Pullistua

Blow-up [1] [2] [3] (kutsutaan Tyurinin sigmaprosessiksi [ 4] ja Maninin monoidimuunnokseksi [5] ) on algebrallisen geometrian operaatio . Yksinkertaisimmassa tapauksessa, karkeasti sanottuna, se koostuu pisteen korvaamisesta kaikkien sen läpi kulkevien viivojen joukolla.

Tason täyttäminen pisteessä

Antaa olla projektiivinen taso ja antaa olla kaksoisprojektiivinen taso , jonka pisteet vastaavat alkuperäisen tason linjoja. Karteesisen tulon pisteet ovat pareja , joissa on tason piste, a on samassa tasossa oleva suora. Ehtoa , että piste sijaitsee suoralla, kuvataan koordinaattitermein lineaarisen muodon katoamiseksi vektorista siten, että joukko on algebrallinen variaatio . Lisäksi, koska projektiivisten tilojen tulo upotetaan riittävän suureen projektiotilaan Segre-upotuksen avulla, se on myös projektiivinen lajike. Sitä kutsutaan ilmaantuvuussarjaksi . Merkitään se nimellä . Kiinnitämme pisteen , tarkastelemme jakosarjaa ja sen leikkauskohtaa tulosarjan kanssa. Harkitse tämän risteyksen projektiorajoitusta. Jos piste on eri kuin piste , niin sen yläpuolella oleva projektiokerros koostuu yhdestä pisteestä , jossa on pisteiden läpi kulkeva viiva ja . Toisaalta itse pisteen yläpuolella oleva kerros koostuu kaikista sen läpi kulkevista viivoista. Jakotukkia merkitään ja sitä kutsutaan tason puhallukseksi pisteessä . Siten tämä puhallus eroaa tasosta siinä, että yksi sen pisteistä on korvattu suoralla viivalla. Siinä tapauksessa, että projektiivinen taso määritellään kompleksilukujen kentän yli , projektiiivinen viiva on Riemannin pallo , mikä selittää nimen. Liimattua viivaa kutsutaan poikkeukselliseksi käyräksi ja sitä kutsutaan perinteisesti . Se eroaa tavallisista suorista viivoista siinä, että se ei salli analyyttisiä muodonmuutoksia. ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2))$ ${\displaystyle {\check {\mathrm {P} ^{2))))$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2))))$ ${\näyttötyyli (x,\ell )}$ $x$ $\ell$ $x\in \ell$ $\left\{(x,\ell )\colon x\in \ell \right\}\subset \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2} }}$ $minä$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {P} ^{2))$ $F_{x_{0}}=\{(x,\ell )\colon x_{0}\in \ell \}$ $F_{x_{0}}\cap I$ $\mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2}}}\to \mathrm {P} ^{2}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {P} ^{2))$ $x_{0}$ ${\näyttötyyli (x,\ell )}$ $\ell$ $x$ $x_{0}$ $x_{0}$ $F_{x_{0}}\cap I$ $\mathrm {Bl} _{x_{0}}(\mathrm {P} ^{2})$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2))$ $x_{0}$ $E_{x_{0))$

Antaa olla pisteen läpi kulkeva algebrallinen käyrä . Joukkoteoreettinen projisoitu käänteiskuva sisältää poikkeuksellisen käyrän ja sitä kutsutaan täydelliseksi esikuvaksi . Näin ollen koko esikuva ei ole redusoitumaton , vaikka alkuperäinen käyrä olisi redusoitumaton. Jos kuitenkin otetaan vain ne parit pisteen käänteiskuvaksi , jossa on käyrän yhden haaran tangentti tässä pisteessä, niin redusoitumattoman käyrän käänteiskuva on redusoitumaton. Tällaista esikuvaa kutsutaan oikeaksi esikuvaksi . Jos on käyrän tasainen piste , niin oikea käänteiskuva on isomorfinen itse käyrälle. Jos käyrällä olisi tässä vaiheessa singulaarisuus, sen oma esikuva on erilainen. Esimerkiksi karteesisen kuution ominaiskuva, kun se räjäytetään origossa, on tasainen rationaalinen käyrä. $C$ $x_{0}$ $C$ $\mathrm {Bl} _{x_{0}}\to \mathrm {P} ^{2}$ $E_{x_{0))$ $x_{0}$ ${\näyttötyyli (x_{0},\ell )}$ $\ell$ $x_{0}$

Deflatointikäyrät

Huomaa, että edellä kuvattu rakentaminen voidaan tehdä affinisessa kartassa . Siten voidaan puhua minkä tahansa algebrallisen pinnan (tai yleisemmin monimutkaisen pinnan ) räjäyttämisestä . Topologisesti inflaatio on järjestetty seuraavasti: pisteestä leikataan pieni, neliulotteisen pallon näköinen naapurusto ja sen rajalle liimataan kaksiulotteinen pallo - kolmiulotteinen pallo - käyttäen Hopf-kartoitusta . Todellisen pinnan räjäyttämisessä leikataan irti pieni kiekko ja liimataan sen reunaan, ympyrään, Möbius-nauhaan . $x_{0}$

