Jakaja (algebrallinen geometria)

Algebrallisessa geometriassa jakajat ovat jonkin koodiulottuvuuden algebrallisen muunnelman alalajikkeiden yleistys 1. Tällaisia yleistyksiä on kaksi - Weyl-jakajat ja Cartier-jakajat (nimetty André Weylin ja Pierre Cartierin mukaan), nämä käsitteet ovat ekvivalentteja lajikkeiden ( tai kaavioita ) ilman singularisaatioita .

Weilin jakajat

Määritelmä

Weylin jakaja algebrallisessa variaatiossa ( tai yleisemmin Noetherin mallissa ) on äärellinen lineaarinen yhdistelmä , jossa ovat redusoitumattomia suljettuja osajoukkoja ja kokonaislukukertoimia. Ilmeisesti Weylin jakajat muodostavat Abelin ryhmän summauksen suhteen; tätä ryhmää kutsutaan . Muodon jakajaa kutsutaan yksinkertaiseksi ja jakajaa, jonka kaikki kertoimet eivät ole negatiivisia , kutsutaan efektiivisiksi . $X$ ${\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ $[Z_{i}]$ $X$ $n_{i}$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ $[Z]$ $n_{i}$

Divisor-luokkaryhmä

Oletetaan, että järjestelmä on kokonainen , erotettavissa oleva ja säännöllinen koodiulottuvuudessa 1 (etenkin nämä ominaisuudet pätevät tasaisille algebrallisille variaatioille). Koodimension 1 säännöllisyys tarkoittaa, että minkä tahansa koodiulottuvuuden 1 pelkistymättömän suljetun osajoukon paikallinen yleinen pisterengas on säännöllinen (ja Noetherin, koska se on Noetherin renkaan lokalisaatio ), ja siksi se on erillinen arvostusrengas . Jokaisella rationaalisella funktiolla ( säännöllisten funktioiden renkaan osamääräkentän elementti ) on jokin normi tässä renkaassa. Jos rationaalisen funktion normi on suurempi kuin nolla jollekin redusoitumattomalle osajoukolle , niin rationaalisen funktion sanotaan olevan nolla päällä ja jos se on pienempi kuin nolla, sillä on napa. Koska kaavio on Noetherian, tästä seuraa, että rationaalisen funktion normi ei ole yhtä suuri kuin nolla vain äärelliselle määrälle redusoitumattomia osajoukkoja, joten jokainen rationaalinen funktio liittyy jakajaan, jota merkitään . Jakajia, jotka voidaan saada tällä tavalla, kutsutaan pääjakajiksi . $X$ $X$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $(f)$

Koska , pääjakajat muodostavat alaryhmän . Pääjakajien alaryhmän muodostamaa tekijäryhmää kutsutaan jakajaluokkaryhmäksi ja sitä merkitään . Jakajaluokkaryhmä itsessään on mielenkiintoinen skeemainvariantti ( affiinisen kaavion luokkaryhmän triviaalisuus on kriteeri renkaan faktoriaalisuudesta , jos se on Noetherin ja integraalisesti suljettu ) [1] , ja joissain tapauksissa myös mahdollistaa kaikkien yksiulotteisten kimppujen luokittelun tietyn mallin mukaan. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Spec}}A$ $A$ $A$

Weilin jakajat ja riviniput

Antaa olla rivinippu yli (koko, Noetherian, säännöllinen koodimension 1) kaavion ; se vastaa osien nippua, joka on paikallisesti isomorfinen säännöllisten toimintojen renkaaseen nähden . Näitä isomorfismeja käyttämällä mikä tahansa tietyn lyhden rationaalinen osa (eli jonkin avoimen tiheän osajoukon ylitys) voidaan liittää sen nollien ja napojen jakajaan, jota merkitään [2] . Kaksi erilaista rationaalista osaa eroavat kertomisessa rationaalisella funktiolla, joten tämä vertailu määrittelee hyvin määritellyn kuvauksen Picard-ryhmästä jakajaluokkaryhmään: . Voidaan myös tarkistaa, että tämä kartoitus on homomorfismi (jakajien summa vastaa nippujen tensorituloa), normaalissa skeemassa se on injektiivinen ja kaavion paikallisen faktoriaalisuuden tapauksessa se on surjektiivinen [3 ] . Erityisesti kaikki nämä ehdot täyttyvät tasaisille algebrallisille lajikkeille, mikä antaa niiden yli olevien linjanipujen luokituksen isomorfismiin asti. Esimerkiksi kaikki yksiulotteiset niput affiinin paikallisesti tekijämallin yli ovat triviaaleja, koska sen jakajaluokkaryhmä on triviaali. ${\mathcal L}$ $X$ $X$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Pic}}\,X\to {\mathrm {Cl}}\,X$

