Projektiivinen kaksinaisuus

Projektiivisen tason tärkeä ominaisuus on pisteiden ja viivojen roolien " symmetria " määritelmissä ja lauseissa, ja kaksinaisuus on tämän käsitteen formalisaatio. Kaksinaisuuden käsitteeseen on olemassa kaksi lähestymistapaa: toinen, käyttämällä " kaksinaisuuden periaatteen " kieltä , sallii sinun julistaa joukon lauseita duaaleiksi toistensa kanssa, kun taas duaali todellisen lauseen kanssa on myös totta; ja toinen, toiminnallinen lähestymistapa , joka perustuu erityiseen kaksinaisuuden kartoitukseen. Lähestymistapojen välinen yhteys on se, että kaksoislause saadaan soveltamalla duaalisuusmappausta alkuperäisen jokaiseen kohteeseen. Myös koordinaattinen lähestymistapa on mahdollinen .

Taso kaksinaisuuden käsite on helposti laajennettavissa kaksinaisuuteen missä tahansa äärellisulotteisessa projektitiivisessa geometriassa.

Kaksinaisuuden periaate

Projektiivisen tason duaalisuusperiaate sanoo , että jos otamme minkä tahansa projektiivisen geometrian perusteella muotoillun tosi lauseen (mikä tahansa projektitiivisen lauseen) ja korvaamme jokaisen termin kaikki esiintymät sen duaalilla, saamme jälleen tosi väitteen. Erityisesti pisteitä ja suoria koskevissa lausumissa riittää korvata sana "piste" sanalla "viiva" ja "viiva" sanalla "piste" (ja myös korvata ympäröivät sanat sopivalla tavalla, esim. "makaa" ja "kuuluu"). Näin saadun väitteen sanotaan olevan kaksoiskappale alkuperäisen väitteen kanssa. Esimerkiksi projektiivisen aksiooman "Kahden pisteen läpi kulkee vain yksi suora" duaalilause on toinen projektiivinen aksiooma "Jokainen kaksi suoraa leikkaa yhdessä pisteessä".

Tämä periaate antaa hyvän syyn käyttää "symmetristä" termiä ilmaantuvuussuhteessa . Joten lauseen "piste sijaitsee suoralla" sijasta voidaan sanoa "piste ja viiva ovat sattuvia", ja lauseen kääntämiseksi duaaliksi riittää sanojen piste ja viiva ("viiva" järjesteleminen uudelleen ja kohta ovat sattumaa").

Tämä käsite voidaan yleistää kolmiulotteisen projektioavaruuden kaksinaisuuteen, jossa käsitteet "piste" ja "taso" vaihtavat rooleja (ja suorat viivat pysyvät suorina). [1] Tämä johtaa avaruuden kaksinaisuusperiaatteeseen . Myös lisäyleistykset ovat mahdollisia (katso alla).

Monimutkaisempien hahmojen kaksinaisuus

Pisteiden ja viivojen konfiguraatio symbolilla on joukko pisteitä ja viivoja siten, että tarkalleen konfiguraatioviivat kulkevat jokaisen pisteen läpi ja täsmälleen konfiguraatiopisteet jokaisella viivalla . Konfiguroinnin kaksoisobjekti symbolin kanssa on konfiguraatio symbolilla . Esimerkiksi täydellisen nelisivuisen objektin kaksoisobjekti on täydellinen nelipuolinen [2] . ${\näyttötyyli (m_{c}, n_{d})}$ $m$ $n$ $c$ $d$ ${\näyttötyyli (m_{c}, n_{d})}$ ${\näyttötyyli (n_{d},m_{c})}$

Kaksinaisuusperiaate sallii yleistyksen mielivaltaisiin projektiivitason käyriin. Kaksoiskäyrän muodostamiseksi rakennetaan viiva, joka on kaksoiskäyrän jokaiseen pisteeseen, ja sitten tarkastellaan niiden verhokäyrää - sellainen käyrä, että kaikki saadut suorat ovat sen tangentteja. Erityisesti projektiivisen tason toisen asteen käyrillä käy ilmi, että kaksoiskäyrä on myös toisen kertaluvun käyrä.

