Mathieun ryhmä

Mathieu-ryhmät  ovat viisi satunnaista yksinkertaista ryhmää , M 11 , M 12 , M 22 , M 23 ja M 24 , jotka esitteli Émile Leonard Mathieu [1] [2] . Ryhmät ovat moninkertaisia ​​transitiivisia permutaatioryhmiä, joissa on 11, 12, 22, 23 tai 24 objektia. Nämä olivat ensimmäiset avoimet satunnaiset ryhmät.

Joskus merkintöjä M 9 , M 10 , M 20 ja M 21 käytetään yhdistetyille ryhmille (jotka vaikuttavat 9, 10, 20 ja 21 pisteen joukkoihin, vastaavasti), nimittäin pisteen stabilaattoreille suuremmissa ryhmissä. Vaikka ne eivät ole satunnaisia ​​yksinkertaisia ​​ryhmiä, ne ovat suurempien ryhmien alaryhmiä ja niitä voidaan käyttää niiden rakentamiseen. John Conway osoitti, että tätä sekvenssiä voidaan laajentaa antamaan Mathieu M 13 -ryhmäoidi , joka vaikuttaa 13 pisteeseen. M 21 on yksinkertainen, mutta ei satunnainen ryhmä, joka on isomorfinen PSL:lle(3,4).

Historia

Mathieu [3] esitteli ryhmän M 12 osana monitransitiivisten permutaatioryhmien tutkimusta ja mainitsi lyhyesti (s. 274) ryhmän M 24 osoittaen sen järjestyksen. Vuonna 1873 julkaistussa artikkelissa [2] hän antoi lisätietoja, mukaan lukien eksplisiittiset generointijoukot näille ryhmille, mutta ryhmää ei ole helppo nähdä hänen väitteensä perusteella, että luodut ryhmät eivät ole vain vuorottelevia ryhmiä , ja useiden vuosien ajan ryhmien olemassaolo oli epäillä. Miller [4] jopa julkaisi paperin, joka osoitti virheellisesti, että M 24 :ää ei ole olemassa, vaikka pian sen jälkeen vuonna 1900 ilmestyneessä artikkelissa [5] hän myönsi todisteen olevan virheellinen ja antoi todisteen siitä, että Mathieu-ryhmät ovat yksinkertaisia. Witt [6] [7] päätti lopulta epäilykset näiden ryhmien olemassaolosta rakentamalla ne permutaatioryhmien peräkkäisiksi transitiivisiksi laajennuksiksi sekä Steiner-järjestelmien automorfismien ryhmiksi .

Mathieu-ryhmien jälkeen uusia satunnaisia ​​ryhmiä ei löydetty ennen vuotta 1965, jolloin löydettiin J1 - ryhmä .

Useita transitiivisia ryhmiä

Mathieu oli kiinnostunut löytämään moninkertaisia ​​transitiivisia permutaatioryhmiä. Luonnollisella luvulla k n pisteeseen vaikuttava permutaatioryhmä G on k -transitiivinen , jos sille annetaan kaksi joukkoa pisteitä a 1 , … a k ja b 1 , … b k , joiden ominaisuus on, että kaikki a i ovat erilaisia ​​ja kaikki b i ovat erilaisia, G : ssä on elementti g , joka kuvaa a i :n b i :ksi kaikille i :lle arvoista 1 arvoon k . Sellaisen ryhmän sanotaan olevan akuutisti k -transitiivinen , jos elementti g on uniikki (eli k -monikon toiminta on säännöllistä (tiukasti transitiivinen), ei vain transitiivinen).

Ryhmä M 24 on 5-transitiivinen ja ryhmä M 12  on jyrkästi 5-transitiivinen. Muilla Mathieu-ryhmillä (yksinkertaiset ja ei-yksinkertaiset), jotka ovat m - pisteen stabilaattoreita vastaavia alaryhmiä, on pienempi transitiivisuus ( M23 on 4 -transitiivinen jne.).

