Conway-ryhmät

Conway-ryhmät ovat kolme satunnaista yksinkertaista ryhmää Co 1 , Co 2 ja Co 3 , jotka Conway esitteli yhdessä niihin liittyvän äärellisen ryhmän Co 0 [1] [2] kanssa .

Suurin Conway-ryhmistä, Co 0 , on Leach-hilan automorfismiryhmä . Tämä ryhmä on kunnossa $\lambda$

8,315,553,613,086,720,000

Se ei ole yksinkertainen ryhmä. Yksinkertainen ryhmä Co tilaus 1

4,157,776,806,543,360,000

määritellään ryhmän Co 0 tekijäryhmäksi sen keskustan mukaan, joka koostuu skalaarimatriiseista ±1.

Leach-hilan skalaaritulo määritellään 1/8 :ksi kahden kerrotun vektorin vastaavien koordinaattien tulojen summasta . Tämä on kokonaisluku. Vektorin neliönormi on yhtä suuri kuin vektorin ja itsensä skalaaritulo, aina parillinen kokonaisluku. Usein puhutaan Leach-hilavektorin tyypistä , joka on yhtä suuri kuin puolet normista. Alaryhmät nimetään usein vastaavien kiinteiden pisteiden tyyppien mukaan. Hilassa ei ole tyypin 1 vektoreita.

Ryhmät Co 2 ( luokka 42 305 421 312 000 ) ja Co 3 ( luokka 495 766 656 000 ) koostuvat automorfismeista, jotka säilyttävät tyypin 2 vektoreita ja tyypin 3 vektoreita, vastaavasti. Koska kertominen skalaarilla −1 ei säilytä nollasta poikkeavaa vektoria, nämä kaksi ryhmää ovat isomorfisia Co 1 :n alaryhmille . $\lambda$

Historia

Thomas Thompson [3] kuvaili, kuinka John Leach tutki pallojen tiheää pakkaamista korkeadimensionaalisissa euklidisissa tiloissa noin vuoden 1964 tienoilla . Yksi Leachin löydöistä oli hilan pinoaminen 24-ulotteisessa avaruudessa, joka perustui siihen, mitä alettiin kutsua Leach-hilaksi . Hän päätti selvittää, sisältääkö hilan symmetriaryhmä mielenkiintoisia yksinkertaisia ryhmiä, mutta hän katsoi tarvitsevansa jonkun ryhmäteoriaan perehtyneemmän apua. Hän etsi sellaista henkilöä pitkään, mutta matemaatikot olivat kiireisiä omien tehtäviensä kanssa. John Conway suostui tarkastelemaan tehtävää. John G. Thompson ilmoitti osallistuvansa työhön, jos Conway löytää ryhmän järjestyksen . Conway luuli käyttävänsä kuukausia tai vuosia ongelman parissa, mutta hän sai tuloksen muutamassa päivässä. $\lambda$

Witt [4] väitti löytäneensä Leach-hilan vuonna 1940 ja vihjasi laskeneensa sen automorfismiryhmän Co 0 järjestyksen .

Monomiaalinen alaryhmä N ryhmästä Co 0

Conway aloitti Co 0 -tutkimuksensa alaryhmällä, jonka hän nimesi N. Se on (laajennetun) binaarisen Golay-koodin holomorfi joka esitetään diagonaalimatriisien c 1 tai −1 joukona diagonaalilla, eli sen laajennus Mathieu -ryhmällä M 24 (jonka elementit ovat esitetään permutaatiomatriiseina ). N ≈ 212 : M24 .

Tässä artikkelissa käytetty binaarisen Golay-koodin standardiesitys järjestää 24 koordinaattia siten, että 6 peräkkäistä neljän lohkoa (tetradit) muodostavat sekstetin .

Co 0 - ryhmän matriisit ovat ortogonaalisia . Toisin sanoen he jättävät pistetuotteen ennalleen. Käänteinen matriisi on sen transponointi . Co 0 ei sisällä matriiseja determinantilla −1.

