Ei-desarguesinen kone

Ei- desarguesinen taso  on projektiivinen taso , joka ei täytä Desarguesin lausetta , toisin sanoen ei ole Desarguesin lause . Desarguesin lause pätee kaikissa projektiivisissä avaruudessa, joiden ulottuvuus on muu kuin 2 [1] , eli kaikille klassisille projektiivisille geometrioille kentän (tai jakorenkaan ) yli , mutta Hilbert havaitsi, että jotkut projektiiviset tasot eivät täyttäneet lausetta.

Esimerkkejä

Jotkut esimerkit ovat äärelliset geometriat . Äärilliselle projektitiiviselle tasolle järjestys on yksi pienempi kuin viivan pisteiden määrä (tämä on vakio kaikille viivoille). Joitakin esimerkkejä ei-desarguesilaisista lentokoneista:

• Moltonin lentokone .
• Mikä tahansa projektiivinen taso, jonka kertaluku on enintään 8, on Desarguesin taso, mutta on olemassa kolme ei-desarguesista tasoa, jotka ovat luokkaa 9, joissa kussakin on 91 pistettä ja 91 suoraa [2]
• Hughes planes .
• Moufangian tasot vaihtoehtoisten jakorenkaiden päällä, jotka eivät ole assosiatiivisia, kuten projektiivinen taso oktonioiden päällä .
• Hall lentokoneet .
• Lentokoneet André .

Luokitus

Weibelin [3] mukaan H. Lenz antoi projektiivisten tasojen luokitusjärjestelmän vuonna 1954 [4] ja A. Barlotti kehitti sitä edelleen vuonna 1957 [5] . Tämä luokitusjärjestelmä perustuu tason kollineaatioryhmän sallimiin pisteviivatransitiivisuustyyppeihin , ja se tunnetaan Lenz - Barlottin projektiivitason luokituksena . Dembowskin kirjassa [6] on luettelo 53 tyypistä . Taulukko tunnetuista olemassaolotuloksista (kollineaatioryhmille ja tasoille, joilla on sellaisia ​​kollinaatioryhmiä) sekä äärellisille että äärettömille tapauksille on kirjan sivulla 126. Weibelin mukaan "36 niistä on olemassa äärellisinä ryhminä . 7 - 12 ovat äärellisinä projektitiivisina tasoina ja 14 tai 15 ovat äärettömiä projektiivitasoja."

On muitakin luokitusjärjestelmiä. Yksi yksinkertaisimmista kaavioista perustuu litteän kolmirenkaan tyyppiin , jota voidaan käyttää koordinaattien esittämiseen projektiivitasolle. Nämä tyypit ovat kentät , vinokentät , vaihtoehtoiset vinokentät , puolikentät [en] , lähikentät [en] , oikeat lähikentät [ , kvasikentät en ja oikeat kvasikentät [ [7] .

Kartioprofiilit

Desarguesin projektiivitasossa kartioleikkaus voidaan määritellä useilla vastaavilla tavoilla. Ei-desarguesisissa tasoissa ekvivalenssitodistukset osoittautuvat vääriksi ja erilaiset määritelmät voivat antaa ei-ekvivalentteja objekteja [8] . Ostrom T. G. ehdotti nimeä concoid näille kuvioille, jotka muistuttavat kartioleikkauksia, mutta ei antanut muodollista määritelmää, eikä termiä ilmeisesti käytetty laajalti [9] .

On olemassa useita tapoja määritellä kartioleikkaukset Desarguesin tasoilla:

1. Napaisuuden absoluuttisten pisteiden [10] joukko tunnetaan von Staudtin kartioleikkauksena . Jos taso määritellään ominaisuuden kaksi kentän yli , saadaan vain degeneroituneita kartioleikkauksia .
2. Kahden projektitiivisesti mutta ei perspektiivisesti toisiinsa kytketyn lyijykynän vastaavien viivojen leikkauspisteiden joukko tunnetaan nimellä Steinerin kartio . Jos palkit on kytketty perspektiivisesti, poikkileikkaus on rappeutunut.
3. Pisteiden joukko, joiden koordinaatit täyttävät toisen asteen pelkistymättömän homogeenisen yhtälön.

