Paikallinen kenttä

Paikallinen kenttä on tietyntyyppinen kenttä , jolla on topologia ja joka usein näkyy kenttien täytteinä .

Määritelmä

Paikallisesti kompaktia topologista kenttää , jolla on ei- diskreetti topologia , kutsutaan paikalliseksi .

Tyypit

Paikallisia kenttiä on kahta päätyyppiä: kenttiä, joiden absoluuttinen arvo on Arkhimedean , ja kenttiä, joissa se ei ole. Ensimmäisiä kutsutaan Arkhimedeen paikallisiksi kentiksi , kun taas jälkimmäisiä kutsutaan ei-Arkimedeolaisiksi paikalliskentiksi .

Mikä tahansa paikallinen kenttä on isomorfinen (topologisena kenttänä) jollekin seuraavista kentistä:

Arkhimedeen paikalliset kentät ( ominaisuus on nolla): reaalilukujen kenttä ja kompleksilukujen kenttä . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Ei-arkimedelaiset paikalliset kentät, joilla on ominaisuus nolla: p -adic-luvut ja niiden äärelliset laajennukset . $\Q_p$
Ei-arkimedelaiset paikalliset ominaisuuskentät : muodollinen Laurent-sarja äärellisessä kentässä ja niiden äärelliset laajennukset . $p\neq 0$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Ominaisuudet

Yleiset ominaisuudet

Paikallisen kentän additiivinen ryhmä , kuten millä tahansa paikallisesti kompaktilla topologisella ryhmällä , on ainutlaatuinen (positiivisella luvulla kertomiseen asti) Haar-mitta μ.
Voit syöttää mihin tahansa paikalliseen kenttään absoluuttisen arvon siten, että $K$ $|a|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

jollekin (ja siten mille tahansa) mitattavissa olevalle osajoukolle , jossa on nollasta poikkeava äärellinen Haar-mitta.

X\subset K

Ei-arkimedelaiset kentät

Ei-arkimedeisessa paikallisessa kentässä , jossa on absoluuttinen arvo , voidaan antaa seuraavat määritelmät: $K$ $|{*}|$
- Kokonaislukujen rengas ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Se muodostaa erillisen normoidun renkaan ja kompaktin pallon sisällä . ${\näyttötyyli (K,|{*}|)}$
- Kokonaislukujen renkaan yksiköt määritellään seuraavasti: . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - Ne muodostavat ryhmän ja yksikkösfäärin . ${\näyttötyyli (K,|{*}|)}$
- Ainoa nollasta poikkeava perusideaali kokonaislukujen renkaassa on avoin yksikköpallo $\mathfrak{m}$ $\{a\in K:|a|<1\},$

ja sen muodostavaa elementtiä kutsutaan yhtenäistäväksi elementiksi .

\omega \in {\mathfrak {m))

K

Loput - kenttä on äärellinen , koska se on kompakti ja diskreetti . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
Tässä tapauksessa missä on jäännöskentän potenssi . $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ $|k|$ $k$

Jokainen nollasta poikkeava elementti voidaan kirjoittaa muodossa , jossa on identiteettielementti, on kokonaisluku, jonka yksilöllisesti määrittää . $a\in K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $u$ $n$ $a$
- Erityisesti $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Katso myös

globaali kenttä