Leach-hila voidaan määritellä Z - moduuliksi , jonka muodostaa kaikkien tyypin 2 vektoreiden joukko, joka koostuu $\Lambda _{2}$

(4, 4, 0 22 ) (2 8 , 0 16 ) (−3, 1 23 )

ja heidän kuvansa N :n vaikutuksesta . N :n vaikutuksesta se hajoaa kolmelle kiertoradalle, joiden koko on 1104, 97152 ja 98304. Sitten . Conway epäili vahvasti, että Co 0 oli transitiivinen kohdassa , ja lisäksi hän löysi uuden matriisin, ei monomiaalista kokonaislukua. $\Lambda _{2}$ $|\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ $\Lambda _{2}$

Olkoon 4×4 matriisi $\eta$

{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1 \end{pmatrix}}

Olkoon nyt 6-lohkoinen matriisi, jossa on pariton luku ja [5] [6] . on symmetrinen ja ortogonaalinen matriisi ja on siten involuutio . Se muuttaa vektoreita ryhmän N eri kiertoratojen välillä . $\zeta$ $\eta$ $-\eta$ $\zeta$

Laskemiseksi on parasta harkita joukkoa tyypin 4 vektoreita. Mikä tahansa tyypin 4 vektori on täsmälleen yksi 48 tyypin 4 vektorista, jotka ovat verrattavissa toisiinsa modulo , jotka jakautuvat 24 ortogonaaliseen pariin . 48 tällaisen vektorin joukkoa kutsutaan kehykseksi . N :llä on vakiokehys, jossa on 48 muotoa (±8, 0 23 ) olevaa vektoria kiertoradana . Annetun kehyksen kiinnittävä alaryhmä on konjugoitu N :ään . Ryhmä 212 , joka on isomorfinen Golay-koodin kanssa, toimii kehysvektorien etumerkin käänteisenä, kun taas M24 permuoi kehyksen 24 paria. Co 0 voidaan osoittaa olevan transitiivinen . Conway kertoi ryhmäjärjestyksen N ja kehysten lukumäärän, jälkimmäinen on yhtä suuri kuin suhde . Tämä tuote on minkä tahansa Co 0 -alaryhmän luokka, joka sisältää tiukasti N. Siksi N on ryhmän Coo maksimaalinen alaryhmä ja sisältää ryhmän Coo Sylow 2 - alaryhmät . N on myös kaikkien kokonaislukumerkintöjen sisältävien matriisien alaryhmä Co 0 . $|\mathrm {Co} _{0}|$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2\Lambda$ $\{v,-v\}$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2^{12}|\mathrm {M} _{24}|$ $|\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13$

Koska se sisältää vektoreita muotoa (±8, 0 23 ) , Co 0 koostuu rationaalisista matriiseista, joissa kaikki nimittäjät jakavat 8:n. $\lambda$

Pienin ei-triviaalinen esitys ryhmästä Co 0 minkä tahansa kentän yli on 24-ulotteinen, joka johtuu Leach-hilasta, ja se on täsmälleen kenttien päällä, joiden ominaisuus eroaa 2:sta.

Involuutioita Co 0 :ssa

Mikä tahansa involuutio Co 0 :ssa voidaan osoittaa konjugoituneen Golay-koodin elementtiin. Co 0 :lla on 4 involuutioluokkaa.

Permutaatiomatriisin muotoa 2 12 voidaan osoittaa konjugoituneen dodekadeihin . Sen keskittäjä [7] on muotoa 2 12 :M 12 ja siinä on konjugaatioita monomialaryhmän sisällä. Jokaisella tämän konjugaattiluokan matriisilla on jälki 0.

Permutaatiomatriisin muotoa 2 8 1 8 voidaan osoittaa konjugoituneena oktadiin . Sillä on trace 8. Sillä ja sen vastakohdalla (trace −8) on yhteinen keskittäjä muodossa , maksimaalinen alaryhmä Co 0 :ssa . $(2^{1+8}\kertaa 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$

Alahilaryhmät

Conway ja Thompson havaitsivat, että neljä äskettäin löydettyä satunnaista yksinkertaista ryhmää, jotka on kuvattu konferenssipaperissa [8] , ovat isomorfisia Co 0 -alaryhmien alaryhmille tai tekijäryhmille .

