Algebrallinen pinta

Algebrallinen pinta on kahden ulottuvuuden algebrallinen muunnelma . Jos kyseessä on geometria kompleksilukukentän yli, algebrallisella pinnalla on kompleksimitta kaksi ( kompleksisena moninaisena , jos se on ei - singulaarinen ), ja siksi sillä on ulottuvuus neljä sileänä monina .

Algebrallisten pintojen teoria on huomattavasti monimutkaisempi kuin algebrallisten käyrien teoria (mukaan lukien kompaktit Riemannin pinnat , jotka ovat (todellisen) ulottuvuuden kaksi pintoja) . Italialainen algebrallisen geometrian koulu sai kuitenkin monia tuloksia lähes sata vuotta sitten.

Luokittelu Kodaira-mitan mukaan

Dimensiossa yksi lajikkeet luokitellaan vain topologisen suvun mukaan, mutta dimensiossa kaksi aritmeettisen suvun ja geometrisen suvun välinen ero tulee merkittäväksi, koska emme voi erottaa birationaalisesti vain topologista sukua. Otamme käyttöön epäsäännöllisyyden käsitteen pintojen luokittelussa. $p_{a}$ ${\displaystyle p_{g))$

Esimerkkejä algebrallisista pinnoista (tässä κ on Kodaira-mitta ):

κ=−∞: projektiivinen taso , nelikulmat P 3 :ssa , kuutiopinnat , Veronese - pinta , del Pezzo -pinnat [ , viivapinnat
κ=0 : K3-pinnat , Abelin pinnat , Enriques-pinnat , hyperelliptiset pinnat
κ=1: elliptiset pinnat
κ=2: yleisen tyypin pinnat .

Muita esimerkkejä löytyy artikkelista ''Algebrallisten pintojen luettelo'' .

Ensimmäiset viisi esimerkkiä ovat itse asiassa birationaalisesti vastaavia . Toisin sanoen esimerkiksi rationaalisten funktioiden kenttä kuutiopinnalla on isomorfinen rationaalisten funktioiden kentän kanssa projektiivitasolla , joka on rationaalisten funktioiden kenttä kahdessa muuttujassa. Kahden käyrän karteesinen tulo on myös esimerkki.

Pintojen Birational geometria

Algebrallisten pintojen birationaalinen geometria on rikas "blow-up" -muunnoksen (joka tunnetaan myös "monoidimuunnoksena") ansiosta, jossa piste korvataan kaikkien siinä olevien rajattujen tangenttisuuntien käyrällä ( projektiivinen suora ). ). Joitakin käyriä voidaan supistaa , mutta niillä on rajoitus (itseleikkausindeksin tulee olla −1).

Ominaisuudet

Nakai-kriteeri sanoo, että:

Jakaja D [1] pinnalla S on riittävä silloin ja vain, jos D 2 > 0 ja D • C > 0 kaikille redusoitumattomille käyrälle C pinnalla S [2] [3] .

Ample-jakajan hyödyllinen ominaisuus on, että se on käänteiskuva jonkin projektiivisen avaruuden hypertason jakajasta, jonka ominaisuudet tunnetaan hyvin. Olkoon Abelin ryhmä, joka koostuu kaikista S :n jakajista . Sitten leikkauslauseen mukaan ${\mathcal {D}}(S)$

{\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y

voidaan ajatella neliöllisenä muotona . Päästää

{\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0

kaikille

X\in {\mathcal {D}}(S)\}

sitten tulee numeerisesti ekvivalentti pinnan S ja luokkaryhmän kanssa ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$

Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D)),{\bar {E)))\mapsto D\cdot E

muuttuu myös neliömuotoiseksi muodossa , jossa on jakajan D kuva S :llä . ( D - kirjainta käytetään alla kuvassa .) $Num(S)$ ${\bar {D))$ ${\bar {D))$

Runsaalle nippulle H S : ssä määritelmä

\{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.

johtaa versioon Hodge-lauseesta pinnalla olevasta indeksistä

sillä , eli on negatiivinen määrätty neliömuoto.

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

{\displaystyle \{H\}^{\perp ))

Tämä lause on todistettu käyttämällä Nakai-kriteeriä ja Riemann-Rochin pintalausetta. Kaikille tämän lauseen jakajille on totta. Tämä lause ei ole vain työkalu pintojen tutkimiseen, vaan Deligne käytti sitä todistaakseen Weilin arvelut , koska se on totta kaikissa algebrallisesti suljetuissa kentissä. ${\displaystyle \{H\}^{\perp ))$

Algebrallisten pintojen teorian perustuloksia ovat Hodge-indeksilause ja rationaalisten ekvivalenssiluokkien viiden ryhmän hajotelma, joka tunnetaan Enriques-Kodaira- luokituksena tai algebrallisten pintojen luokituksena . Yleistyyppinen luokka , jolla on Kodaira-mitta 2, on erittäin suuri (esimerkiksi se sisältää ei-singulaarisia pintoja, joiden aste on 5 tai korkeampi P 3 :ssa ).

Pinnalle on kolme perusnumeerista Hodge -invarianttia. Näitä ovat h 1,0 , jota kutsutaan epäsäännöllisyydeksi ja merkitään q , ja h 2,0 , jota kutsutaan geometriseksi suvuksi p g . Kolmas invariantti, h 1,1 , ei ole birational invariantti , koska räjäytys voi lisätä täydellisiä käyriä luokasta H 1,1 . Tiedetään, että Hodge-syklit ovat algebrallisia ja että algebrallinen ekvivalenssi on sama kuin homologinen ekvivalenssi, joten h 1,1 on ρ:n yläraja, Néron-Severi-ryhmän arvo . Suku p a on yhtä suuri kuin erotus

geometrinen suku - epäsäännöllisyys.

Tämä seikka selittää, miksi sääntöjenvastaisuus on nimetty, koska se on eräänlainen "jäännöstermi".

Muistiinpanot

↑ Jakajan määritelmä löytyy kirjasta Hartshorne ( Hartshorn 1981 )
↑ Averu et ai., 1985 , s. 119.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 459, Lause 1.10.

Kirjallisuus

IV Dolgachev. Matematiikan tietosanakirja / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Oscar Zariski. Algebralliset pinnat. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Matematiikan klassikot). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
J. Averou, L. Bernard-Begerie, J.-P. Bourgoignon, P. Gauduchon, A. Derdzinski, J. La Fontaine, P. Marry, D. Meyer, A. Polombo, P. Sentenac. Neliulotteinen Riemann-geometria / Arthur Besse. - M . : "Mir", 1985.
R. Hartshorne. Algebrallinen geometria. - M . : "Mir", 1981.

Linkit

Ilmainen ohjelmisto SURFER Arkistoitu 2. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa algebrallisten pintojen visualisointiin
SingSurf Arkistoitu 8. toukokuuta 2017 Wayback Machinessa . Interaktiivinen 3D-esineohjelma algebraisille pinnoille.
Algebrallisia pintoja käsittelevä sivu aloitettu vuonna 2008 Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
Yleiskatsaus ja ajatuksia algebrallisten pintojen suunnittelusta Arkistoitu 2. huhtikuuta 2017 Wayback Machinessa