Algebrallisen geometrian sanasto

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V Y Z _ _ _ _ _ _ _

A

abelin lajike Täydellinen algebrallinen ryhmä. Esimerkiksi monimutkainen monisto tai elliptinen käyrä äärellisen kentän päällä .

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n))

E

\mathbb {F} _{q}

algebrallinen ryhmä Algebrallinen ryhmä on algebrallinen muunnelma, joka on myös ryhmä , ja ryhmäoperaatiot ovat lajikkeiden morfismeja. algebrallinen kaavio Erotettavissa oleva lopullinen tyyppiskeema kentän päällä. Esimerkiksi algebrallinen variaatio on pelkistetty redusoitumaton algebrallinen malli. algebrallinen vektoripaketti Paikallisesti vapaa rajallinen nippu. algebrallinen lajike Äärillisen tyyppinen kokonaislukuerotettava skeema kentän päällä. algebrallinen joukko Äärillisen tyypin supistettu erotettava skeema kentän yli. Algebrallinen variaatio on pelkistetty redusoitumaton algebrallinen malli. aritmeettinen sukupuoli Projektiivisen muunnelman X , jonka dimensio on r , aritmeettinen suku on .

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

artiinalainen kaava 0-ulotteinen Noetherin malli. affiininen 1. Affiiniavaruus on karkeasti sanottuna vektoriavaruus , jossa olemme unohtaneet, mikä piste on origo. 2. Affiininen lajike on lajike affinisessa tilassa. 3. Affiinikaavio on kaavio , joka on isomorfinen jonkin kommutatiivisen renkaan spektrin suhteen . 4. Morfismia kutsutaan affiiniseksi , jos minkä tahansa avoimen affiinisen osajoukon esikuva on affiini. Tärkeitä affinisten morfismien luokkia ovat vektoriniput ja äärelliset morfismit .

B

birationaalinen morfismi Kaavojen birationalmorfismi on kaavioiden morfismi, joka indusoi niiden tiheiden avoimien osajoukkojen isomorfismin. Esimerkki birationaalisesta morfismista on räjäyttämisen aiheuttama kartoitus .

G

geometrinen suku Tasaisen projektiivisen muunnelman X , jonka dimensio on n , geometrinen suku on

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operaattorinimi {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(jossa tasa-arvo on Serren kaksinaisuuslause . sileä 1. Sileät morfismit ovat etale-morfismien moniulotteinen analogi. Sujuvuudelle on useita erilaisia määritelmiä. Seuraavat morfismin f tasaisuuden määritelmät : Y → X ovat ekvivalentteja: 1) mille tahansa pisteelle y ∈ Y on olemassa pisteiden y , x = f ( y ) avoimet affiiniset lähialueet V ja U siten, että rajoitus f :stä V :hen hajoaa etale-morfismin koostumukseksi ja projektioksi n- ulotteinen projektiivinen avaruus U : n päällä . 2) f on tasainen, paikallisesti äärellisesti esitetty, ja mille tahansa Y:n geometriselle pisteelle ( morfismi Y :n algebrallisesti suljetusta kentästä ) geometrinen kuitu on tasainen monisto klassisen algebrallisen geometrian merkityksessä.

{\bar {y}}

k({\bar {y)))

X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}})))

k({\bar {y)))

2. Täydellisen kentän k tasainen malli on paikallisesti äärellisen tyyppinen säännöllinen malli. 3. Kaava X kentän k päällä on sileä, jos se on geometrisesti tasainen: kaavio on sileä.

X\times _{k}{\overline {k))

Picard-ryhmä Picard-ryhmä X on X :n linjanipujen isomorfismiluokkien ryhmä, jonka ryhmän toiminta on tensoritulo .

D

hallitseva Morfismin f : X → Y sanotaan olevan hallitseva, jos f ( X ) :n kuva on tiheä . Affiinisten kaavioiden morfismi Spec A → Spec B on hallitseva silloin ja vain, jos vastaavan kuvauksen B → A ydin sisältyy nollaradikaaliin B . kaksoissäde Koherentti nippu X :ssä siten, että Serren kaksinaisuus

\omega _{X}

H^{ni}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}

pätee mille tahansa koherentille nivelelle F X :ssä ; esimerkiksi jos X on tasainen projektiomuunnelma, niin se on kanoninen nippu .