Ainoat 4-transitiiviset ryhmät ovat symmetriset ryhmät S k , kun k on vähintään 4, vuorottelevat ryhmät A k , kun k on yhtä suuri tai suurempi kuin 6, ja Mathieu-ryhmät M 24 , M 23 , M 12 ja M 11 [8] .

Klassinen tulos on Jordanin tulos , että vain symmetriset ja vuorottelevat ryhmät (asteet k ja k  + 2) sekä M 12 ja M 11 ovat terävästi k -transitiivisia permutaatioryhmiä k :lle vähintään 4.

Tärkeitä esimerkkejä monitransitiivisistä ryhmistä ovat 2-transitiiviset ryhmät ja Zassenhaus-ryhmät . Erityisesti Zassenhaus-ryhmiä ovat projektiivinen yleinen lineaarinen projektitiivisen suoran äärellisen kentän yli PGL(2, F q ), joka on jyrkästi 3-transitiivinen (katso duaalisuhde ) elementeillä.

Taulukko tilauksista ja transitiivisuudesta

Mathieu-ryhmien rakentaminen

Mathieu-ryhmiä voidaan rakentaa eri tavoin.

Permutaatioryhmät

M 12 :lla on yksinkertainen alaryhmä luokkaa 660, maksimaalinen alaryhmä. Tämä alaryhmä on isomorfinen projektiiviselle erikoislineaariryhmälle PSL 2 ( F 11 ) 11 elementin kentän yli . Jos −1 merkitään a : lla ja äärettömyyttä b :llä , kaksi standardigeneraattoria ovat permutaatioita (0123456789a) ja (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Kolmas generaattori, joka antaa M 12 :n, ottaa ryhmän F 11 elementin x ryhmään , kuten permutaatiossa (26a7) (3945).

Tämä ryhmä ei ole isomorfinen millekään äärellisten yksinkertaisten ryhmien äärettömien perheiden jäsenille, ja sitä kutsutaan satunnaiseksi. M 11 on pisteen stabilaattori M 12 :ssa ja osoittautuu myös satunnaiseksi yksinkertaiseksi ryhmäksi. Kahden pisteen stabilaattori M 10 ei ole satunnainen, vaan se on lähes yksinkertainen ryhmä, jonka kommutantti on vaihtuva ryhmä A 6 . Se liittyy ryhmän A 6 poikkeukselliseen ulkoiseen automorfismiin . 3-pistestabilisaattori on projektiivinen erityinen unitaarinen ryhmä PSU(3,2 2 ), joka on ratkaistavissa. 4 pisteen stabilisaattori on kvaternioniryhmä .

Samoin M 24 :llä on suurin yksinkertainen alaryhmä luokkaa 6072, joka on isomorfinen PSL 2 : lle ( F23 ). Yksi generaattori lisää 1 jokaiseen kentän elementtiin (jättää pisteen N äärettömyyteen kiinteäksi), eli permutaatioon (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), ja toinen on järjestystä kääntävä permutaatio , (0N)(1M)(2B) )(3F)(4H)(59 )(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Kolmas generaattori, joka antaa arvon M 24 , muuntaa ryhmän F 23 elementin x muotoon . Laskelmat osoittavat, että tämä on (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF) permutaatio.

Stabilisaattorit 1 ja 2 pisteet, M 23 ja M 22 osoittautuvat myös satunnaisiksi yksinkertaisiksi ryhmiksi. 3-pistestabilisaattori on yksinkertainen ryhmä ja on isomorfinen projektiivisen erikoislineaariryhmän PSL 3 (4) kanssa.

Carmichael [9] on lainannut näitä rakenteita . Dixon ja Mortimer [10] antavat permutaatiot Émile Mathieulle.

