Tekijäsormus

Tekijärengas on eheysalue , jossa jokainen nollasta poikkeava elementti x on joko käännettävä tai yksikäsitteisesti esitetty pelkistymättömien elementtien tulona x = p 1 ⋯ p n ( n ≥ 1) tekijöiden permutaatioon ja käänteisellä kertomalla. elementti (samanlainen kuin kokonaislukujen hajottaminen alkuluvuiksi ). Faktoriarenkaita kutsutaan usein Gaussin mukaan .

Määritelmä

Muodollisemmin tekijärengas määritellään eheysalueeksi R , jossa jokainen nollasta poikkeava alkio x voidaan kirjoittaa pelkistymättömien alkioiden pi ja käännettävän alkion u tuloksi ( tyhjä tulo , jos x on käännettävä) :

x = u p 1 p 2 ⋯ p n

ja tämä hajoaminen on ainutlaatuinen seuraavassa mielessä: Jos q 1 , … , q m ovat R :n redusoitumattomia alkioita ja w on käännettävä alkio siten, että

x = w q 1 q 2 ⋯ q m ,

silloin m = n ja on olemassa bijektiivinen kuvaus φ : {1, … , n } → {1, … , m } siten, että p i on elementti, joka liittyy q φ ( i ) -arvoon i ∈ {1, … , n } .

Esimerkkejä

Kaikki euklidiset renkaat , erityisesti kokonaislukujen rengas (katso aritmeettisen peruslause ) ja Gaussin kokonaislukujen rengas . Katso artikkelit Kokonaislukujen faktorointi ja Gaussin lukujen faktorointi .
Jos R on faktoraalinen, niin polynomirengas R [ x ] on myös tekijä, joten tästä seuraa, että rengas R [ x 1 , … , x n ] on myös tekijä.
Auslander-Buxbaumin lause : jokainen tavallinen paikallinen rengas on tekijä.
Muodollisten potenssisarjojen rengas pääideaalien alueella on faktoriaalinen.
Olkoon R ominaisuuden kenttä , ei 2. Klein ja Nagata osoittivat, että R [ x 1 , … , x n ]/ Q on faktoriaalinen, jos Q on ei-degeneroitunut neliömuoto ja n on vähintään viisi.
Faktoriaalisen renkaan sijainti on faktoriaalinen. Lisäksi sopivalla lokalisoinnilla ja ei-faktoriaalisesta renkaasta voidaan saada factorial-rengas. Esimerkiksi rengas ei ole faktoriaalinen (koska ), mutta sen lokalisointi on faktoriaalinen. $\mathbb {\mathbb {Z} } [{\sqrt {-3}}]$ $(1+{\sqrt {-3)))\cdot (1-{\sqrt {-3)))=4=2\cdot 2$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3)),1/2]$

Vastaavat formulaatiot

Olkoon A integraalinen rengas. Seuraavat lausunnot ovat vastaavia:

A on tekijä.
Jokainen nollasta poikkeava alkuideaali A sisältää alkuelementin (eli sellaisen alkion, että tämän alkion generoima pääideaali on alkuluku).
A on Krull-rengas , jossa jokainen jakajaideaali on prinsiaali (näin määritellään Bourbakin tekijärengas ).
A on Krull-rengas ja jokainen primiideaali, joka ei sisällä muita nollasta poikkeavia alkuideaaleja, on primaari.

Factorial-renkaiden ominaisuudet

1. Tekijärenkaissa minkä tahansa äärellisen alkioiden joukon suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteisen kerrannaisen käsitteet sekä alkioiden yhteisalkuisuuden käsite ovat hyvin määriteltyjä .

2. Lemma nivelen jaettavuudesta. Jos tekijärenkaan alkio on jaollinen jokaisella alkiolla , , … , ja nämä alkiot ovat pareittain koprimeja, niin se on jaollinen niiden tulolla. $N$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{k}$ $N$

3. Jos , ja alkiot ovat pareittain koprimeja, niin jokaisella niistä on muoto , missä ovat renkaan käännettävät elementit. $N^n = a_1a_2\pisteet a_k$ $a_1, a_2, ... ,a_k$ $a_i = u_i b_i^n$ $u_{i}$

4. Mikä tahansa tekijärenkaan alkioista koostuva murto-osa voidaan kirjoittaa redusoitumattomaan muotoon , eli siinä on koprime-elementtejä ja (assosiaatioon asti määritelty yksilöllisesti) siten, että . $a/b$ $s$ $q$ $a/b = p/q$

5. Gaussin lause. Jos murto-osa on polynomin juuri, jonka suurin kerroin on yhtä suuri kuin 1 (polynomin alkiot , samoin kuin kaikki kertoimet ovat tekijärenkaan alkioita ), niin se sijaitsee , eli on jaollinen renkaalla . (Tätä renkaan ominaisuutta kutsutaan kiinteästi suljetuksi ). $a/b$ $x^n + c_1x^{n-1} + \dots + c_n$ $a,b$ $R$ $a/b$ $R$ $a$ $b$ $R$

Kirjallisuus

Bourbaki N. Kommutatiivinen algebra. - M .: Mir, 1971.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra. - M .: IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. - Mir, 1967.

Joidenkin sormusluokkien sisällyttäminen kaavioon
kommutatiiviset renkaat ⊃ integraalirenkaat ⊃ tekijärenkaat ⊃ pääideaalialueet ⊃ euklidiset renkaat ⊃ kentät