Conway itse käytti merkintää pisteen stabilaattoreille ja aliavaruuksille liittämällä sen eteen pisteen. Poikkeuksia olivat •0 ja •1 , jotka tunnetaan nykyään nimellä Co 0 ja Co 1 . Merkitään kokonaisluvulle n -tyypin pisteiden stabilaattoria (katso edellä) Leach-hilassa. $\mathbf {n} \geqslant 2$ ${\boldsymbol {\cdot ))\mathbf {n}$

Conway esitteli sitten nimet tasostabilisaattoreille, jotka määritettiin kolmioilla, joiden origo on kärkipiste. Olkoon •hkl kolmion, jonka reunat (pisteerot) ovat h , k ja l , pistesuuntainen stabilisaattori . Yksinkertaisimmissa tapauksissa Co 0 on transitiivinen pisteissä tai kolmioissa, ja stabilointiryhmät määritellään konjugasiteettiin asti.

Conway tunnisti •322 : n McLaughlin-ryhmän McL:n (tilaus 898 128 000 ) ja •332 : n Higman-Sims-ryhmän HS:n kanssa (tilaus 44 352 000 ). Molemmat on löydetty hiljattain.

Alla on taulukko [9] [10] joistakin alihilaryhmistä:

Nimi	Tilaus	Rakenne	Vertex esimerkki
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Co2_ _	(−3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	Co3_ _	(5, 123 )
• neljä	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :M 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	PSU 6 (2) ≈ Fi 21	(4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	McL	(5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	HS	(5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	35 M 11 _	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :M 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	M23 _	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
• 433	2 10 3 2 5 7	2 4 .A 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
• 442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
• 443	2 7 3 2 5 7	M21 :2 ≈ PSL3 ( 4 ):2	(8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 )

Kaksi muuta satunnaista alaryhmää

Kaksi satunnaista alaryhmää voidaan määritellä Leach-hilan rakenteiden stabilointitekijöiden tekijäryhmiksi. R24 : n tunnistaminen C12 : n ja sen kanssa $\lambda$

\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},

tuloksena oleva automorfismiryhmä (eli Leach-hilan automorfismien ryhmä, joka säilyttää kompleksisen rakenteen ), jaettuna kompleksisten skalaarimatriisien kuuden elementin ryhmällä, antaa Suzuki-ryhmän Suz (luokkaa 448 345 497 600 ). Tämän ryhmän löysi vuonna 1968 Michio Suzuki.

Samanlainen konstruktio antaa Jankon ryhmän J 2 (luokkaa 604 800 ) kvaternionautomorfismien tekijäryhmäksi skalaariryhmän ±1. $\lambda$

Yllä kuvattuihin seitsemään yksinkertaiseen ryhmään kuuluu Robert Grissin onnellisen perheen toinen sukupolvi , joka koostuu 20 satunnaisesta yksinkertaisesta ryhmästä, jotka löytyvät hirviöstä . Jotkut seitsemästä ryhmästä sisältävät ainakin osan viidestä Mathieu-ryhmästä , jotka muodostavat ensimmäisen sukupolven .

Suzuki-ketjun tuotteet ryhmien

Co 0 :ssa on 4 kertaluvun 3 alkioiden kosettia. M 24 :ssä muotoa 3 8 oleva elementti muodostaa kopiossa S 3 normaalin ryhmän, joka kommutoidaan kertaluvun 168 yksinkertaisen aliryhmän kanssa . M > 24 :n suora tulo permuoi oktadeja triosta ja muuttaa 14 matriisia monomialaryhmässä. Co 0 :ssa tämä monomiaalinen normalisoija laajenee muodon maksimaaliseen alaryhmään , jossa 2.A 9 on kaksinkertainen kansi vaihtuvasta ryhmästä A 9 [11] . ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$

John Thompson huomautti, että olisi hedelmällistä tutkia 2.A n -muotoisten pienryhmien normalisoijia [12] . Jotkut maksimialaryhmät Co 0 löytyvät tällä tavalla. Lisäksi tuloksena olevassa ketjussa esiintyy kaksi satunnaista ryhmää.

