Yksinkertainen ryhmä

Yksinkertainen ryhmä on ryhmä , jolla ei ole muita normaaleja alaryhmiä kuin koko ryhmä ja identiteettialaryhmä.

Äärilliset yksinkertaiset ryhmät luokiteltiin täysin vuonna 1982.

Infiniittisten ryhmien teoriassa yksinkertaisten ryhmien merkitys on paljon pienempi, koska ne ovat käsittämättömiä.

Lie-ryhmien ja algebrallisten ryhmien teoriassa yksinkertaisen ryhmän määritelmä eroaa jonkin verran annetusta, katso yksinkertainen Lie-ryhmä .

Esimerkkejä

Rajalliset yksinkertaiset ryhmät

Syklinen ryhmä on yksinkertainen. Todellakin, jos on aliryhmä , niin Lagrangen lauseen järjestyksessä on jaettava järjestys , joka on yhtä suuri kuin 5. Ainoat 5:n jakajat ovat 1 tai 5, eli se on joko triviaali tai sama kuin . Toisaalta ryhmä ei ole yksinkertainen, koska lukuluokista 0, 4 ja 8 muodostuva joukko modulo 12 muodostaa luokkaa 3 olevan ryhmän, joka on normaali Abelin ryhmän alaryhmänä. Myöskään kokonaislukujen ryhmä summausoperaatiolla ei ole yksinkertainen, koska parillisten lukujen joukko on ei-triviaali normaali aliryhmä . Analogisella päättelyllä voidaan varmistaa, että kaikki mahdolliset yksinkertaiset Abelin ryhmät ovat täsmälleen alkujärjestyksen syklisiä ryhmiä . $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Yksinkertaisten ei-abelilaisten ryhmien luokittelu on paljon monimutkaisempaa. Yksinkertainen pienimmän kertaluvun ei-Abelin ryhmä on vuorotteleva luokkaa 60 oleva ryhmä, ja mikä tahansa yksinkertainen luokkaa 60 oleva ryhmä on isomorfinen . Lisäksi kaikki ryhmät , joissa on yksinkertaisia . Seuraava yksinkertainen ei-Abelin ryhmä alkioiden lukumäärän jälkeen on erityinen projektiivinen ryhmä , jonka kertaluokka on 168. Voidaan todistaa, että mikä tahansa yksinkertainen ryhmä luokkaa 168 on isomorfinen . $A_{5}$ $A_{5}$ $A_{n}$ $n\geqslant 5$ $A_{5}$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,7)$

Äärettömät yksinkertaiset ryhmät

Yksinkertainen on kaikkien parillisten permutaatioiden ryhmä, joista jokainen siirtää äärettömän joukon alkioiden rajallista osajoukkoa ; erityisesti, jos joukko on laskettava, se on ääretön vaihtuva ryhmä . Toinen esimerkkiperhe on , jossa kenttä on ääretön ja . $X$ $X$ ${\displaystyle A_{\infty ))$ $PSL_{n}(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $n \geqslant 2$

On äärellisesti generoituja ja jopa äärellisesti esitettyjä äärettömiä yksinkertaisia ryhmiä.

Ominaisuudet

Jokainen ryhmä on upotettava yksinkertaiseen ryhmään.

Yksinkertainen ryhmä

Esimerkkejä

Rajalliset yksinkertaiset ryhmät

Äärettömät yksinkertaiset ryhmät

Ominaisuudet

Katso myös