Yleisemmin, projektitiivisen avaruuden neliöille pätee seuraava väite: tangenttien hypertasojen joukko ei-degeneroituneeseen neliön projektitiivisessa avaruudessa muodostaa ei-degeneroituneen neliön avaruudessa (tähti, kuten tavallista, tarkoittaa kaksoisavaruutta ) [ 3] . Kaksinaisuus voidaan myös laajentaa mielivaltaisiin projektiivisiin algebrallisiin muunnelmiin. $P(L)$ $P(L^{*})$

Kaksoislauseet

Todelliselle projektiivitasolle on olemassa useita tunnettuja väitteitä, jotka ovat kaksijakoisia keskenään. Heidän keskuudessaan: ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

Desarguesin lause ⇔ Käänteinen Desarguesin lause
Pascalin lause ⇔ Brianchonin lause
Menelaoksen lause ⇔ Cevan lause

Kaksoispolyhedra

Stereometriassa on olemassa monitahojen kaksinaisuus , kun pisteet ovat kaksoispintojen kanssa ja reunat ovat kaksoisreunoja, joten esimerkiksi ikosaedri on duaali dodekaedrin kanssa ja kuutio on duaali oktaedrin kanssa . Yksi tapa rakentaa tämä kaksinaisuus on käyttää projektiivista kaksinaisuutta.

Formalisointi

Jos projektiivinen taso määritellään aksiomaattisesti tulorakenteeksi pisteiden joukon , suorien joukon ja binäärisen tulosuhteen suhteen , joka määrittää, mitkä pisteet sijaitsevat milläkin viivoilla, voidaan määritellä kaksitasorakenne . $P$ $L$ $minä$

Jos vaihdamme "pisteiden" ja "suorien" rooleja esiintymisrakenteessa

C=(P,L,I),

saamme kaksoisrakenteen

C^{\ast }=(L,P,I^{\ast }),

missä on : n käänteinen suhde . on myös projektiivinen taso , jota kutsutaan kaksitasoiseksi . ${\displaystyle I^{\ast ))$ $minä$ $C^{\ast }$ $C$

Jos ja ovat isomorfisia, sitä kutsutaan itsedualiksi . Minkä tahansa kentän (tai yleisemmin minkä tahansa itsensä kanssa isomorfisen kappaleen ) projektiivat tasot ovat itseduaaleja. Erityisesti äärellisen järjestyksen Desarguesin tasot ovat aina itseduaalisia. Ei-desarguesilaisten tasojen joukossa on kuitenkin sekä itseduaaleja (esimerkiksi Hughes-tasot ) että ei-itse-duaaleja (esimerkiksi Hall-tasot). $C$ $C^{\ast }$ $C$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (2,K)}$ $K$

Kaksinaisuus kartoitusna

Kaksinaisuus (tason) on kuvaus projektiivista tasosta sen duaaliin , joka säilyttää tuloominaisuuden. Näin ollen kaksinaisuus kartoittaa pisteet viivoille ja viivat pisteisiin ( ja ) siten, että jos piste sijaitsee suoralla (merkitty merkillä ), niin . $C=(P,L,I)$ $C^{\ast }=(L,P,I^{\ast })$ $\sigma$ $P^{\sigma }=L$ $L^{\sigma }=P$ $K$ $m$ $Qim$ $m^{\sigma }I^{\ast }Q^{\sigma }\Leftrightarrow QIm$

Tällä tavalla määritelty kaksinaisuus ei välttämättä ole bijektio. Projektiivisten tasojen kaksinaisuutta, joka on isomorfismi, kutsutaan korrelaatioksi . [4] [5] Joskus ne rajoittuvat vain automorfismiin, eli kartoitukseen projektiivitasolta itseensä, jolloin korrelaation olemassaolo tarkoittaa projektitiivisen tason itsekaksuaalisuutta.

