Algebrallinen lajike

Algebrallinen variaatio on algebrallisen geometrian keskeinen tutkimuskohde . Algebrallisen muunnelman klassinen määritelmä on joukko ratkaisuja reaali- tai kompleksilukujen algebrallisiin yhtälöihin . Nykyaikaiset määritelmät yleistävät sen monin tavoin, mutta yritämme pitää geometrisen intuition johdonmukaisena tämän määritelmän kanssa [1] .

Algebrallisen lajikkeen määritelmä voi vaihdella hieman kirjoittajien välillä: jotkut kirjoittajat [2] sisällyttävät määritelmään pelkistymättömyyden ominaisuuden (tämä tarkoittaa, että lajike ei voi olla pienempien lajikkeiden liitto, katso alla), kun taas jotkut [3] erottavat vähentymätön ja "yleinen" monimuotoisuus. Tässä artikkelissa noudatamme ensimmäistä sopimusta ja kutsumme ratkaisujoukkoja yhtälöjärjestelmiin, jotka eivät ole redusoitumattomia algebrallisia joukkoja .

Algebrallisen muunnelman käsite muistuttaa jossain määrin tasaisen lajikkeen käsitettä . Erona on, että algebrallisilla lajikkeilla, toisin kuin sileillä lajikkeilla, voi olla yksittäisiä pisteitä . Todellisen algebrallisen muunnelman ei-singulaarisen pisteen ympäristö on isomorfinen tasaiselle variaatiolle.

Vuoden 1800 tienoilla todistettu algebran peruslause loi yhteyden algebran ja geometrian välille , mikä osoittaa, että pelkistetty polynomi yhdessä muuttujassa (algebrallinen objekti) määräytyy yksiselitteisesti sen kompleksisten juurien, eli kompleksisen tason äärellisen pistejoukon ( geometrinen esine). Hilbertin nollalause , joka yleisti tämän tuloksen, loi perustavanlaatuisen vastaavuuden polynomirenkaiden ideaalien ja algebrallisten variaatioiden välille. Hilbertin nollalauseen ja siihen liittyvien tulosten avulla matemaatikot loivat vastaavuuden algebrallisia muunnelmia koskevien kysymysten ja rengasteoriaa koskevien kysymysten välillä ; tällaisten vastaavuuksien käyttö on algebrallisen geometrian tunnusmerkki.

Määritelmät

Algebrallisia lajikkeita on eri tyyppejä: affiinilajikkeita, projektiivisia lajikkeita, kvasiprojektivia lajikkeita. Algebrallinen muunnelma yleisimmässä mielessä saadaan liimaamalla yhteen useita kvasiprojektioisia muunnelmia.

Affine-lajikkeet

Olkoon k algebrallisesti suljettu kenttä (klassisessa algebrallisessa geometriassa kompleksilukujen kenttä ); on n - ulotteinen affiiniavaruus k :n yli . Klassisesta analyysistä on olemassa lause, jonka mukaan suljetut osajoukot ovat täsmälleen kaikkien mahdollisten äärettömästi differentioituvien funktioiden nollajoukkoja . [4] Zariski-topologia tietyssä mielessä laajentaa tämän ominaisuuden koskemaan polynomifunktioita : Zariski-topologiaa määriteltäessä jokainen n muuttujan polynomijoukko liittyy affiinisen avaruuden pisteiden joukkoon, josta kaikki nämä polynomit katoavat: ${\mathbb A}^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

Zariski-topologian suljetut joukot ovat kaikki muotoa Z ( S ), myös näitä suljettuja joukkoja kutsutaan algebrallisiksi joukoiksi . Affiininen algebrallinen muunnelma on algebrallinen joukko, jota ei voida esittää kahden pienemmän algebrallisen joukon liittona. ${\mathbb A}^{n}$

Osajoukko voidaan liittää ideaaliin, joka koostuu polynomeista, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla tässä osajoukossa: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

Tapauksessa, jossa V on algebrallinen muunnelma, polynomien renkaan ideaalilla I ( V ) olevaa tekijärengasta kutsutaan tietyn muunnelman koordinaattirenkaaksi , jota yleensä merkitään k [ V ]. Huomaa, että algebrallinen joukko V on variaatio, jos ja vain jos I ( V ) on alkuideaali (tai vastaavasti koordinaattirengas on integraali ).