Huomaa, että räjäytys ei ole todellinen kartta, vaan vain rationaalinen kartta : räjäytys ei ole tarkkaan määritelty räjäytyskohdassa. Tässä tapauksessa käänteinen operaatio, jota kutsutaan deflaatioksi tai supistukseksi , on hyvin määritelty. Venäläinen geometri A. I. Bondal muotoili sen seuraavasti: "Määritelmän mukaan inflaatio on inflaatiolle vastakkainen operaatio . "

Jokaista pinnan rationaalista käyrää ei voida puhaltaa pois. Esimerkiksi tasossa mikään käyrä ei salli puhallusta, koska pieni muutos sen yhtälön kertoimissa aiheuttaa käyrän muodonmuutoksen, jota poikkeuksellisissa puhalluskäyrissä ei voi olla. Kriteerideflatoiva käyrä algebrallisella pinnalla löysi G. Castelnuovo ja on yksi italialaisen koulukunnan klassisista saavutuksista .

Algebrallisen pinnan rationaalinen käyrä voidaan puhaltaa tasaiseksi, jos ja vain jos sen normaali nippu on isomorfinen tautologisen nipun kanssa.

G. Castelnuovo .

Jos esimerkiksi kaksi pistettä räjäytetään projektiotasolla, niin niiden läpi kulkevan suoran oikea esikuva puhalletaan pois. Kun se puhalletaan pois, saadaan neliö . Näiden kahden pisteen läpi kulkevat lyijykynät siirtyvät tällaisessa muunnoksessa kahteen nelikulmaiseen riviperheeseen . Käänteinen muunnos voidaan kuvata visuaalisesti seuraavasti. Tarkastellaan kolmiulotteisen projektiivisen avaruuden neliötä ja siinä olevaa pistettä sekä jotakin tasoa , joka ei kulje . Yhdistä piste suoran ja tason leikkauspisteeseen . Jotta tämä operaatio määritettäisiin oikein pisteessä , meidän on ensin täytettävä neliö siinä. Projektio on hyvin määritelty ja yksi yhteen kahden suoran ulkopuolella projektion keskustan läpi kulkevalla neliöllä. Siten projektio puhaltaa nämä viivat kahteen pisteeseen. $K$ $x$ $\Pi$ $x$ $y\in Q$ $xy$ $\Pi$ $x$ $\mathrm {Bl} _{x}(Q)\to \Pi$

Castelnuovon kriteeri on hyödyllinen algebrallisten pintojen luokittelussa : kaikkien mahdollisten puhallusten jälkeen saadaan algebrallisen pinnan ns. minimimalli , jonka luokittelu ei ole vaikeaa. Räjäytykset ovat hyödyllisiä myös muissa pintojen algebrallisen geometrian kysymyksissä: esimerkiksi kaksiulotteinen Cremona - ryhmä (projektiivitason rationaalisten muunnosten ryhmä) muodostetaan puhallusten ja puhallusten koostumuksilla.

Algebrallisella pinnalla vain rajallinen määrä pisteitä voidaan räjäyttää. Siitä huolimatta on mahdollista simuloida koneen räjähdys kaikissa kohdissa ottamalla huomioon Nero-Severi-hilojen rajat kaikissa mahdollisissa räjähdyksissä. Tuloksena olevaa objektia kutsutaan Picard-Manin-avaruudeksi . Tämä on ääretön -ulotteinen Minkowski-avaruus , jossa Cremona-ryhmä toimii. Ranskalaiset geometrit S. Kant ja S. Lamy osoittivat, että Cremona-ryhmä ei ole yksinkertainen . [6]

Scheme bloat

Hedelmällisin kuvaus korkeiden ulottuvuuksien räjäyttämisestä on kaavioteoriassa . Esimerkiksi, jos on projektiivinen kaavio ja a on siinä koherentti ihanteiden nippu, niin ideaalin kaavion purkaminen on kaavio yhdessä kaavioiden kartoituksen kanssa siten, että ensinnäkin nippu on käännettävä , ja toiseksi, mikä tahansa morfismi , joka on käännettävä, kulkee yksiselitteisesti morfismin läpi . Tämä yleinen ominaisuus määrittelee turvotuksen ainutlaatuisella tavalla. Suoraan sanottuna räjäytys määrittelee Proj-konstruktin muodossa . Kun puhutaan räjäyttämisestä suljetussa alikaaviossa , tarkoitetaan räjäyttämistä ihanteiden nipussa, joka määrittelee tämän alajärjestelmän. Alapiiriä, jossa räjäytys tapahtuu, kutsutaan puhalluskeskukseksi . Räjäytyksen jälkeen ilmestyvä alalaji on aina jakaja , jota kutsutaan poikkeukselliseksi jakajaksi . $X$ $\mathcal{I}$ $\mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)$ $\pi \colon \mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)\to X$ ${\displaystyle \pi ^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{\mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)))$ $f\colon Y\to X$ $f^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ $\pi$ $\mathrm {Proj} \bigoplus _{i=0}^{+\infty }{\mathcal {I}}^{i}$