Suhde kollineation kanssa

Voit tarkastella korrelaation käsitettä kollineaation käsitteen analogina. Kollineaatio on projektitiivisten tasojen välinen kartoitus, joka kartoittaa pisteet pisteisiin ja viivat viivoiksi eli säilyttää tulon. [6]

Kollineaatioiden tärkeä ominaisuus on, että ne säilyttävät kaksoissuhteen [7] . Myös korrelaatiot täyttävät tämän vaatimuksen ja muuttavat pisteiden kaksoissuhteen viivojen kaksoissuhteeksi. Siten, kun käännetään rivillä olevien pisteiden joukko pisteen läpi kulkevien viivojen lyijykynällä, jokainen harmoninen pisteneliö muunnetaan harmoniseksi viivojen neliöksi.

Ottaen huomioon mielivaltaisen korrelaation koostumuksen itsensä kanssa, saamme automaattisesti jonkin verran kollinaatiota . Jos se osoittautuu identiteettikartoitukseksi, eli jos korrelaatio itsessään on involuutio , niin sitä kutsutaan polariteetiksi tai polaariseksi vastaavuudeksi . Joskus tätä nimeä käytetään vain tietyntyyppisessä kirjeenvaihdossa, katso #napaiset ja napaiset . $\varphi$ $\varphi ^{2}$

Samat ominaisuudet omaavia kartoituksia voidaan ottaa käyttöön myös suurempien ulottuvuuksien tiloihin, kaikki argumentit toistetaan sanatarkasti.

Korrelaatioiden luokittelu

Koska kahden korrelaation koostumus on kollineaatio, tämä mahdollistaa kollinaatioiden luokittelun, jonka jälkeen kaikkien korrelaatioiden joukko kuvataan kiinteän korrelaation koostumukseksi kaikkien kollineaatioiden kanssa.

Kollineation käsite liittyy läheisesti projektiivisen muunnoksen käsitteeseen . Muodollisesti projektiivinen muunnos on kollineaatio, joka tulee lineaarisesta operaattorista . Osoittautuu, että todellisessa tapauksessa tai varten nämä käsitteet ovat yksinkertaisesti samat. Muodon projektiiviselle tasolle , jossa on kappale, projektitiivisen geometrian peruslauseen mukaan mikä tahansa kollineaatio on automorfismin ja projektiivisen muunnoksen koostumus . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n>2$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (2,K)}$ $K$ $K$

Tätä voidaan käyttää osoittamaan, että korrelaatio on annettu mielivaltaisella seskvilineaarisella muodolla kentässä , joka liittyy mielivaltaiseen antiautomorfismiin . Tässä tapauksessa jokainen aliavaruus kartoitetaan siihen nähden kohtisuoraan annetun muodon suhteen. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (2,K)}$ $K^{3}$ $K$

Kaksinaisuus homogeenisissa koordinaateissa

Projektiivitason kaksinaisuus on projektitiivisten avaruuksien , muunnosten (jotka on myös merkitty tunnuksella ) kaksinaisuuden erikoistapaus , jossa on kenttä, joka vaihtaa mittaobjekteja dimensioobjektien kanssa (= koodiulottuvuus ). Siten projektitiivisessa avaruudessa pisteen mitat (ulottuvuus 0) vastaavat hypertasoja (kodimension 1), kahden pisteen kautta kulkevat suorat (ulottuvuus 1) vastaavat kahden hypertason leikkauskohtaa (kodimension 2) ja niin edelleen. . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (n,K)}$ $K\mathbb {P} ^{n}$ $K$ $r$ $n-1-r$ $r+1$ $n$

Pisteitä voidaan pitää nollasta poikkeavina vektoreina yli ( )-ulotteisessa vektoriavaruudessa , jossa tunnistetaan vektoreita, jotka eroavat kertomalla skalaarilla. Nollasta poikkeava vektori määrittelee myös -ulotteisen aliavaruuden (hypertason) , joka on ortogonaalinen siihen nähden : ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (n,K)}$ $n+1$ $K$ $\mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n})$ $K^{n+1}$ $(n-1)$ ${\displaystyle H_{u))$

H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n} =0\}.