Projektiiviset ja kvasiprojektioivat lajikkeet

Olkoon k algebrallisesti suljettu kenttä ja n - ulotteinen projektioavaruus k : n päällä , eli projektivisaatio . Mikään polynomi ei määrittele tässä avaruudessa funktiota (koska yhdellä pisteellä on useita erilaisia homogeenisia koordinaatteja), mutta homogeeniselle polynomille n + 1 muuttujassa voidaan määrittää oikein pisteet, joissa polynomi on yhtä suuri kuin nolla (koska suhteelliset homogeeniset koordinaatit vastaavat homogeenisen polynomin suhteellisia arvoja). Siten joukko homogeenisia polynomia S voidaan liittää pisteiden joukkoon Z ( S ), jossa kaikki nämä polynomit ovat yhtä suuria kuin nolla, tämä määrittelee Zariskin topologian projektioavaruudessa. Projektiivinen algebrallinen muunnelma on redusoitumaton suljettu (Zariski-topologiassa) projektitiivisen avaruuden osajoukko . Joukko V voidaan liittää homogeeniseen ideaaliin, jonka generoivat homogeeniset polynomit, jotka katoavat V :stä . Sen perusteella olevaa osamäärärengasta kutsutaan homogeeniseksi koordinaattirenkaaksi . ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Kvasiprojektiivinen lajike on projektitiivisen lajikkeen avoin osajoukko. Erityisesti mikä tahansa affiininen lajike on isomorfinen kvasiprojektioiville [5] .

Abstraktit algebralliset lajikkeet

Klassisessa algebrallisessa geometriassa otettiin huomioon vain kvasiprojektioivia muunnelmia. Tämän määritelmän haittana on, että tietty lajikkeen upotus on kiinnitettävä projektitiiviseen tilaan: esimerkiksi lajiketta ei voi kutsua lajikkeeksi ennen kuin sen upottaminen projektitiiviseen tilaan on annettu (sellaisen upotuksen määrittämiseksi on käyttääksesi Segre-upotusta ). Lisäksi, jos algebrallinen muunnelma voidaan upottaa yhteen projektioavaruuteen, se voidaan upottaa äärettömään määrään muita käyttämällä kompositiota Veronen upotuksen kanssa . Ei ole läheskään ilmeistä, että jakotukien ominaisuudet (kuten jakotukien välisen kuvauksen ominaisuus olla säännöllinen) eivät riipu tällaisen upotuksen valinnasta. ${\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}$

Ensimmäisen yrityksen määrittää algebrallinen variaatio abstraktisti (eli ilman upottamisen määrittämistä projektiiviseen avaruuteen) teki Weil , joka määritteli lajikkeet arvostuksilla Perusteet of Algebrallinen Geometria -julkaisussa . Claude Chevallet ehdotti skeeman määritelmää, joka toimi useammissa tilanteissa. Alexander Grothendieckin skeeman määritelmä oli kuitenkin vielä yleisempi , ja monet matemaatikot hyväksyivät sen. Kaavateorian kielessä algebrallinen variaatio määritellään yleensä kokonaisena erotettavissa olevaksi äärellisen tyyppiseksi skeemaksi algebrallisesti suljetun kentän yli [6] , jotkut kirjoittajat hylkäävät myös algebrallisen sulkeutumisen tai redusoitumattomuuden vaatimuksen.

Esimerkkejä

Alla on muutamia esimerkkejä algebrallisista lajikkeista (lisäksi ne ovat kaikki algebrallisia käyriä ). Algebrallisten käyrien luokasta löytyy monia muita esimerkkejä .

