Koko rivi ryhmä

Täysi lineaarinen ryhmä (joskus käytetään termiä yleinen lineaarinen ryhmä ) viittaa kahteen eri (vaikkakin läheisesti liittyvään) käsitteeseen.

Vektoriavaruuden V täysi lineaarinen ryhmä on muotoa C : V → V [1] olevien käännettävien lineaarioperaattoreiden  ryhmä . Ryhmäoperaation roolia esittää tavallinen lineaaristen operaattoreiden kokoonpano.

Yleensä merkitään GL( V ) .

Täydellinen lineaarinen ryhmä kertaluvun n  on ryhmä käännettyjä matriiseja, joiden kertaluku on n (eli neliömatriisit, joissa on n riviä ja n saraketta) [2] . Ryhmäoperaation roolia esittää tavallinen matriisikerto.

Yleensä merkitään GL( n ) [3] . Jos vaaditaan selkeästi, mihin kenttään (tai yleisemmässä tapauksessa kommutatiiviseen renkaaseen , jossa on yksikkö) K matriisielementtien tulee kuulua, kirjoitetaan: GL( n , K ) [4] tai GL n ( K ) .

Joten jos tarkastellaan reaalilukujen yli olevia matriiseja, kertaluvun n täyttä lineaarista ryhmää merkitään GL( n , R ) ja jos kompleksilukujen yli , niin GL( n , C ) .

Molemmat käsitteet liittyvät itse asiassa läheisesti toisiinsa. Ensinnäkin neliömatriisia, jonka kertaluku on n , voidaan tarkastella lineaarisena operaattorina, joka toimii aritmeettiseen vektoriavaruuteen K n (eli n - ulotteisten sarakkeiden avaruuteen, jossa on K alkioita ). Siksi  GL( n , R ) = GL( R n )  ja  GL( n , C ) = GL( C n ) .  

Toiseksi kannan lisääminen n- ulotteiseen vektoriavaruuteen V skalaarien kentän K yli mahdollistaa lineaarisen operaattorin C  :  V  →  V yksi-yhteen vastaavuuden sen matriisin kanssa, kertaluvun n  neliömatriisin komponenteista. operaattorin C tällä perusteella. Tässä tapauksessa käännettävä operaattori vastaa ei- singulaarista matriisia , ja saamme yksi-yhteen vastaavuuden ryhmien GL( V ) ja GL( n , K ) välillä (tämä vastaavuus on itse asiassa näiden ryhmien isomorfismi ).   

Ominaisuudet

Jos V  on vektoriavaruus skalaarien K kentän päällä, niin avaruuden V täysi lineaarinen ryhmä on avaruuden V kaikkien automorfismien ryhmä . Ryhmää GL( V ) ja sen aliryhmiä kutsutaan lineaariryhmiksi .

Yleisessä lineaarisessa ryhmässä GL( n , K ) voidaan erottaa aliryhmä SL( n , K ) , joka koostuu kaikista matriiseista, joiden determinantti on 1. Tämä on erityinen lineaarinen ryhmä luokkaa n , jota merkitään SL( n , K ) ) .

Muut tärkeät ryhmän GL( n , K ) alaryhmät :

• Diagonaaliryhmä  on ryhmä D( n , K ) , joka koostuu kaikistakertaluvun n diagonaalimatriiseista ;
• Kolmioryhmä  on ryhmä T( n , K ) , joka koostuu ei-yksittäisistä ylemmistä kolmiomatriiseista, joiden kertaluokka on n (eli matriiseja, joissa kaikki päälävistäjän alla olevat alkiot ovat nollia);
• Yksikolmioryhmä  on ryhmä UT( n , K ) , joka koostuu niistäkertaluvun n ylemmistä kolmiomatriiseista, joiden diagonaalit ovat yhtä kuin 1.

Ryhmää GL( n , K ) ja sen alaryhmiä kutsutaan usein matriisiryhmiksi (huomaa, että niitä voidaan kutsua myös lineaarisiksi ryhmiksi , mutta ryhmä GL( V )  on lineaarinen, mutta ei matriisi).

Erityisesti ryhmän GL( n , R ) alaryhmät ovat erityinen lineaarinen ryhmä SL( n , R ) , ortogonaalinen ryhmä O( n ) , erityinen ortogonaalinen ryhmä SO( n ) jne.

Ryhmän GL( n , C ) aliryhmät ovat erityinen lineaarinen ryhmä SL( n , C ) , unitaarinen ryhmä U( n ) , kertaluvun n erityinen unitaarinen ryhmä SU( n ) jne.

Täydelliset lineaariset ryhmät GL( n , R ) ja GL( n , C ) (sekä niiden kahdessa edellisessä kappaleessa luetellut pääalaryhmät) ovat [5] Lie-ryhmiä . Nämä ryhmät ovat tärkeitä ryhmäesitysteoriassa ; ne syntyvät myös erilaisten symmetrioiden tutkimuksessa .

Huomaa myös, että arvolla n  = 1 ryhmä GL( n , K ) itse asiassa pelkistyy kentän K nollasta poikkeavien skalaarien ryhmään ( K  * , •) (molemmat ryhmät ovat kanonisesti isomorfisia) ja on siksi Abelin (kommutatiivinen). Jos n on suurempi kuin 1, ryhmät GL( n , K ) eivät ole Abelin.

Muistiinpanot

1. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 24.
2. ↑ Platonov V.P.   Täydellinen lineaarinen ryhmä // Matem. tietosanakirja. T. 4. - M . : Sov. tietosanakirja, 1984. - Stb. 416-417.
3. ↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B.   Topologian alkukurssi. geometriset päät. - M .: Nauka, 1977. - S. 268-271.
4. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 34.
5. ↑ Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T.   Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - M .: Nauka, 1986. - S. 420.

Kirjallisuus

• Kostrikin A.I.  Johdatus algebraan. - M .: Nauka, 1977. - 496 s.
• Kostrikin AI, Manin Yu. I.  Lineaarinen algebra ja geometria. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.
• Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I.  Ryhmäteorian perusteet. - M .: Nauka, 1972. - 240 s.

Katso myös

• projektiivinen ryhmä