Hypertason määrittämiseen käytetty vektori merkitään merkillä , ja vektorin loppua vastaavan pisteen merkitsemiseksi käytämme merkintää . Mitä tulee tavalliseen pistetuotteeseen , . Koska on kenttä, pistetulo on symmetrinen, mikä tarkoittaa . Voit määrittää pisteiden ja hypertasojen välisen korrelaation. Tämä vastaavuus voidaan laajentaa suoriksi, jotka muodostuvat kahdesta pisteestä ja kahden hypertason leikkauspisteestä ja niin edelleen. $\mathbf {u}$ $\mathbf {u} _{H}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{P))$ ${\displaystyle H_{u}=\{\mathbf {x} _{P}:\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=0\))$ $K$ $\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_ {n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x} _{H}\cdot \mathbf {u} _{P}$ ${\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}$

Projektiivisella tasolla kentän kanssa meillä on vastaavuus: homogeeniset koordinaatit ovat yhtälöiden antamia suoria viivoja . Projektiivisessa avaruudessa vastaavuus näyttää pisteiltä tason homogeenisissa koordinaateissa ↔, jotka on annettu yhtälöillä . Tämä vastaavuus kartoittaa myös kahden pisteen antaman linjan ja linjan, joka on yhtälöiden ja antamien tasojen leikkauspiste . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (2,K)}$ $K$ ${\näyttötyyli (a,b,c)\vasen oikea nuoli }$ $ax+by+cz=0$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (3,K)}$ ${\näyttötyyli (a,b,c,d)}$ $ax+by+cz+dw=0$ ${\näyttötyyli (a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}$ ${\näyttötyyli (a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}$ $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0$

Skalaaritulo in voidaan korvata mielivaltaisella ei-degeneroituneella bilineaarisella muodolla, mikä muodostaa muita korrelaatioita. $K^{n+1}$

Keskinäisen muunnoksen geometrinen rakenne

Vastaavuus in homogeenisissa koordinaateissa voidaan kuvata geometrisesti. Tätä varten käytetään todellisen projektiivitason mallia "yksikköpallo antipodeilla [8] " tai vastaavasti avaruuden origon kautta kulkevien viivojen ja tasojen mallia . Verrataan koordinaattien origon kautta kulkevaa suoraa ainoaan siihen kohtisuoraan tasoon, joka sisältää koordinaattien origon. Jos tässä mallissa viivoja pidetään pisteinä ja tasoja projektiivitason viivoina , tästä vertailusta tulee projektitiivisen tason vastaavuus (itse asiassa polaarinen kartoitus). Pallomainen malli voidaan saada origon läpi kulkevien viivojen ja tasojen leikkauspisteenä, jolloin origon keskipisteenä on yksikköpallo. Linjat leikkaavat pallon kahdessa vastakkaisessa pisteessä, jotka tunnistetaan pisteen saamiseksi projektiivitasossa, kun taas tasot leikkaavat pallon suurissa ympyröissä , jotka ovat projektitiivisen tason viivoja. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (2,R)}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {PG} (2,R)}$

Se, että tällainen rinnakkaisuus "säilyttää" esiintymisen, on helppo osoittaa viivojen ja tasojen mallissa. Projektiivitasossa olevaan viivaan kohdistuva piste vastaa mallin tasossa olevaa suoraa. Kaksinaisuudessa tasosta tulee suora viiva, joka kulkee origon kautta ja on kohtisuorassa tasoon nähden. Tämä kuva (viiva) on kohtisuorassa mihin tahansa alkuperäisellä tasolla olevaan viivaan ja erityisesti alkuperäiseen viivaan (projektiivitason pisteeseen) nähden. Kaikki alkuperäiseen viivaan nähden kohtisuorassa olevat suorat muodostavat tason, joka on alkuperäisen viivan kuva. Siten viivan kuva on tason kuvassa niin, että ilmaantuvuus säilyy.

Napat ja napat

Euklidiselle tasolle kiinnitetään ympyrä , jonka keskipiste ja säde . Jokaiselle pisteelle , joka on eri kuin , määritämme kuvan säteellä säännön mukaisesti . Näin määriteltyä kuvausta kutsutaan ympyrän inversioksi . Sen läpi kulkevaa ja kohtisuoraa suoraa kutsutaan pisteen napaksi ympyrän suhteen . $C$ $O$ $r$ $P$ $O$ $P'=Q$ $OP$ $OP\cdot OQ=r^{2}$ $P\mapsto Q$ $C$ $q$ $P$ $OP$ $K$ $C$

