistettu . Merkintätapaa voidaan käyttää analogisesti normaalin alaryhmän ja renkaan ihanteen merkinnän kanssa. Monioperaattoriryhmää kutsutaan yksinkertaiseksi , jos sillä on vain kaksi ideaa - ryhmä itse ja nolla-aliryhmä. $N$ $N \kolmiokulma \mathfrak G$

Monen operaattorin ryhmän elementtien kommutaattori määritellään elementiksi , jota merkitään . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

Monioperaattoriryhmän kommutaattori on ihanteellinen, jonka muodostavat kaikki kommutaattorit ja muodon elementit: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\pisteet ,g_{n})-\sigma (h_{1},\pisteet ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\pisteet ,g_{n}+h_{n})

mille tahansa -ary-operaatiolle monioperaattoriryhmän lisäallekirjoituksesta. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Ihanteen ominaisuudet

Ryhmillä monen toimijan ryhmän ideaali sopii yhteen normaalin alaryhmän käsitteen kanssa ja renkaiden ja niihin perustuvien rakenteiden kanssa kaksipuolisen ihanteen kanssa .

Mikä tahansa monioperaattoriryhmän ideaali on sen alijärjestelmä . Monen toimijan ryhmän minkä tahansa ihannejärjestelmän leikkauspiste on jälleen sen ihanne, ja lisäksi tämä ihanne osuu yhteen näiden ihanteiden synnyttämän ryhmän alaryhmän kanssa. $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \bigcap N_i$ $\langle G, +, -, 0$

Ideaalin pääominaisuus on, että mikä tahansa kongruenssi monioperaattoriryhmässä on kuvattu laajennuksilla kosetiksi jonkin ihanteen suhteen, toisin sanoen voidaan puhua monioperaattoriryhmän osamääräjärjestelmästä (multioperator quotient group) muodostavana konstruktiona. uusi monitoimijoukko ihanteestaan.

Monioperaattoriryhmien erikoisluokat

Monioperaattorirengas on monioperaattoriryhmä, jonka additiivinen ryhmä on Abelin ja jokainen operaatio on distributiivinen ryhmän lisäyksen suhteen: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$

\sigma(g_1, \pisteet, g_i + h_i, \pisteet, g_n) = \sigma(g_1, \pisteet, g_i, \pisteet, g_n) + \sigma(g_1, \pisteet, h_i, \pisteet, g_n)

mille tahansa . $g_i, h_i \in G$

Monioperaattorialgebra on monioperaattorirengas, jonka kaikki unaarioperaatiot , joiden lisäallekirjoitus muodostavat kentän , lisäksi rakenne on vektoriavaruus tämän kentän yläpuolella, ja kaikille , kaikille yhden suurempien arity-operaatioille ja mielivaltaisille elementeille meillä on : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \in \Sigma_1$ $n$ $\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \in G$

\lambda \sigma(g_1, \pisteet, g_i, \pisteet, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \pisteet, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \pisteet, \lambda g_i, \pisteet , g_n) = \sigma(g_1, \pisteet, g_i, \pisteet, \lambda g_n

Kuten muutkin monioperaattorirakenteet, se tunnistetaan tekstissä usein ylimääräisellä allekirjoituksella: monioperaattori -algebra $\Sigma$ (tässä tapauksessa ja välttääkseen epäselvyyttä renkaan yli olevan algebran , josta se on erityinen yleistys, ja algebran välillä yleismaailmallisessa merkityksessä ).

Monioperaattorirenkaiden ja algebroiden ihanteet ovat alaryhmiä , joissa elementin läsnäolo sisältää muodon kaikkien elementtien sisällön niissä [3] . $N \kolmio G$ $g_i \in N$ $\sigma(g_1, \pisteet, g_i, \pisteet, g_n) \in N$

Muistiinpanot

↑ PJ Higgins. Ryhmät, joissa on useita operaattoreita // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Voi. 6 , ei. 3 . - s. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , s. 114.
↑ Yleisalgebra, 1991 , s. 357.

Kirjallisuus

A. G. Kurosh . Ryhmät monioperaattoreiden kanssa // Yleisalgebran luentoja. - 2. painos - M .: Nauka, 1973. - S. 114-124. - 400 s. – 30 000 kappaletta.
Artamonov V. A. . Luku VI. Yleisalgebrat // Yleisalgebra / Toim. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). - 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Multioperator group // Mathematical Encyclopedia. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)