Diskreetti normalisointirengas

Diskreetti arvostusrengas on rengas , joka voidaan saada tietyn kentän diskreetin arvonmäärityksen tuloksena valitsemalla elementtien osajoukko, jolla on ei-negatiivinen normi. Tällainen rengas voidaan määritellä monella vastaavalla tavalla.

Diskreetti arviointirengas on integraalinen rengas R , joka täyttää yhden seuraavista (vastaavista) ehdoista:

1) R on pääideaalien paikallinen alue, joka ei ole kenttä. 2) R on paikallinen Dedekind-rengas , joka ei ole kenttä. 3) R on Noetherin paikallinen rengas, jonka Krull-mitta on yhtä suuri kuin yksi ja jonka ainutlaatuinen maksimiideaali on prinsiaali . 4) R on kiinteästi suljettu yksiulotteinen Noetherin paikallinen rengas. 5) R on pääideaalien alue, jossa on yksi nollasta poikkeava alkuideaali . 6) R on tekijärengas , jossa on yksi hajoamaton elementti ( assosioituun elementtiin asti ). 7) Renkaan R murto-osien kentällä on diskreetti arvostus siten, että R osuu yhteen ei-negatiivisen normin alkioiden joukon kanssa.

Esimerkkejä

Merkitään tämän renkaan murto-osien Kenttä — kaikki. Jaetaan mielivaltaisen rationaalin osoittaja ja nimittäjä yksinkertaisiksi ja esitetään muodossa pariton , laitetaan sitten — diskreetti arvostusrengas, joka vastaa . Huomaa, että tämä on Dedekind-renkaan lokalisointi suhteessa prime-ideaaliin . Osoittautuu, että minkä tahansa Dedekind-renkaan lokalisointi suhteessa nollasta poikkeavaan alkuideaaliin on diskreetti arvostusrengas. $\mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\not \vdots \;2\}.$ ${\mathbb Q}.$ $r$ $2^{k}p/q$ $p,q$ $v(r)=k.$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)))$ $v$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)))$ $\mathbb {Z}$ $(2)$
Otetaan geometrisempana esimerkkinä rationaalisten funktioiden rengas , jonka nimittäjä ei ole yhtä suuri kuin nolla nollassa, eli funktiot, jotka on määritelty jossain nollan ympäristössä. Tällaiset funktiot muodostavat erillisen arvostusrenkaan, ainoa redusoitumaton elementti on funktio (jopa ottamalla niihin liittyvät funktiot), ja rationaalisten funktioiden vastaava arvostus on tämän funktion nollaluokkaa (mahdollisesti nolla tai negatiivinen) nollassa. Tämä esimerkki on standardi algebrallisen käyrän tutkimiseen ei-singulaarisessa pisteessä; tässä tapauksessa algebrallinen käyrä on todellinen akseli. $x$
Toinen tärkeä esimerkki on muodollisten potenssisarjojen rengas ; tässä redusoitumaton elementti on sarja , ja arvostus on ensimmäisen nollasta poikkeavan kertoimen aste. Jos rajoitamme todellisiin tai kompleksisiin kertoimiin, voimme tarkastella sarjoja, jotka suppenevat jossain nollan naapurustossa - tämä on silti diskreetti arvostusrengas. $x$
P-adic-lukujen rengas . $\mathbb {Z} _{p}$

Topologia

Mikä tahansa diskreetti arviorengas on luonnollisesti topologinen rengas , elementtien x ja y välinen etäisyys annetaan seuraavasti:

{\displaystyle |xy|=2^{-\nu (xy)))

(2 sijasta voit ottaa minkä tahansa reaaliluvun >1). Intuitiivisesti elementti on pieni (lähellä nollaa), jos sen normi on suuri.

Diskreetti arviointirengas on kompakti, jos ja vain jos se on täydellinen ja jäännöskenttä R/m ( m on maksimiideaali) on äärellinen.

Kirjallisuus

Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M: Mir, 1972
Dummit, David S. & Fost2=Richard M. (2004), ISBN 978-0-471-43334-7