Antaa olla linja, joka ei kulje läpi . Pudotetaan kohtisuora pisteestä viivalle . Antaa olla kuva pisteen alle inversion suhteen . Sitten he sanovat, että se on linjan napa . Jos piste sijaitsee linjalla (ei kulje ), niin linjan napa on pisteen napapuolella ja päinvastoin. Näin ollen kartoitus, joka vie pisteitä ja viivoja niiden napoihin ja napoihin suhteessa , säilyttää esiintymisen ja on projektiivinen muunnos . [9] $q$ $O$ $OP$ $O$ $q$ $K$ $P$ $C$ $K$ $q$ $M$ $q$ $O$ $K$ $q$ $m$ $M$ $C$

Jotta tästä prosessista voidaan tehdä yksi-yhteen-muunnos ja muuttaa se korrelaatioksi , euklidinen taso on laajennettava projektitiiviselle tasolle lisäämällä viiva äärettömyyteen ja äärettömyyteen en] olevat pisteet, jotka sijaitsevat tällä viivalla pisteessä ääretön. Tällä laajennetulla tasolla määritetään pisteen napa suoraksi äärettömyydessä (ja piste on suoran napa äärettömyydessä) ja läpi kulkevien viivojen navat äärettömyyden pisteiksi, missä, jos suoralla on kaltevuus , sen napa on äärettömyyden piste , joka vastaa luokan yhdensuuntaisia suoria , joissa on kaltevuus . Akselin napa on piste pystysuorien viivojen äärettömyydessä, ja akselin napa on piste vaakasuorien viivojen äärettömyydessä. $O$ $O$ $O$ $s(\neq 0)$ $-1/s$ $x$ $y$

Yllä annettu napamuunnos inversiolle ympyrän ympäri voidaan yleistää käyttämällä inversiota kartioleikkauksista (laajennetulla reaalitasolla). Tällä tavalla muodostettu keskinäinen muunnos on kertaluvun 2 projektiivinen korrelaatio, eli polaarinen muunnos.

Pallon kartoitus tasoon

Projektiivinen tasomalli, jossa on yksikköpallo, on isomorfinen (ottaen huomioon ilmaantuvuusominaisuuden) tasomaiselle mallille, jossa tasoa jatketaan projektitiivisella linjalla äärettömässä. Tässä mallissa pallon vastakkaiset pisteet (suhteessa keskustaan) katsotaan yhdeksi pisteeksi.

Yhdistääksemme pallon pisteet tason pisteisiin oletetaan, että pallo koskettaa tasoa jossain pisteessä, ja valitsemme tämän pisteen tason origoksi. Piirretään nyt viiva pallon pisteen ja pallon keskipisteen läpi. Tämä viiva leikkaa pallon jossain vaiheessa. Tuloksena olevaa pistettä voidaan käyttää yksi-yhteen-kuvauksen muodostamiseen

f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow {\mathbb {R}}P^{2}.

Jos pisteet on annettu homogeenisina koordinaatteina , Sitten ${\mathbb {R}}P^{2}$

f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],

f^{{-1}}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \ yli z}\oikea)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\oikea).

Tasomallin viivat ovat pallon suurien ympyröiden projektioita, koska tasossa olevan suoran ja 3-ulotteisten koordinaattien origon kautta voidaan piirtää taso, ja tämä taso leikkaa pallon suurympyrää pitkin.

Kuten voidaan nähdä, mikä tahansa pallolla oleva suurympyrä voidaan liittää projektiopisteeseen, joka vastaa yhtä suoraa, joka on kohtisuorassa sitä tasoa vastaan, jolla ympyrä sijaitsee ja joka voidaan määritellä kaksoispisteeksi. Tämä viiva leikkaa tangenttitason, ja tämä osoittaa, kuinka yksi tason piste liitetään mihin tahansa tämän tason suoraan siten, että piste on kaksoisviivan kanssa.

