Krullin sormus

Krull-rengas on kommutatiivinen rengas , jolla on suhteellisen hyvät hajoamisominaisuudet . Wolfgang Krull tutki niitä ensimmäisen kerran vuonna 1931 [1] . Krull-renkaat ovat moniulotteinen yleistys Dedekind-renkaista : Dedekind-rengas on täsmälleen Krull-rengas, jonka ulottuvuus on enintään 1.

Tässä artikkelissa sana "rengas" tarkoittaa "kommutatiivista rengasta yksiköllä".

Määritelmä

Antaa olla eheyden alue ja olla kaikkien korkeuden 1 prime ihanteiden joukko , eli prime ihanteet, jotka eivät sisällä muita nollasta poikkeavia prime ihanteita. on Krull-rengas jos ja vain jos: $A$ $P$ $A$ $A$

$A_{\mathfrak {p))$ on erillinen arviointirengas kaikille , ${\mathfrak {p}}\in P$
$A$ on yhtä suuri kuin näiden erillisten arvorenkaiden leikkauspiste (jota pidetään osamääräkentän alirenkaina ). $A$
Mikä tahansa nollasta poikkeava alkio sisältyy korkeintaan äärelliseen määrään korkeuden 1 alkuideaaleja. $A$

Ominaisuudet

Krull-rengas on tekijä , jos ja vain jos jokainen korkeuden 1 alkuideaali on prinsiaali [2] .

Olkoon Zariski-rengas ( esimerkiksi Noetherin paikallinen rengas ). Jos viimeistely on Krull-rengas, niin on myös Krull-rengas. [3] $A$ $\widehat {A}$ $A$

Esimerkkejä

Mikä tahansa kiinteästi suljettu Noetherian sormus on Krull-sormus. Erityisesti Dedekind-sormukset ovat Krull-sormuksia. Päinvastoin, kaikki Krull-renkaat ovat kiinteästi suljettuja, joten Noether-renkaan ominaisuus "olla Krull-rengas" vastaa ominaisuutta "olla kiinteästi suljettu".
Jos on Krull-rengas, niin polynomien rengas ja muodollisen potenssisarjan rengas ovat Krull-renkaita. $A$ $A[x]$ $A[[x]]$
Polynomirengas, jossa on äärettömän monta muuttujaa tekijärenkaan yläpuolella , on esimerkki Krull-renkaasta, joka ei ole Noetherin. Yleisemmin kaikki faktoriaaliset renkaat ovat Krull-renkaita. $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ $R$
Antaa olla Noetherian verkkotunnuksen kentän osamäärät , ja olla äärellinen laajennus . Tällöin koko sulkeutuminen on Krull-rengas (Mori-Nagata-lauseen erikoistapaus) [4] . $A$ $K$ $L$ $K$ $A$ $L$

Divisor-luokkaryhmä

Kaikki Krull-renkaan jakajaideaalit hajoavat (ainutlaatuisesti) korkeuden 1 alkuideaalien tuloksi, joten ryhmää voidaan pitää korkeuden 1 alkuideaalien muodollisten lineaaristen yhdistelmien (kokonaislukukertoimien) ryhmänä. Pääjakajat muodostuvat aliryhmä , tämän ryhmän ylittävää tekijää kutsutaan jakajaluokkaryhmäksi . Tämä ryhmä on triviaali , jos ja vain jos rengas on tekijä. $D(A)$ $D(A)$ $A$

Cartier-jakaja on paikallisesti pääjakaja. Cartier-jakajat muodostavat jakajaryhmän aliryhmän . Kaikki tärkeimmät jakajat ovat Cartier-jakajia, ja Cartier -jakajien tekijä suhteessa niihin on Picard -ryhmä käännettävistä pyöristä . $D(A)$ $Spec(A)$

Esimerkki: renkaassa jakajaluokan ryhmällä on kertaluku 2 (jakaja generoi ), kun taas Picard-ryhmä on triviaali. $k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ $y=z$

Muistiinpanot

↑ Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie Arkistoitu 6.1.2013 . J. Reine Angew. Matematiikka. 167:160-196
↑ Krull ring - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . V. I. Danilov
↑ Bourbaki, luku 7, nro 10 , ehdotus 16.
↑ Ihanteiden, renkaiden ja moduulien integroitu sulkeminen, osa 13

Kirjallisuus

Bourbaki N. Kommutatiivinen algebra. - M: Mir, 1971.
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Krull ring , Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hideyuki Matsumura , Kommutatiivinen rengasteoria. Japanista kääntänyt M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 s. - ISBN 0-521-25916-9 .
Samuel, Pierre. Luennot ainutlaatuisista tekijöiden jakamisen aloista . Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Haettu: 29. heinäkuuta 2013.