Steiner-järjestelmien automorfismiryhmät

ekvivalenssiin asti on olemassa ainutlaatuinen S (5,8,24) Steiner-järjestelmä W 24 ( Witt -malli ). Ryhmä M 24 on tämän Steiner-järjestelmän automorfismiryhmä, eli joukko permutaatioita, jotka kuvaavat kunkin lohkon johonkin toiseen lohkoon. Alaryhmät M 23 ja M 22 määritellään vastaavasti yhden pisteen ja kahden pisteen stabilaattoreiksi.

Vastaavasti on olemassa ekvivalenssiin asti ainutlaatuinen S(5,6,12) Steiner-järjestelmä W12 , ja ryhmä M12 on sen automorfismiryhmä. Alaryhmä M11 on pisteen stabilisaattori .

W 12 voidaan rakentaa affiinista geometriasta vektoriavaruudessa F3 × F3 , järjestelmässä S (2,3,9 ) .

Vaihtoehtoinen W 12 :  n rakenne on Curtisin "pentu" [11] .

Johdatus W 24 : n rakentamiseen R. T. Curtisin upealla oktadigeneraattorilla ja Conwayn W 12 -analogilla ( ) löytyy Conwayn ja Sloanin kirjasta .

Golay-koodien automorfismiryhmät

Ryhmä M 24 on laajennetun binaarisen Golay-koodin W permutaatioiden automorfismien ryhmä, eli 24 koordinaatin permutaatioiden ryhmä, joka kuvaa W itseensä. Kaikki Mathieu-ryhmät voidaan rakentaa binaaristen Golay-koodien permutaatioryhmiksi.

M12 :lla on indeksi 2 automorfismiryhmässään ja M12 : 2 on isomorfinen M24: n alaryhmälle . M 12 on 12 yksikön koodistabilisaattori. M 12 :2 stabiloi jakson kahteen 12-bittiseen komplementaariseen koodiin.

Mathieu-ryhmien ja suurempien Conway-ryhmien välillä on luonnollinen yhteys , koska Leach-hila rakennettiin binaariseen Golay-koodiin ja molemmat ryhmät ovat itse asiassa ulottuvuuden 24 avaruudessa. Conway-ryhmät löytyvät Monsterista . Robert Gries viittaa Monsterin 20 satunnaiseen ryhmään nimellä The Happy Family ja Mathieu-ryhmiin ensimmäiseksi sukupolveksi .

Dessins d'enfants

Mathieu-ryhmiä voidaan rakentaa käyttämällä dessins d'enfants (fr: lasten piirustus) [12] , ja M 12 :een liittyvää piirustusta kutsutaan nimellä "Monsieur Mathieu" (Monsieur Mathieu) [13] le Brun .

Muistiinpanot

1. ↑ Mathieu, 1861 .
2. ↑ 12 Mathieu , 1873 .
3. ↑ Mathieu, 1861 , s. 271.
4. ↑ Miller, 1898 .
5. ↑ Miller, 1900 .
6. ↑ Witt, 1938a .
7. ↑ Witt, 1938b .
8. ↑ Cameron, 1999 , s. 110.
9. ↑ Carmichael, 1956 , s. 151, 164, 263.
10. ↑ Dixon, Mortimer, 1996 , s. 209.
11. ↑ Curtis, 1984 .
12. ↑ Kirjaimellisesti - lapsen piirros (fr.). Grothendieck ehdotti termiä yhdelle graafien upotustyypeistä.
13. ↑ le Bruyn, 2007 .