Cartier-jakajat

Jos haluat työskennellä mielivaltaisten skeemojen kanssa, joissa on singulaarisuus, toinen yleistys koodiulottuvuuden 1 alijoukosta on usein kätevämpi [4] . Olkoon kaavion jokin peitto affiineilla kaavioilla ja rationaalisten funktioiden perhe vastaavilla (tässä tapauksessa rationaalinen funktio tarkoittaa osamäärän kokonaisrenkaan elementtiä). Jos nämä funktiot ovat yhteensopivia siinä mielessä, että ne eroavat kertomalla käännettävällä säännöllisellä funktiolla, tämä perhe määrittelee Cartier-jakajan. $U_{i}$ $X$ $f_{i}$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$

Tarkemmin sanottuna olkoon säännöllisten funktioiden renkaan murto-osien täydellinen rengas (missä on mielivaltainen affiini [5] avoin osajoukko). Koska affiiniset osajoukot muodostavat topologian perustan , ne kaikki määrittelevät yksiselitteisesti esirivikkeen ja vastaavaa nippua merkitään . Cartier-jakaja on osamäärän nipun globaali osa , jossa on käännettävien säännöllisten funktioiden nippu. On olemassa tarkka sekvenssi , kun siihen sovelletaan globaalien osien vasenta tarkkaa funktiota , saadaan tarkka sekvenssi . Kartier-jakajia, jotka sijaitsevat kuvassa kohteesta , kutsutaan pääjakajiksi . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X}(U)$ $U$ $X$ $K(U)$ $X$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\mathcal O}_{X}^{*}$ $0\to {\mathcal O}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\arvoon 0$ $O {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Cartier-jakajien ryhmästä (ryhmäoperaatio vastaa funktioiden kertolaskua) on luonnollinen homomorfismi Weylin jakajien ryhmään; jos on kokonainen erotettavissa oleva Noetherin kaava, jonka kaikki paikalliset renkaat ovat faktoriaalisia, tämä kartoitus on isomorfismi. Siinä tapauksessa, että paikallisen tekijän ehto ei täyty, Cartier-jakajat vastaavat paikallisesti pääasiallisia Weyl-jakajia (jakajia, jotka määritellään jonkin rationaalisen funktion nolliksi jokaisen pisteen ympäristössä). Esimerkki Weilin jakajasta, joka ei ole Cartier-jakaja, on neliökartion viiva, joka kulkee sen kärjen kautta. $X$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

Cartier-jakaja, kuten Weylin jakaja, voidaan liittää viivanippuun (tai vastaavasti käännettävään nippuun ). Kartoitus Cartier-jakajien tekijäryhmästä pääjakajien alaryhmän yli Picard-ryhmään on injektiivinen homomorfismi, ja projektiivisten tai kokonaisten kaavioiden tapauksessa se on surjektiivinen.

Tehokkaat Cartier-jakajat

Cartier-jakajan sanotaan olevan tehokas, jos kaikki sen määrittävät funktiot ovat säännöllisiä vastaavissa joukoissa . Tässä tapauksessa jakajaa vastaava käännettävä nippu on ihanteiden nippu , eli se funktionivi, joka katoaa jossain suljetussa alikaaviossa. Päinvastoin, tämä suljettu alikaavio määrittelee yksiselitteisesti tehokkaan jakajan, joten tehokkaat Cartier-jakajat voidaan määritellä suljetuiksi aliskeemoiksi , jotka voidaan määritellä paikallisesti yksittäisen funktion nollien joukkona, joka ei ole nollajakaja [6] . Kokonaisessa erotettavissa olevassa Noetherin kaaviossa, jonka paikalliset renkaat ovat kertoimia, teholliset Cartier-jakajat vastaavat täsmälleen tehokkaita Weylin jakajia [7] . $f_{i}$ $U_{i}$ $X$ $X$

Muistiinpanot

↑ Hartshorne, 1981 , s. 174.
↑ Ravi Vakil , s. 388.
↑ Ravi Vakil , s. 389, 391.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , s. 236, 396.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 191.

Kirjallisuus

R. Hartshorne. Algebrallinen geometria. - M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Väärinkäsityksiä K X :stä // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - Nro 25 . - s. 203-206. - doi : 10.5169/tiivisteet-50379 .

Linkit

Ravi Vakil. MATH 216: Algebrallisen geometrian perusteet (versio 11.6.2013) . - muistiinpanot algebrallisen geometrian kurssista, luettu Stanfordin yliopistossa.