W

suljettu Piirin X suljetut alipiirit on rakennettu seuraavalla konstruktiolla. Olkoon J kvasikoherentti ihanteiden nippu. Osamäärän nivelen kantaja on X: n suljettu osajoukko Z ja se on suljetuksi alikaavioksi kutsuttu kaavio, jonka määrittelee kvasikoherentti ideaalinen nippu J [1] . Syy siihen, että suljetun alipiirin määritelmä riippuu tällaisesta rakenteesta, on se, että toisin kuin avoimilla osajouksilla, suljetun piirin osajoukoilla ei ole ainutlaatuista piirirakennetta.

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

K

kanoninen malli Kanoninen malli on kanonisen renkaan Proj (oletetaan olevan äärellisesti generoitu). kanoninen 1. Kanoninen nippu normaalissa monistossa X , jonka koko on n , on n asteen differentiaalimuotojen nippu tasaisten pisteiden osajoukossa .

{\displaystyle \omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n))

i:U\to X

2. Normaalivariantin X kanoninen luokka on jakajaluokka siten, että .

K_{X}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. Kanoninen jakaja on kanonisen luokan edustaja, jota merkitään samalla symbolilla (ei yksiselitteisesti määritelty).

K_{X}

4. Normaalin jakotukin X kanoninen rengas on kanonisen lyhteen osien rengas. tangenttiavaruus Katso Zariskin tangenttiavaruus . lähes kompakti morfismi Morfismin f : Y → X sanotaan olevan lähes kompakti, jos jollekin (ja sitten mille tahansa) X:n avoimelle affiinille peitolle joukoilla U i = Spec B i , f −1 :n ( U i ) käänteiskuvat ovat kompakteja . . kvasifiniittistä morfismia Äärillisen tyyppinen morfismi, jossa on äärellisiä kuituja. lähes erotettavissa Morfismin f : Y → X sanotaan olevan lähes erotettavissa, jos diagonaalinen morfismi Y → Y × X Y on kvasikompakti. Kaava Y on kvasiseparoituva , jos morfismi siitä Spec( Z ) on kvasiseparoitu [2] . varmasti ajateltavissa Jos y on pisteen Y piste , niin morfismi f on äärettömästi esitettävissä y :ssä, jos pisteellä f(y) on avoin affiini naapurusto U ja pisteen y avoin affiininaapuri V siten, että f ( V ) ⊆ U ja on äärellisesti esitetty algebra (äärellisesti generoidun ideaalin äärellisesti generoitu algebra). Morfismi f on paikallisesti äärellisesti esitettävä, jos se on äärellisesti esitettävissä kaikissa Y :n pisteissä . Jos X on paikallisesti Noetherian, niin f on paikallisesti äärellisesti esitettävä silloin ja vain jos se on paikallisesti äärellistä tyyppiä [3] . Morfismi f : Y → X on äärellisesti esitettävä, jos se on paikallisesti äärellisesti esitettävä, kvasikompakti ja kvasiseparoituva. Jos X on paikallisesti Noetherian, niin f on äärellisesti edustava jos ja vain jos se on äärellistä tyyppiä.

{\mathcal {O}}_{Y}(V)

{\mathcal {O}}_{X}(U)

äärellinen morfismi Morfismi f : Y → X on äärellinen, jos se voidaan peittää avoimilla affiinisilla joukoilla siten, että jokainen on affiininen — sillä on muoto — ja se generoidaan äärellisesti -moduulina.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

osastorengas Linjanipun L poikkileikkausrengas X :llä on asteittainen rengas .

\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})

L

paikallisesti noeterilainen järjestelmä Kaavio peitetty Noetherin renkaiden spektreillä . Jos spektrejä on äärellinen määrä, kaaviota kutsutaan Noetherian. paikallinen tekijäjärjestelmä Kaava, jonka paikalliset renkaat ovat tekijöitä .

M

Fano lajike Sileä projektiivinen lajike , jonka antikanoninen nippu on runsaasti.