Lisäksi äärellisellä Desarguesin tasolla:

4. Joukkoa q + 1 pisteitä, joista yksikään kolme ei ole kollineaarinen PG(2, q ), kutsutaan soikeaksi . Jos q on pariton, soikea on kartiomainen edellä olevan kohdan 3 merkityksessä.
5. Ostromin kartiolohko perustuu harmonisten joukkojen yleistyksiin.

Artzi antoi esimerkin Steinerin kartioleikkauksista Moufang-tasolla, jotka eivät ole von Staudtin leikkeitä [11] . Garner antoi esimerkin von Staudtin kartioleikkauksesta, joka ei ole Ostromin kartioleikkaus puolikentän äärellisellä tasolla [8] .

Muistiinpanot

1. ↑ Desarguesin lause on triviaalisti mutta merkityksettömästi totta dimensiossa 1. Ongelma syntyy vain dimensiossa 2.
2. ↑ Katso Room ja Kirkpatrick ( 1971 ) kaikkien neljän tason 9 kuvauksen saamiseksi.
3. ↑ Weibel, 2007 , s. 1296.
4. ↑ Lenz, 1954 , s. 20–31.
5. ↑ Barlotti, 1957 , s. 212–226.
6. ↑ Dembowski, 1968 , s. 124-5.
7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , s. 723, Leo Stormin artikkeli äärellisestä geometriasta.
8. ↑ 12 Garner , 1979 , s. 132-138.
9. ↑ Ostrom, 1981 , s. 175-196.
10. ↑ Avaruudessa, jossa on polariteetti (pisteiden kartoittaminen kakkosjärjestyksen viivoille siten, että ilmaantuvuus säilyy), piste on absoluuttinen, jos se sijaitsee sen kuvassa, ja viiva on absoluuttinen, jos se kulkee kuvan (pisteen) läpi.
11. ↑ Artzy, 1971 , s. 30–35.

Kirjallisuus

• Albert AA, Sandler R. Johdatus äärellisiin projektiivitasoihin. - New York: Holt, Rinehart ja Winston, 1968.
• Colbourn CJ, Dinitz JH Handbook of Combinatorial Designs. – 2. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
• Dembowski P. Finite Geometries. Berliini: Springer Verlag, 1968.
• Hall M. Projektiiviset tasot. — American Mathematical Societyn liiketoimet . - American Mathematical Society, 1943. - V. 54. - S. 229-277. - doi : 10.2307/1990331 .
• Hughes DR, Piper FC Projective Planes. - New York: Springer Verlag, 1973. - ISBN 0-387-90044-6 .
• Karteszi F. Johdatus äärellisiin geometrioihin. - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
• Luneburg H. Käännöskoneet. - Berliini: Springer Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09614-0 .
• Huone TG, Kirkpatrick PB Miniquaternion Geometry. - Cambridge: Cambridge University Press, 1971. - ISBN 0-521-07926-8 .
• Sidorov LA Non-Desarguesian_geometry // Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel M.. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Stevenson FW Projective Planes. - San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
• Weibel C. Survey of Non-Desarguesian Planes  // Notices of the AMS. - 2007. - T. 54 , no. 10 . - S. 1294-1303 .
• Lenz H. Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1954. - T. 57 .
• Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo // Boll. Un. Matto. Ital.. - 1957. - T. 12 .
• Garner CWL Conics in Finite Projective Planes // Journal of Geometry. - 1979. - T. 12 , no. 2 . - doi : 10.1007/bf01918221 .
• Artzy R. Kartio y=x 2 Moufang-tasoissa // Aequationes Mathematicae. - 1971. - T. 6 . - doi : 10.1007/bf01833234 .
• Ostrom TG Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planees // Geometria - von Staudtin näkökulma / Plaumann P., Strambach K.. - D. Reidel, 1981. - ISBN 90-277-1283-2 .