Tämä määritelmä sallii täyttämisen missä tahansa suljetussa alipiirissä. Jos kaavio oli tasainen monisto ja puhalluksen keskipiste oli sen sileä osajoukko, niin topologisesti tapahtuvaa voidaan kuvata pienen alueen leikkaamiseksi pois puhalluksen keskipisteestä ja liittämiseksi sen normaalin projektivisaatioon. nippu, joka jokaisella kerroksella näyttää yleistetyltä Hopf-nipulta. Kun räjäytetään tasaiseen keskustaan koodimensionaalisesti, mitään ei tapahdu. Jos keskus ei ollut sileä osajakotukki, niin jakosarja yleensä muuttuu. Esimerkkinä voidaan käyttää edellä geometrisesti kuvattuja epätasaisten käyrien räjähdyksiä yksittäisissä pisteissä. Kaavan purkautuminen koko skeemassa on tyhjä skeema. Tässä tapauksessa Bondalin muotoilema terminologiaongelma on erityisen akuutti: räjäytys"kartta" ei ole edes paikallisesti määritelty, ja puhalluskartta on tyhjän alipiirin tautologinen sisällyttäminen. $X$ $X$

Alebraalisessa geometriassa käytetään laajalti alijakoryhmiin keskittyviä puhalluksia. Siten V. A. Iskovskikh käytti räjähdysten luokittelussa Fanon kolminkertaisia indeksin 1 Picard-ryhmän kanssa isomorfisia . [7] Ei-projektiivinen Hironaki- lajike $\mathbb {Z}$ saadaan peräkkäisten pisteiden ja käyrien räjäyttämisellä kolmiulotteisessa projektiosarjassa ja sitä seuraavalla liimauksella.

Populaarikulttuurissa

Räjäytykset ovat joskus matemaattisten vitsien perse , pääasiassa epävirallisen nimensä vuoksi. Englannin perinteessä räjäytystä kutsutaan nimellä eng. blow-up , joka voidaan kääntää myös "räjähdykseksi" (tätä sanaa käytetään matemaattisessa englannissa ja muissa yhteyksissä - esimerkiksi kuvaamaan differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja , jotka menevät äärettömään rajallisessa ajassa). Siten ilmaisu " räjäyttää kahdeksan pistettä lentokoneessa " voidaan kääntää myös "räjäyttää kahdeksan pistettä lentokoneessa" . Tämä moniselitteisyys on matemaattisen yhteisön suositun kaupunkilegendan aiheena, jonka mukaan algebrallisia geometrioita pidetään pystyssä lentokentällä keskustelemassa räjähdyksistä. [8] Venäjänkielisessä matemaattisessa kulttuurissa englanninkielisten sanojen samankaltaisuutta esitetään toisinaan. räjäytys ja eng. blowjob . [9]

Muistiinpanot

↑ Yu. S. Ilyashenko , S. Yu. Yakovenko . Differentiaaliyhtälöiden analyyttinen teoria, ISBN 978-5-4439-0230-2
↑ D. B. Kaledin . Algebrallisen geometrian esittely Luento 8 Arkistoitu 20. syyskuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ A. L. Gorodentsev . Opetusmateriaali kurssilleni Algebra - 2 (NMU, 2014/15 lukuvuosi, 2. vuosi) Arkistoitu kopio 20.9.2021 Wayback Machinessa
↑ A. N. Tyurin. Kokoelma valittuja teoksia: 3 nidettä Osa 3. Algebrallinen geometria topologiassa ja fysiikassa. ISBN 5939725880
↑ Yu. I. Manin. Kuutiomuodot: algebra, geometria, aritmetiikka. ISBN 978-5-458-44779-9
↑ S. Cantat, S. Lamy. Normaalit alaryhmät Cremona-ryhmässä (pitkä versio) Arkistoitu 7. marraskuuta 2017 Wayback Machinessa , Acta Mathematica 210, s. 31-94, 2013
↑ V. A. Iskovskikh. Kaksoisprojektio Fanon linjasta 3-kertainen ensimmäisen tyyppinen arkistoitu 20. syyskuuta 2021 Wayback Machinessa , Mat. la , 1989, osa 180, numero 2, sivut 260-278
↑ Matemaattiset "kaupunkilegendat" , MathOverflow
↑ Kuultu matematiikan ulkopuolella | IUM , epävirallinen NMU - sivu VKontaktessa