{\displaystyle \omega _{X}^{-1))

Hilbertin polynomi Projektiivisen mallin X Hilbert-polynomi kentän yli on Eulerin ominaiskäyrä .

f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))

(paikallisesti) äärellisen tyypin morfismi Morfismi f : Y → X on paikallisesti äärellistä tyyppiä, jos se voidaan peittää avoimilla affiinisilla osajoukoilla siten, että jokainen esikuva voidaan peittää avoimilla affiinisilla osajoukoilla , joista jokainen generoidaan äärellisesti -algebrana. Morfismi f : Y → X on äärellistä tyyppiä, jos se voidaan kattaa avoimilla affiinisilla osajoukoilla siten, että jokainen esikuva voidaan peittää äärellisellä määrällä avoimia affiineja osajoukkoja , joista jokainen generoidaan äärellisesti -algebrana.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

H

redusoitumaton piiri Kaavaa kutsutaan redusoitumattomaksi, jos se (topologisena avaruutena) ei ole kahden varsinaisen suljetun osajoukon liitto. haarautumaton morfismi Tarkastellaan pisteen vastaavaa paikallisten renkaiden morfismia

y\in Y

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}

. Antaa olla suurin ihanteellinen , ja anna

{\mathfrak {m))

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)))

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

on kuvan luoma ihanne . Morfismia kutsutaan haarautumattomaksi, jos se on paikallisesti äärellistä tyyppiä ja on kaikille renkaan ja indusoidun kartoituksen maksimaalinen ideaali

{\mathfrak {m))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

f

y\in Y

{\mathfrak {n))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

on rajallinen erotettava kenttälaajennus. normaali piiri Koko kaaviota kutsutaan normaaliksi, jos sen paikalliset renkaat ovat kiinteästi suljettuja .

Voi

runsas Ample line bundle on viivanippu, jonka tensoriteho on hyvin runsas. kuva Jos f : Y → X on kaavioiden morfismi, niin f:n kaavioteoreettinen kuva on yksiselitteisesti määritelty suljettu alikaavio i : Z → X , joka täyttää seuraavan universaalin ominaisuuden:

f kulkee i :n kautta ,
jos j : Z ′ → X on mikä tahansa X:n suljettu osapiiri , jossa f kulkee j :n kautta , niin myös i kulkee j :n kautta . [neljä]

erotettavissa Erotettava morfismi on sellainen morfismi , että kuitutuotteen diagonaali itsensä kanssa on suljettu. Tämän seurauksena piiri on erotettavissa, kun diagonaalinen upottaminen piirituotteessa itsensä kanssa on suljettu upottaminen. Huomaa, että topologinen avaruus Y on Hausdorff silloin ja vain, jos diagonaalinen upotus

f

f

X

X

X

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y

suljettu. Erona topologisen ja algebrogeometrisen tapauksen välillä on se, että kaavion topologinen avaruus eroaa topologisten avaruuksien tulosta. Mikä tahansa affiinikaavio Spec A on erotettavissa, koska diagonaali vastaa renkaiden surjektiivista kartoitusta

X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X

A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'

. avoin alipiiri Piirin X avoin osapiiri on U : n avoin osajoukko, jossa on rakenteellinen nippu .

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

erittäin runsas Jakoputkessa X oleva linjanippu L on erittäin runsas, jos X voidaan upottaa projektiiviseen tilaan, jolloin L on kiertyvän Serren lyhteen O (1) rajoitus .

P

tasainen morfismi Morfismia aiheuttavat kuitujen tasokartoitukset . Rengashomomorfismia A → B kutsutaan litteäksi, jos se tekee B :stä litteän A -moduulin. plurirod Tasaisen projektiivisen muunnelman n:s plurigeeni on .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

supistettu kaavio Kaava, jonka paikallisilla renkailla ei ole nollasta poikkeavia nilpotentteja. projektiivinen 1. Projektiivinen muunnelma on projektitiivisen avaruuden suljettu alalaji . 2. Projektiivinen kaavio kaavion S yli on S - kaavio, joka kulkee jonkin projektiivisen avaruuden läpi suljettuna alikaaviona.

\mathbf {P} _{S}^{N}\to S

3. Projektiiviset morfismit määritellään samalla tavalla kuin affiniset morfismit: f : Y → X kutsutaan projektiiviseksi, jos se hajoaa suljetun upotuksen koostumukseksi ja projektiivisen avaruuden projektioksi .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X

X

R

inflaatio Blow-up on birational-muunnos, joka korvaa suljetun alipiirin tehokkaalla Cartier-jakajalla. Tarkemmin sanottuna Noetherin kaaviossa X ja suljetussa aliskeemassa Z : n puhallus X :ssä on oikea morfismi siten, että (1) on tehokas Cartier-jakaja, jota kutsutaan poikkeukselliseksi jakajaksi, ja (2) on universaali objekti, jolla on omaisuus (1).