Kirjallisuus

• Gorenstein D. Äärilliset yksinkertaiset ryhmät. – 1985.
• Peter J. Cameron. Permutaatioryhmät. - Cambridge University Press , 1999. - V. 45. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-65378-7 .
• Robert D. Carmichael. Johdatus äärellisen järjestyksen ryhmien teoriaan . - New York: Dover Publications , 1956. - ISBN 978-0-486-60300-1 . Alkuperäinen julkaisuvuosi: 1937
• C. Choi. M 24 :n alaryhmissä . I: Osajoukkojen stabilisaattorit // Transactions of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1972a. - Toukokuu ( jae 167 ). - S. 1-27 . - doi : 10.2307/1996123 . — .
• C. Choi. M 24 :n alaryhmissä . II: M 24 :n suurimmat alaryhmät  // Transactions of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1972b. - Toukokuu ( jae 167 ). - S. 29-47 . - doi : 10.2307/1996124 . — .
• John Horton Conway . Kolme luentoa poikkeuksellisista ryhmistä // Finite simple group / MB Powell, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215-247. — (Proceedings of an Instructional Conference, jonka järjestää London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, syyskuu 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Uusintapainos julkaisussaConway, Sloane, 1999, s. 267–298
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, RT Curtis, Robert A. Wilson. Äärillisten ryhmien atlas . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
• John Horton Conway , Neil JA Sloane . Pallopakkaukset, ristikot ja ryhmät . – 3. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Curtis RT Uusi kombinatorinen lähestymistapa M₂4 // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 , no. 1 . - S. 25-42 . — ISSN 0305-0041 . - doi : 10.1017/S0305004100052075 .
• , ISSN 0305-0041 , DOI 10.1017/S0305004100053251 
• Curtis RT Steiner-järjestelmä S(5, 6, 12), Mathieu-ryhmä M12 ja "kissanpentu" // Laskennallinen ryhmäteoria. Proceedings of the London Mathematical Society symposium, joka pidettiin Durhamissa 30. heinäkuuta – 9. elokuuta 1982. / Michael D. Atkinson. - Boston, MA: Academic Press , 1984. - s. 353-358. — ISBN 978-0-12-066270-8 .
• Hans Cuypers. Mathieu-ryhmät ja niiden geometriat . – 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutaatioryhmät . - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1996. - V. 163. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-0-387-94599-6 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 .
• Ferdinand Georg Frobenius . Yber die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen . - Mouton De Gruyter, 1904. - S. 558-571. - (Berlin Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9 .
• Robert L. Jr. Griess. Kaksitoista satunnaista ryhmää. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
• Emile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les entinen et sur les substitutions qui les laissent invariables  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1861. - T. 6 . — S. 241–323 .
• Emile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1873. - T. 18 . - S. 25-46 .  (linkki ei saatavilla) Kieli: ranska
• Miller GA 24 elementin ja 19!/48 arvon oletetusta viisinkertaisesta transitiivisesta funktiosta.  // Matematiikan lähettiläs. - 1898. - T. 27 . — S. 187–190 .
• Miller GA Sur plusieurs groupes simples  // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1900. - T. 28 . — S. 266–267 .
• Mark Ronan. Symmetria ja hirviö. - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 . (Johdatus maallikolle, joka kuvaa Mathieu-ryhmiä historiallisessa kontekstissa)
• Thomas M. Thompson. Virheenkorjauskoodeista pallopakkauksiin yksinkertaisiin ryhmiin . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. - Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. - T. 12 . — S. 265–275 . — ISSN 0025-5858 . - doi : 10.1007/BF02948948 .
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. – 1938b. - T. 12 . — S. 256–264 . - doi : 10.1007/BF02948947 .
• Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu . - 2007. Arkistoitu 1. toukokuuta 2010.

Linkit

• ATLAS: Mathieu ryhmä M 10 Arkistoitu 14. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu ryhmä M 11 Arkistoitu 14. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu ryhmä M 12 Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu ryhmä M 20 Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu ryhmä M 21 Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu ryhmä M 22 Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu-ryhmä M 23 Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
• ATLAS: Mathieu ryhmä M 24 Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
• Kuinka tehdä Mathieu Group M 24 .
• Mathieu ryhmä M 9 GroupNamesissa

• Scientific American Arkistoitu 8. syyskuuta 2008 Wayback Machinessa Mathieu-ryhmien matematiikkaan perustuva pulmasarja
• Satunnainen M12 Arkistoitu 2. joulukuuta 2017 Wayback Machinelle iPhone-sovellus, joka toteuttaa M 12 -pohjaisia ​​pulmia , esitetään yhtenä "spin"-permutaationa ja valittavana "swap"-permutaationa