Lopullinen geometria

Äärillinen geometria on geometrinen järjestelmä, jossa on äärellinen määrä pisteitä . Esimerkiksi euklidinen geometria ei ole äärellinen, koska euklidinen viiva sisältää rajattoman määrän pisteitä, tai pikemminkin se sisältää täsmälleen niin monta pisteitä kuin on reaalilukuja . Äärillisellä geometrialla voi olla mikä tahansa äärellinen määrä ulottuvuuksia .

Lineaarisella algebralla voidaan kuvata äärelliset geometriat vektoriavaruuksina ja vastaavina rakenteina äärellisen kentän päällä , joita kutsutaan Galois-geometrioiksi , tai ne voidaan kuvata täysin kombinatorisesti . Monet, mutta eivät kaikki, äärelliset geometriat ovat Galoisia – esimerkiksi mikä tahansa projektiiivinen avaruus, jonka ulottuvuus on kolme tai enemmän, on isomorfinen äärellisen kentän yli olevan projektiivisen avaruuden kanssa (vektoriavaruuden projisointi äärellisen kentän yli), jolloin ei ole olemassa ero, mutta on olemassa kahden projektiivisen tason ulottuvuus, jotka eivät ole isomorfisia äärellisten kenttien ylittävien projektioavaruuksien kanssa. Ne ovat ei-desarguesilaisia lentokoneita . Näin ollen ulottuvuuksissa on kaksi eroa.

Päätetasot

Seuraavat huomautukset koskevat vain päätytasoja.

Tasossa on kahdenlaista geometriaa: affiini ja projektiivinen . Affiininen geometria käyttää tavallista yhdensuuntaisten viivojen käsitettä. Projektiivisessa geometriassa päinvastoin mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat ainoassa mahdollisessa pisteessä, ja siksi rinnakkaisia suoria ei ole. Sekä äärellinen affiinigeometria tasolla että äärellinen projektiivinen geometria tasossa voidaan kuvata melko yksinkertaisilla aksioomeilla . Tasossa oleva affiinigeometria on ei-tyhjä joukko (jonka elementtejä kutsutaan "pisteiksi"), jossa on ei-tyhjä joukko osajoukkoja (jonka elementtejä kutsutaan "viivaksi") siten, että: $X$ $L$ $X$

Kahdessa erillisessä pisteessä on vain yksi viiva, joka sisältää molemmat pisteet.
Eukleideen aksiooma rinnakkaisuuden : Jotta linja ja kohta ei , On yksi ja vain yksi rivi sisältää Sellainen, että . $\ell$ $s$ $\ell$ $\no$ $s$ $\ell \cap \ell '=\varnothing$
On olemassa neljä pistettä, joista kolme ei ole samalla viivalla.

Viimeinen aksiooma varmistaa, että geometria ei ole tyhjä, kun taas kaksi ensimmäistä kuvaavat sen luonnetta.

Yksinkertaisin affiinitaso sisältää vain 4 pistettä, ja sitä kutsutaan toisen asteen affiinitasoksi . Jokainen pistepari määrittelee yksilöllisen suoran, joten osoitettu taso sisältää 6 viivaa. Tämä on analoginen tetraedrin kanssa, jossa ei-leikkaavat reunat katsotaan "rinnakkaisiksi", tai neliö, jossa ei vain vastakkaisia puolia pidetä yhdensuuntaisina, vaan myös lävistäjät katsotaan yhdensuuntaisiksi.

Yleisemmin äärellisessä affiinissa järjestystasossa on pisteitä ja viivoja; jokainen viiva sisältää pisteitä ja jokainen piste kuuluu suoralle. $n$ $n^{2}$ $n^{2}+n$ $n$ $n+1$

Projektiivinen geometria tasossa on ei-tyhjä joukko (jonka elementtejä kutsutaan "pisteiksi") yhdessä ei-tyhjien osajoukkojen joukon (jonka elementtejä kutsutaan "viivoiksi") kanssa siten, että: $X$ $L$ $X$

Jokaiselle kahdelle eri pisteelle on vain yksi rivi, joka sisältää nämä pisteet.
Kahden erillisen suoran leikkauspiste sisältää täsmälleen yhden pisteen.
Siinä on neljä pistettä, joista kolme ei kuulu samalle riville.

Ensimmäiset kaksi aksioomaa ovat lähes identtisiä, paitsi että pisteiden ja suorien roolit ovat muuttuneet: tämä johtaa projektiivisen geometrian kaksinaisuuden periaatteeseen tasossa, eli voimme olettaa, että oikea väite pätee, jos korvaamme pisteet viivoja ja viivoja pisteillä.

Koska kolmas aksiooma edellyttää vähintään neljän pisteen olemassaoloa, tason tulee sisältää vähintään 7 pistettä, jotta se täyttää kahden ensimmäisen aksiooman ehdot. Tässä yksinkertaisimmassa projektiivitasossa on myös 7 viivaa; jokainen piste kuuluu kolmeen viivaan, ja jokainen viiva sisältää kolme pistettä. Tällaista projektiivista tasoa kutsutaan usein " Fano-tasoksi ". Jos jokin suorista poistetaan tasosta yhdessä siihen kuuluvien pisteiden kanssa, niin tuloksena saadaan toisen kertaluvun affiinitaso. Tästä syystä Fano-tasoa kutsutaan toisen asteen projektiivitasoksi.

Yleisessä tapauksessa järjestystasossa on pisteitä ja sama määrä viivoja (edellä mainitun kaksinaisuuden periaatteen mukaisesti). Jokainen viiva sisältää pisteitä, ja jokainen piste kuuluu suoralle. $n$ $n^{2}+n+1$ $n+1$ $n+1$

Fano-tason seitsemän pisteen permutaatiota, joka siirtää kollineaariset (samalla suoralla sijaitsevat) pisteet kollineaarisiin pisteisiin, kutsutaan tason " symmetriaksi ". Täysisymmetriaryhmällä on luokkaa 168 ja se on isomorfinen ryhmän PSL (2,7) = PSL(3,2) ja yleisen lineaarisen ryhmän GL(3,2) kanssa.

Lentokoneiden tilaukset

Äärillinen järjestystaso on sellainen taso, jonka jokaisella suoralla on piste (affiiniselle tasolle) tai jonka jokaisella suoralla on piste (projektiivitasoa varten). Äärillisen geometrian osalta seuraava tärkeä kysymys jää avoimeksi: $n$ $n$ $n+1$

Onko äärellisen tason järjestys aina alkuluvun potenssi ?

Vastauksen tähän kysymykseen oletetaan hypoteettisesti olevan kyllä, mutta tätä ei ole todistettu.

Affiiniset ja projektitiiviset tasot ovat olemassa aina, kun on alkuluvun potenssi ja ne tulevat äärellisestä kentästä, jossa on elementtejä. On olemassa myös tasoja, jotka eivät ole peräisin äärellisistä kentistä. Pienimmän tällaisen koneen järjestys on 9 [1] . $n$ $n$ $q=p^{k}$

Kaikki tunnetut esimerkit ovat alkuluvun potenssin suuruusluokkaa; hypoteesi, että tämä on totta, vahvistuu useissa erikoistapauksissa. Paras tulos tähän suuntaan on Bruck-Reiser-lause [2] , jossa sanotaan: jos on positiivinen kokonaisluku, jonka muoto on tai ja joka ei ole yhtä suuri kuin kahden neliön summa, niin se ei ole äärellinen taso. $n$ $4k+1$ $4k+2$ $n$ $n$

Fermat-Euler-lauseen perusteella alkuluvun potenssi ei voi täyttää Bruck-Reiser-lauseen vaatimuksia. Pienin kokonaisluku, joka ei ole alkuluvun potenssi ja joka ei täytä Brooke-Reiser-lauseen vaatimuksia, on 10. Numeron 10 muoto on , mutta se on yhtä suuri kuin neliöiden summa . Vuonna 1989 tietokone todisti äärellisen tason 10:n olemassaolon. $4k+2$ $1^{2}+3^{2}$

Seuraavaksi pienin luku, joka ei välttämättä ole äärellisen tason kertalukua, on 12, jonka oletuksia ei ole vielä todistettu, mutta ei myöskään kumottu.

Muistiinpanot

↑ Diskreetti matematiikka latinalaisten neliöiden avulla . - John Wiley & Sons, 17.9.1998. - S. 146. - 336 s. Arkistoitu 27. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), Tiettyjen äärellisten projektitiivisten tasojen olemattomuus , Canadian Journal of Mathematics, osa 1: 88–93 , DOI 10.4153/cjm-1949-009-2

Kirjallisuus

Margaret Lynn Batten: Äärillisten geometrioiden kombinatoriikka. Cambridge University Press
Dembowski: Finite Geometries.
Lam, CWH (1991), The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 , American Mathematical Monthly vol. 98 (4): 305-318 , < http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam / >
Cartesi F. Johdatus äärellisiin geometrioihin

Linkit

Weisstein, Eric W. äärellinen geometria (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Michael Greenbergin essee rajallisesta geometriasta (downlink 18.5.2013 alkaen [3438 päivää] - historia )
Rajallinen geometria (skripti)
Rajallisen geometrian resurssit
JWP Hirschfeld , äärellisten geometrioiden tutkija
- Hirschfeldin kirjoja äärellisestä geometriasta
AMS-sarake: äärelliset geometriat?
Galois Geometry and Generalized Polygons (linkki poissa käytöstä 18-05-2013 alkaen [3438 päivää] - historia ) , intensiivikurssi vuonna 1998
Carnahan, Scott (2007-10-27), Pienet äärelliset joukot , < http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/27/small-finite-sets/ >