Z\subset X

\pi :{\widetilde {X}}\to X

\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X))

\pi

Kodairan ulottuvuus Kanonisen mallin ulottuvuus. säännöllinen kuvio Järjestelmä, jonka paikalliset renkaat ovat tavallisia paikallisia renkaita . suvun Katso #aritmeettinen suku , #geometrinen suku .

C

yhdistetty Kaava on yhdistetty, jos se on yhdistetty topologisena avaruutena. Affiiniskeema Spec(R) on yhdistetty silloin ja vain, jos renkaalla R ei ole muita idempotentteja kuin 0 ja 1. kerros Kaavamorfismille kerros f y :n yli joukona on käänteiskuva ; sillä on luonnollinen kaaviorakenne pisteen y jäännöskentän yli kuitutuotteena , missä sillä on luonnollinen kaaviorakenne Y :n yli pisteen y jäännöskentän spektrinä .

f:X\Y:ksi

{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\))

{\displaystyle X\times _{Y}\{y\))

\{y\}

oma morfismi Erotettavissa oleva äärellisen tyyppinen universaalisti suljettu morfismi. Kaavamorfismin f : X → Y sanotaan olevan universaalisti suljettu, jos mille tahansa skeemalle Z , jonka morfismi on Z → Y , kuitutuotteesta tuleva projektio on topologisten avaruuksien suljettu kartoitus (siirtää suljetut joukot suljetuiksi joukoiksi).

X\times _{Y}Z\to Z

järjestelmä Kaava on paikallisesti rengastettu avaruus , joka on paikallisesti isomorfinen kommutatiivisen renkaan spektrin kanssa .

T

piste Kaava on paikallisesti rengastettu tila ja siten topologinen avaruus, mutta sanalla piste on kolme merkitystä:

S

S

taustalla olevan topologisen avaruuden piste ; $P$
$T$ -piste on morfismi alkaen to , mille tahansa skeemalle ; $S$ $T$ $S$ $T$
kaavion

geometrinen piste , joka on määritelty yli (morfismilla to) , jossa on kenttä , on morfismi alkaen to , jossa on algebrallinen sulkeminen .

S

{\textrm {Spec}}(K)

K

{\textrm {Spec))({\overline {K)))

S

{\overline {K}}

K

C

koko kaava Vähennetty redusoitumaton järjestelmä. Paikallisesti noeterilaisessa järjestelmässä integraali on sama kuin olla yhteydessä ja peitetty eheysalueiden spektreillä

E

etal Morfismi f : Y → X on etale, jos se on tasainen ja haarautumaton. On olemassa useita muita vastaavia määritelmiä. Tasaisten monistojen tapauksessa ja algebrallisesti suljetun kentän yli étale-morfismit ovat morfismeja, jotka indusoivat tangenttiavaruuksien isomorfismin , mikä on sama kuin tavallinen etale-kuvausten määritelmä differentiaaligeometriassa.

X

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

tehokas Cartier-jakaja Tehokas Cartier-jakaja kaaviossa X yli S on X : n suljettu alikaavio , joka on tasainen S :n päällä ja jonka ihanteellinen nippu on käännettävä .

Muistiinpanot

↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , 4.1.2 ja 4.1.3.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1964 , 1.2.1.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , §1.4.
↑ The Stacks Project arkistoitu 16. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa , luku 21, §4.

Kirjallisuus

Hartshorne R. Algebrallinen geometria / käänn. englannista. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.
Fulton, William (1998), Intersection theory , voi. 2, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folio. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Tulokset matematiikan ja siihen liittyvien alueiden. 3. sarja. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Berliini, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Julkaisut Mathématiques de l'IHES . 4 . doi : 10.1007/ bf02684778 . MR 0217083 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Elements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schemas et des morphismes de schémas, Première partie” . Julkaisut Mathématiques de l'IHES . 20 . doi : 10.1007/ bf02684747 . MR 0173675 .