Kvasiryhmä (matematiikka)

Kvasiryhmä  on magma , jossa fissio on aina mahdollista . Toisin kuin ryhmä , kvasiryhmän ei tarvitse olla assosiatiivinen [1] . Mikä tahansa assosiatiivinen kvasiryhmä on ryhmä.

Määritelmät ja ominaisuudet

Kvasiryhmä on pari ( Q , *) ei-tyhjästä joukosta Q binäärioperaatiolla * : Q × Q → Q , joka täyttää seuraavan ehdon: kaikille Q:n alkioille a ja b on yksilölliset alkiot x ja y Q : sta. sellasta

• a * x = b
• y * a = b

Näiden yhtälöiden ratkaisut kirjoitetaan joskus seuraavasti:

• x = a \ b
• y = b / a

Toimintoja \ ja / kutsutaan vasen jako ja oikea jako .

Kvasiryhmää, jossa on yksikkö, kutsutaan myös silmukaksi ( englanninkielisestä  silmukasta - silmukka).

Jos kahden kvasiryhmän Q ja R alkioiden välille voidaan muodostaa bijektio (eli ne ovat ekvivalentteja joukkoina), sanotaan, että Q :llä ja R :llä on sama järjestys. Jos lisäksi on näiden kvasiryhmien elementteihin vaikuttavia permutaatioita A, B, C siten, että

• ( x , y ) = [ x A, y B]C

(tässä (,) ja [ , ] ovat Q :n ja R :n operaatioita , vastaavasti), tällaisia ​​kvasiryhmiä kutsutaan isotoopiksi .

Jokaiselle kvasiryhmälle on olemassa silmukka, jonka kanssa se on isotooppi. Jos silmukka on isotooppinen ryhmään, tämä silmukka on ryhmä. Yleisemmässä tapauksessa: jos puoliryhmä on isotooppinen silmukalle, niin ne ovat isomorfisia ja molemmat ovat isomorfisia jollekin ryhmälle. Isotopia , joissain[ mitä? ] mielessä, vastaa ryhmäisomorfismia, mutta on kvasiryhmiä, jotka ovat isotooppisia, mutta eivät isomorfisia ryhmille.

Mikä tahansa latinalainen neliö on kvaasiryhmän kertotaulukko ( Cayley-taulukko ).

Kvasiryhmää kutsutaan täysin antisymmetriseksi , jos kaksi muuta ominaisuutta täyttyy [2] :

• jos joillekin kvasiryhmän a :lle ja b :lle kävi ilmi, että a * b = b * a , niin a = b ;
• jos joillekin kvasiryhmän a , b ja c :lle käy ilmi, että ( a * b )* c = ( a * c )* b , niin b = c .

Vuonna 2004 M. Damm esitti esimerkkejä täysin antisymmetrisistä kvasiryhmistä, mikä oli 2000-luvun merkittävä matemaattinen saavutus [2] .

Täysin antisymmetrisiä kvasiryhmiä (Damm-kvasiryhmiä) käytetään virheentunnistuskoodeissa ( Dammin algoritmi ) [2] .

Esimerkkejä

• Mikä tahansa ryhmä on myös kvasiryhmä, koska a * x = b x = a −1 * b , y * a = b y = b * a −1 .
• Kokonaisluvut ( ), joissa on vähennyslaskuoperaatio (−), ovat kvasiryhmä.
• Nollasta poikkeavat rationaaliluvut (tai reaaliluvut  - ) jakooperaatiolla (÷) ovat kvasiryhmä.
• Joukko {±1, ±i, ±j, ±k}, jossa ii = jj = kk = +1 ja kaikki muut tulot määritellään samalla tavalla kuin kvaternioneissa , on kvasiryhmä, jolla on identiteetti (silmukka).
• Mikä tahansa reaalilukukentän yli oleva vektoriavaruus operaatioon x * y = ( x + y ) / 2 nähden muodostaa idempotentin kommutatiivisen kvasiryhmän rakenteen.

Muistiinpanot

1. ↑ L. V. Sabinin, “ Homogeeniset tilat ja kvasiryhmät ”, Izv. yliopistot. Mat., 1996, nro 7, 77-84
2. ↑ 1 2 3 Dmitri Maksimov. Koodit, jotka tunnistavat virheen  // Tiede ja elämä . - 2018. - Nro 1 . - S. 90-95 . (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

• Belousov V. D. "Kvasiryhmien ja silmukoiden teorian perusteet" Arkistokopio , päivätty 30. heinäkuuta 2016 Wayback Machinessa  - M . : Nauka, 1967. - 224 s.
• Sabinin LV Smooth kvasiryhmät ja silmukat  (linkki ei saatavilla)  - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. - 257p
• Sabinin L.V. Analyyttiset kvasiryhmät ja geometria - M.: UDN, 1991. - 112s.
• Sabinin L. V., Mikheev P. O. Sileiden Bol-silmukoiden teoria. - M .: Kustantaja UDN, 1985. - 81s.
• "Kvaasiryhmät ja silmukat" (numero 51). Valutse II (toim.) ym. Tieteellisten julkaisujen kokoelma. Chişinău: Shtiintsa, 1979. - 168s.
• Belousov V.D. Analyyttiset verkot ja kvasiryhmät - Chisinau: Shtiintsa, 1971. - 168s.
• Mikheev P. O., Sabinin L. V. Smooth quasigroups and geometry Arkistoitu 14. kesäkuuta 2013 the Wayback Machine . Tieteen ja tekniikan tuloksia. Ser. Probl. geom., osa 20. - M.: VINITI, 1988. 75-110.]
• Kurosh A.G. Yleisalgebra . Lukuvuoden 1969-1970 luennot - M .: Nauka, 1974 . -160-lukua. Kohdat 5 ja 6.
• Galkin VM Quasigroups paperikokoelmassa Algebra, topologia, geometria. Volume 26, 1988. Tieteen ja tekniikan tuloksia. Ser. Algebra, topol., geom. Osa 26. M.: VINITI, 1988. S. 3-44.