Algebrallisten lajikkeiden erikoistapaukset

Jakotukin mitat→ Polynomiaste↓	0	yksi	2	…	k
yksi	Piste	Suoraan	Lentokone	…	hypertaso
2		Konika	Toisen asteen pinta	…	Quadric
3		kuutio	Kolmannen järjestyksen pinta	…	3. asteen jakotukki
neljä		kvartaalinen	Neljännen järjestyksen pinta	…	Jakotukki 4 tilausta
…		…	…	…	…
k		Algebrallinen käyrä	Algebrallinen pinta	…	Algebrallinen lajike

Affine line

Tarkastellaan polynomia renkaasta ${\mathbb C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

Tämän polynomin nollien joukko on affiiniviiva . Sen todistamiseksi, että affiiniviiva on algebrallinen muunnelma, riittää huomata, että polynomi on redusoitumaton ja rengas k [ x , y ] on faktoriaalinen (faktoriaalirenkaassa pelkistymättömän polynomin generoima pääideaali on yksinkertainen ). ${\mathbb C}^{2}$ $ax+by+c$

Quadrics

Kaikki ellipsit, paraabelit ja hyperbelit (eli kaikki ei -degeneroituneet nelikulmat ) ovat kompleksisen tason algebrallisia alilukuja. Degeneroitunut neliö ei aina ole algebrallinen muunnelma: esimerkiksi neliö voidaan esittää kahden suoran liittona, tässä tapauksessa tällainen esitys on ainutlaatuinen. Tämä ei ole sattumaa: mikä tahansa algebrallinen joukko voidaan esittää äärellisen määrän algebrallisten lajikkeiden liittona (joista mikään ei ole toisen alalaji), ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla [7] . $xy$

Twisted Cube

Avaruuden pistejoukko, jolla on muoto , on affiini algebrallinen muunnelma, ja lisäksi algebrallinen käyrä, joka ei sisälly mihinkään tasoon. [8] Tämä joukko on "kierretty kuutio", joka näkyy yllä olevassa kuvassa (tarkemmin sanottuna sen projektio kolmiulotteiseen todelliseen avaruuteen on esitetty). Se voidaan määritellä kahden yhtälön yhteisten nollien joukoksi: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Helpoin tapa todistaa tämän joukon redusoitumattomuus on käyttää projektiota ( x , y , z ) → ( x , y ), joka on injektiivinen ratkaisujoukolle ja jonka kuva on redusoitumaton käyrä (paraabeli).

Kierrettyä kuutiota pidetään yleensä projektiivisena muunnelmana , joka on Veronese-kartoituksen kuva . Monissa oppikirjoissa se esitetään yksinkertaisimpana esimerkkinä käyrästä projektiivisessa avaruudessa, joka ei ole lineaarinen. Yllä tarkasteltiin tämän lajikkeen kuvaa yhdessä affiinisista kaavioista . ${\mathbb P}^{3}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Tavallinen näyttö

Säännöllinen affinisten lajikkeiden välinen kartoitus on polynomien antama kartoitus. Tarkemmin sanottuna, jos ovat affinisia monistoja, säännöllinen kuvaus on muodon kuvaus , jossa , ja , eli minkä tahansa pisteen kuva X :stä täyttää Y : n määrittävät yhtälöt . $X\in {\mathbb A}^{n},Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\pisteet ,f_{m})$ $f_{i}\in k[x_{1},\pisteet ,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subseteq Y$

Yleisemmin sanottuna kvasiprojektioivien lajikkeiden kartoitus ƒ : X → Y on säännöllinen pisteessä x , jos on olemassa x:n lähialue U ja f ( x ) -naapuruus V siten , että rajoitus ƒ : U → V on säännöllinen. (affiinisten) lajikkeiden kartoitus. Tällöin kartoitus on säännöllinen , jos se on säännöllinen määritelmäalueen kaikissa kohdissa.

Säännöllistä kartoitusta kutsutaan säännölliseksi funktioksi . Säännöllisten funktioiden rengasta affiinilla variaatiolla V kutsutaan koordinaattirenkaaksi k [ V ]. Tämä määritelmä on yhtäpitävä yllä annetun koordinaattirenkaan määritelmän kanssa , koska kaksi säännöllistä funktiota eivät täsmää jos ja vain jos niiden ero kuuluu . Tämä rengas osuu myös rationaalisten funktioiden renkaaseen, jonka arvot ovat äärelliset V :n kaikissa pisteissä (tämän tosiasian todisteena käytetään lajikkeen redusoitumattomuutta [9] ), tai abstraktimmin globaalien osien renkaan kanssa. V :n rakenteellinen nippu (katso artikkelit Renkaan spektri , Kaavio ). Voidaan myös tarkastella funktioiden kenttää k ( V ) algebrallisella variaatiolla V , joka koostuu kaikista V:n rationaalisista funktioista . ${\mathbb A}^{1}$ ${\mathbb A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $I(V)$