Muistiinpanot

↑ J.V. Jung. Projektiivinen geometria. - Moskova: osavaltio. toim. Ulkomainen kirjallisuus, 1949. - S. 30.
↑ Coxeter, 2003 , s. 26
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. 11, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Pevsner, 1980 , s. 68-69 § 13 Kolinaatiot
↑ Dembowski, 1968, s. 151.
↑ Pisteitä, jotka sijaitsevat samalla suoralla, kutsutaan kollineaarisiksi, eli ne sijaitsevat samalla suoralla. Kollineaarinen muunnos säilyttää kollineuden ominaisuuden. Katso Volberg, 1949
↑ Pevzner, 1980 , s. 45-46, Pisteiden ja suorien kaksoissuhde tasossa
↑ Pallon vastakkaisia pisteitä (halkaisijan päitä) kutsutaan antipodeiksi .
↑ Coxeter ja Greitzer, 1978 s . 165

Kirjallisuus

A. Adrian Albert, Reuben Sandler. Johdatus äärellisiin projektiivitasoihin. - New York: Holt, Rinehart ja Winston, 1968.
F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berliini.
R. Baer. Lineaarinen algebra ja projektiiivinen geometria. - Moskova: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantaja, 1955.
MK Bennett. Affine ja projektiiivinen geometria . - New York: Wiley, 1995. - ISBN 0-471-11315-8 .
Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projektiivinen geometria: perustuksista sovelluksiin. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - ISBN 0-521-48277-1 .
Ray Casse. Projektiivinen geometria: Johdanto. - New York: Oxford University Press, 2006. - ISBN 0-19-929886-6 .
Judith N. Cederberg. Modernin geometrian kurssi. - New York: Springer-Verlag, 2001. - ISBN 0-387-98972-2 .
G.S.M. Coxeter. Todellinen projektiivinen taso. - Moskova: Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo, 1959.
Coxeter, HSM Projective Geometry. – 2. painos - Springer Verlag, 2003. - ISBN 978-0-387-40623-7 .
G.S.M. Coxeter. Johdatus geometriaan. - Moskova: "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1968.
G.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. - Moskova: "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1978. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
Dembowski Peter. Äärilliset geometriat. Berliini: Springer Verlag, 1968.
Lynn E Garner. Projektiivisen geometrian ääriviivat. - New York: North Holland, 1981. - ISBN 0-444-00423-8 .
Greenberg, MJ Euklidiset ja ei-euklidiset geometriat. – 4. painos - Freeman, 2007.
R. Hartshorne. Projektiivisen geometrian perusteet. - Moskova: "Mir", 1970. - ("Modernin matematiikan" suosittu sarja).
Hartshorne Robin. Geometria: Euclid and Beyond. - Springer, 2000.
D. Gilbert, S. Cohn-Vossen. visuaalinen geometria. - Moskova, Leningrad: Yleisen teknisen kirjallisuuden ja nomografian pääpainos, 1936.
Dr Hughes, FC Piper. projektiiviset tasot. - Springer, 1973.
F. Karteszi. Johdatus äärellisiin geometrioihin. - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
RJ Mihalek. Projektiivinen geometria ja algebralliset rakenteet . - New York: Academic Press, 1972. - ISBN 0-12-495550-9 .
S. Ramanan. Projektiivinen geometria // Resonanssi. - Springer India, elokuu 1997. - Vol. 2 , no. 8 . — S. 87–94 . — ISSN 0971-8044 . - doi : 10.1007/BF02835009 .
Pierre Samuel. Projektiivinen geometria . - New York: Springer-Verlag, 1988. - ISBN 0-387-96752-4 .
Frederick W. Stevenson. projektiiviset tasot. - San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
Oswald Veblen, JWA Young. projektiivinen geometria. - Boston: Ginn & Co., 1938. - ISBN 978-1-4181-8285-4 .
O.A. Volberg. Projektiivisen geometrian perusideoita. - Moskova, Leningrad: Uchpedgiz, 1949.
S.L. Pevzner. Projektiivinen geometria. - Moskova: "Enlightenment", 1980. - S. 68-69 § 13 Collineations.
HELVETTI. Aleksandrov , N. Yu. Netsvetaev. Geometria. - Moskova: Nauka, 1990.
I.R. Shafarevich , A.O. Remizov. Lineaarinen algebra ja geometria. - Moskova: Fizmatlit, 2009.

Linkit

Weisstein, Eric W. Duality Principle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .