Fanon lentokone

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.5.2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Fano-taso on kertaluokkaa 2 oleva äärellinen projektiotaso , jossa on pienin mahdollinen määrä pisteitä ja viivoja (7 pistettä ja 7 viivaa), jokaisella viivalla on kolme pistettä ja kunkin pisteen läpi kulkee kolme suoraa. Nimetty italialaisen matemaatikon Gino Fanon mukaan .

Homogeeniset koordinaatit

Fanon taso voidaan rakentaa käyttämällä lineaarialgebraa projektitiivisena tasona kahden elementin äärellisen kentän yli . Projektiivisia tasoja voidaan rakentaa minkä tahansa muun äärellisen kentän päälle samalla tavalla, mutta Fanon taso on pienin.

Käyttämällä homogeenisten koordinaattien projektioavaruuksien standardirakennetta Fano-tason seitsemän pistettä voidaan merkitä seitsemällä nollasta poikkeavilla binäärinumeroilla 001, 010, 011, 100, 101, 110 ja 111. Jokaiselle parille pisteet p ja q , rivin pq kolmas piste on merkitty, saatu merkinnöistä p ja q lisäämällä modulo 2; esimerkiksi 110+011=101. Toisin sanoen Fano-tason pisteet vastaavat äärellisen vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on 3 , nollasta poikkeavia pisteitä kertaluvun 2 äärellisen kentän yli.

Tämän rakenteen mukaan Fano-tasoa pidetään Desarguesiana, vaikka kone on liian pieni sisältämään ei-degeneroitunutta Desargues-konfiguraatiota (vaatii 10 pistettä ja 10 riviä).

Fano-tason viivoille voidaan myös määrittää homogeeniset koordinaatit, jälleen käyttämällä nollasta poikkeavia binäärilukukolmioita. Tässä järjestelmässä piste sattuu suoralle, jos pisteen koordinaateissa ja suoran koordinaateissa on parillinen määrä paikkoja, joissa molemmat koordinaatit ovat nollasta poikkeavia bittejä. Esimerkiksi piste 101 kuuluu riville 111, koska sekä viivalla että pisteellä on nollasta poikkeavia bittejä kahdessa yhteisessä paikassa. Lineaarialgebran termeissä piste kuuluu suoraan, jos pistettä ja suoraa edustavien vektorien pistetulo on nolla .

Suorat viivat voidaan jakaa kolmeen tyyppiin.

Kolmella suoralla pisteiden binäärikoodeissa on 0 vakiopaikassa. Joten rivillä 100 (sisältää pisteet 001, 010 ja 011) kaikilla pisteillä on 0 ensimmäisessä paikassa. Suorilla linjoilla 010 ja 001 on sama ominaisuus.
Kolmella suoralla pisteiden binäärikoodilla on sama arvo kahdessa paikassa. Siten rivillä 110 (sisältää pisteet 001, 110 ja 111) pisteiden ensimmäisen ja toisen sijainnin (koordinaatit) arvot ovat aina samat. Suorilla linjoilla 101 ja 011 on samanlainen ominaisuus.
Jäljellä olevalla rivillä 111 (sisältää kohdat 011, 101 ja 110) jokaisella koodilla on täsmälleen kaksi nollasta poikkeavaa bittiä.

Symmetriat

Fano-tason seitsemän pisteen permutaatioita, jotka säilyttävät pisteiden (suoran) tulon, eli kun suoralla oleva piste sattuu olemaan samalla suoralla, kutsutaan "kollineaatioksi", " automorfismiksi ", tai tason " symmetria ". Täydellinen kollineaatioryhmä (tai automorfismiryhmä , tai symmetriaryhmä ) on projektiivinen lineaarinen ryhmä PGL(3,2) [1] , joka tässä tapauksessa on isomorfinen projektiivisen erikoislineaariryhmän PSL(2,7) = PSL(3 ) kanssa. ,2) ja täydellinen lineaarinen ryhmä GL(3,2) (joka on yhtä suuri kuin PGL(3,2), koska kentässä on vain yksi nollasta poikkeava elementti). Ryhmään kuuluu 168 erilaista permutaatiota.

Automorfismiryhmä koostuu 6 konjugaatioluokasta .
Kaikki sykliset rakenteet lukuun ottamatta sykliä, jonka pituus on 7, määrittelevät yksiselitteisesti konjugaatioluokan:

Sama permutaatio.
21 kahden 2-syklin permutaatio .
42 permutaatiota 4-syklistä ja 2-syklistä.
56 3-syklin permutaatiota.

48 permutaatiota, joiden koko sykli on pituus 7, muodostavat kaksi konjugasioluokkaa, joissa kussakin on 24 elementtiä:

A menee B :hen , B :hen C , C : hen D. Tässä tapauksessa D on samalla viivalla kuin A ja B .
A menee B :hen , B :hen C , C : hen D. Tässä tapauksessa D on samalla viivalla kuin A ja C.

Redfield-Polyi-lauseesta johtuen Fano -tason ei-ekvivalenttien värjäysten määrä n värissä on:

{1 \over 168}\left(n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n\right).

Asetukset

Fano-taso sisältää seuraavat erilaiset pisteiden ja viivojen konfiguraatiot. Jokaiselle konfiguraatiotyypille konfiguraation kopioiden määrä kerrottuna niiden tasosymmetrioiden määrällä, joissa konfiguraatio säilyy, on 168, koko symmetriaryhmän koko.

On 7 pistettä ja 24 symmetriaa, jotka säilyttävät nämä pisteet.
On 7 viivaa ja 24 symmetriaa, jotka säilyttävät nämä viivat.
On 7 vaihtoehtoa valita nelikulmio neljästä (järjestämättömästä) pisteestä, joista kolme ei ole samalla viivalla, ja 24 symmetriaa, jotka säilyttävät tällaisen nelikulmion. Nämä neljä pistettä muodostavat suoran komplementin, joka on nelikulmion lävistäjä .
Pisteitä on 21 järjestämätöntä paria , joista jokainen voidaan kääntää symmetrian avulla joksikin muuksi järjestämättömäksi pariksi. Jokaista epäjärjestynyttä paria kohden on 8 symmetriaa, jotka säilyttävät sen.
Lippuja on 21 , jotka koostuvat viivasta ja pisteestä. Jokainen lippu vastaa samalla rivillä olevien muiden pisteiden järjestämätöntä paria. Jokaisessa lipussa on 8 erilaista symmetriaa, jotka säilyttävät sen.
On olemassa 28 kolmiota , jotka vastaavat yksi yhteen 28 kaksoistangenttikvartiikilla [2] . Jokaiselle kolmiolle on kuusi symmetriaa, jotka säilyttävät sen, yksi kullekin kolmion pisteiden permutaatiolle.
On olemassa 28 tapaa valita piste ja viiva, jotka eivät liity toisiinsa ( anti-flag ), ja kuusi tapaa järjestää Fano-taso uudelleen, jotka säilyttävät lipunvastaisuuden. Jokaiselle ei-satunnaispisteiden parille ja suoralle ( p , l ) kolme pistettä, jotka eivät ole yhtä suuret kuin p ja jotka eivät kuulu ryhmään l , muodostavat kolmion, ja mille tahansa kolmiolle on ainutlaatuinen tapa ryhmitellä loput neljä pistettä antilipuksi. .
On 28 tapaa rakentaa kuusikulmio , jossa ei ole kolmea peräkkäistä kärkeä samalla viivalla, ja kuusi symmetriaa, jotka säilyttävät tällaisen kuusikulmio.
Pistepareja on 42 , ja jokainen niistä voidaan kääntää symmetrian perusteella mille tahansa muulle järjestetyksi pariksi. Tilatuille pareille on 4 symmetriaa, jotka säilyttävät sen.
On 42 tapaa valita nelikulmio neljästä syklisesti järjestetystä pisteestä, joista kolme ei ole samalla viivalla, ja neljä symmetriaa, jotka säilyttävät tällaisen järjestetyn nelikulmion. Jokaisella ohjaamattomalla nelinkertaisella on kaksi syklistä järjestystä.
On 84 tapaa valita kolmio, jossa on piste, ja jokaisessa valinnassa on kaksi symmetriaa, jotka säilyttävät valinnan.
On 84 tapaa valita viisikulmio siten, että kolmea peräkkäistä kärkeä ei ole samalla viivalla, ja kaksi symmetriaa, jotka säilyttävät minkä tahansa viisikulmion.
On olemassa 168 eri tapaa valita kolmio sen kolmen kärjen järjestyksellä, ja vain yksi identiteettisymmetria säilyttää tämän konfiguraation.

Ryhmäteoreettiset rakenteet

Tason 7 pistettä vastaavat 7 ryhmän ( Z 2 ) 3 = Z 2 × Z 2 × Z 2 ei-identtistä elementtiä . Suorat tasot vastaavat luokkaa 4 olevia alaryhmiä, jotka ovat isomorfisia Z 2 × Z 2 :n kanssa . Ryhmän ( Z 2 ) 3 automorfismiryhmä GL(3,2) on Fano-tason isomorfismiryhmä ja sen kertaluku on 168.

Vuokaaviot

Fanon taso on pieni symmetrinen lohkokaavio , nimittäin 2-(7,3,1) kaavio. Piiripisteet ovat tasopisteitä ja piirilohkot tasoviivoja. Näin ollen Fanon taso on tärkeä esimerkki vuokaavioteoriasta.

Matroiditeoria

Fanon taso on yksi tärkeä esimerkki matroiditeoriassa . Fano-tason poissulkeminen matroid- molliksi on välttämätöntä joidenkin tärkeiden matroidien luokkien kuvaamiseksi, kuten tavalliset , graafiset ja kografiset matroidit.

Jos yksi viiva jaetaan kolmeen kaksipisteviivaan, saadaan "ei-tuulettimen konfiguraatio", joka voidaan upottaa todelliseen tasoon. Tämä on toinen tärkeä esimerkki matroiditeoriasta, joka pitäisi eliminoida, jotta suuri määrä lauseita pätee.

Steinerin järjestelmä

Fano-taso, joka on lohkokaavio, on Steinerin kolmoisjärjestelmä . Ja tässä tapauksessa sille voidaan antaa kvasiryhmän rakenne . Tämä kvasiryhmä osuu yhteen oktonioiden yksiköiden e 1 , e 2 , …, e 7 (ilman 1) määrittämän kerrannaisrakenteen kanssa, jos oktonioiden tulon merkit jätetään huomiotta [3] .

3D hauska tila

Fano-taso voidaan laajentaa 3D-koteloon pienimmän 3D-projektioavaruuden muodostamiseksi, ja tätä merkitään PG(3,2). Siinä on 15 pistettä, 35 viivaa ja 15 tasoa.

Jokainen taso sisältää 7 pistettä ja 7 viivaa.
Jokainen rivi sisältää 3 pistettä.
Tasot ovat isomorfisia Fano-tason kanssa.
Jokainen piste kuuluu 7 riville.
Jokainen erillisten pisteiden pari kuuluu täsmälleen yhdelle riville.
Mikä tahansa eri tasopari leikkaa täsmälleen yhden suoran.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Itse asiassa tämä on ryhmä PΓL(3,2), mutta kertaluvun 2 äärellisellä kentällä ei ole epäidenttistä automorfismia, ryhmä muuttuu PGL(3,2).
↑ Manivel, 2006 , s. 457–486.
↑ Baez, 2002 , s. 145–205.

Kirjallisuus

John Baez. Octonions. — Härkä. amer. Matematiikka. Soc.. - 2002. - T. 39. - doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ( HTML-verkkoversio arkistoitu 9. lokakuuta 2008 Wayback Machinessa )
JH van Lint, RM Wilson. Kombinatorian kurssi . - Cambridge University Press, 1992. - S. 197 .
L. Manivel. Lie-algebroiden linjojen ja mallien konfiguraatiot // Journal of Algebra. - 2006. - T. 304 , no. 1 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 .
Burkard Polster (1998) Geometrinen kuvakirja , luku 1: "Johdatus Fano-tason kautta", myös s. 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0 -387-98437-2 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Fano Plane (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Finite plane ja Fano plane Arkistoitu 1. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa PlanetMathissa