Säännölliset kartoitukset ovat määritelmän mukaan morfismeja algebrallisten lajikkeiden luokassa. Erityisesti siitä tosiasiasta, että affinisten kaavioiden luokka on kaksoisluokka kommutatiivisten renkaiden luokan kanssa , seuraa, että säännölliset kartoitukset affiinien lajikkeiden välillä ovat yksi-yhteen vastaavuus niiden koordinaattirenkaiden homomorfismien kanssa.

Käänteistä säännöllistä kartoitusta, jonka käänteinen on myös säännöllinen, kutsutaan bisäännölliseksi mappaukseksi . Algebralliset lajikkeet ovat isomorfisia silloin ja vain, jos niiden välillä on kaksisäännöllinen kartoitus.

Kuvauksen säännöllisyys on melko vahva ehto: esimerkiksi Liouvillen lauseesta seuraa , että projektiivisen variaation ainoat säännölliset funktiot ovat vakioita. Tästä syystä käytetään usein heikompia olosuhteita - kartoituksen rationaalisuutta ja lajikkeiden birationaalista vastaavuutta .

Jakotukin mitat

Olkoon k [ V ] V :n koordinaattirengas . Tällöin V :n ulottuvuus on renkaan k murto-osien kentän ylitysaste [ V ] kentän k jatkeena [10] .

Dimensiolle on monia vastaavia määritelmiä. Esimerkiksi olkoon x mielivaltainen ei-singulaarinen piste variaatiosta V , jolloin V : n rakennelyhde mahdollistaa paikallisen renkaan R x "rationaalisten funktioiden pisteessä x " määrittämisen maksimiideaalisella m :llä. lajikkeesta on tekijärenkaan mitta m / m 2 vektoriavaruudena kentän R x / m yläpuolella . Toinen määritelmä: affiinisen lajikkeen A ulottuvuus on n: n supremumi siten, että on olemassa affinisten alalajikkeiden ketju . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Algebrallisia muunnelmia, joiden ulottuvuus on 1, kutsutaan algebrallisiksi käyriksi . Useimmiten tarkastellaan monimutkaisia algebrallisia käyriä; ei-singulaarisen pisteen läheisyydessä ne ovat homeomorfisia kaksiulotteisen todellisen muunnelman kanssa . Kompleksisen algebrallisen käyrän suku on vastaavan topologisen pinnan suku .

Algebrallisia muunnelmia, joiden ulottuvuus on 2, kutsutaan algebrallisiksi pinnoiksi .

Katso myös

Kaava (matematiikka)

Muistiinpanot

↑ Hartshorne, 1981 , s. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , s. kahdeksantoista.
↑ Harris, 2005 , s. 17.
↑ Jet Nestruev . Sileät jakoputket ja havainnot. Luku 2, Ehdotus 2.4.
↑ Hartshorne, 1981 , harjoitus 2.9, s. kolmekymmentä.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 21.
↑ Harris, s. 24; tämän sarjan redusoitumattomuus on Hartshornen harjoitus, s. 24.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 35.
↑ Harris, 2005 , s. 171.

Kirjallisuus

Mumford D. Punainen kirja jakoputkista ja järjestelmistä. - M .: MTsNMO, 2007. - 296 s. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebrallinen geometria. - M .: Mir, 1981. - 597 s.
Shafarevich I. R. Algebrallisen geometrian perusteet. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 s. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Algebrallinen geometria. Alkukurssi. - M .: MTSNMO, 2005. - 400 s. - ISBN 5-94057-084-4 .

Linkit

Ravi Vakil , MATH 216: Algebrallisen geometrian perusteet Arkistoitu 5. lokakuuta 2013 Wayback Machinessa (versio 6/11/2013) - Stanfordin yliopistossa pidetyn algebrallisen geometrian kurssin muistiinpanoja.
SURFER Arkistoitu 2. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa on ilmainen ohjelma algebrallisten pintojen visualisointiin.