On olemassa alaryhmä , vain yksi sen ketjuista ei ole maksimaalinen Co 0 :ssa . Lisäksi on alaryhmä . Seuraava tulee . Unitaarinen ryhmä (järjestys 6048 ) liittyy 36 kärjen graafin automorfismiryhmään ennakoiden seuraavaa alaryhmää. Tässä alaryhmässä esiintyy Janko Group J2 . Yllä oleva graafi laajenee Hall-Yanko-graafiksi , jossa on 100 kärkeä. Seuraavaksi tulee ryhmä G 2 (4), joka on poikkeuksellinen Lie-tyyppinen ryhmä [13] [16] . ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4))$ ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\colon {2))$ $(2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2$ $\mathrm {SU} _{3}(3)$ $(2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2$ $(2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2$

Ketju päättyy 6.Suz:2:een (Suz= Spordic Suzuki Group ), joka, kuten edellä mainittiin, säilyttää Leach-hilan kompleksisen esityksen.

Generalized Monstrous Nonsense

Conway ja Norton ehdottivat vuoden 1979 paperissa, että hirviömäiselle hölynpölle voisi olla vastine myös muille ryhmille. Larisa Kuin ja muut havaitsivat peräkkäin, että on mahdollista rakentaa monien päämoduulien laajennuksia (englanninkielisessä kirjallisuudessa termi Hauptmodul on lainattu saksan kielestä, kirjaimellisesti - päämoduuli) yksinkertaisista satunnaisten ryhmien ulottuvuuksien yhdistelmistä. Conway-ryhmille vastaavat McKay-Thompson-sarjat ovat ={1, 0, 276, −2048 , 11 202 , −49 152 , …} ( A007246 ) ja ={1, 0, 276, 2048 , 11 202 5 , 24 , …} ( A097340 ), jossa vakiotermi on a(0)=24 , $T_{2B}(\tau )$ $T_{4A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\oikea)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\ eta (4\tau )}}\oikea)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )))\oikea)^{ 4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q))+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\pisteet \end {aligned}}

ja on Dedekind eta -funktio . $\eta (\tau )$

Muistiinpanot

↑ Conway, 1968 .
↑ Conway, 1969 .
↑ Thompson, 1983 .
↑ Witt, 1998 , s. 329.
↑ Griess, 1998 , s. 97.
↑ Thompson, 1983 , s. 148-152.
↑ Matriisin keskittäjä on joukko matriiseja, jotka liikkuvat sen kanssa ( Arnold 1999 ).
↑ Brauer, Sah, 1969 .
↑ Conway, Sloane, 1999 , s. 291.
↑ Griess, 1998 , s. 126.
↑ Wilson, 2009 , s. 27.
↑ Conway, 1971 , s. 242.
↑ Wilson, 2009 , s. 219.
↑ Wilson, 2009 , s. 9.
↑ Wilson, 2009 , s. 82.
↑ Tässä kaksoispiste tarkoittaa ryhmän jaettua laajennusta ( puolisuora tulo ) [14] , merkki ◦ tarkoittaa ryhmien keskustuloa — ryhmien suoran tulon tekijäryhmää sen keskustan mukaan [15] .

Kirjallisuus

Arnold VI Geometriset menetelmät tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa. - Toinen painos. - Iževsk: MTSNMO, VKM NMU, 1999. - ISBN 5-89806-028-4 .
John Horton Conway . Täydellinen ryhmä tilauksesta 8 315 553 613 086 720 000 ja satunnaiset yksinkertaiset ryhmät // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , no. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Äärillisten ryhmien teoria: Symposium / Brauer R., Chih-han Sah. - W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
John Horton Conway . Tilausryhmä 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . — s. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway . Kolme luentoa poikkeuksellisista ryhmistä // Äärilliset yksinkertaiset ryhmät / Powell MB, Higman G. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference, jonka järjestää London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, syyskuu 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . UusintapainosConway, Sloane (1999, 267–298)
John Horton Conway , Neil Sloane . Pallopakkaukset, ristikot ja ryhmät . – 3. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Virheenkorjauskoodeista pallopakkauksiin yksinkertaisiin ryhmiin . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Äärillisten ryhmien atlas . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Griess Jr. Kaksitoista satunnaista ryhmää. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Finite Group Representations Atlas of Finite Group: Co 1 versio 2
Atlas of Finite Group Representations: Co 1 Arkistoitu 27. maaliskuuta 2008 Wayback Machinen versiossa 3
Robert A. Wilson. Conwayn ryhmän Co₁ maksimialaryhmät // Journal of Algebra. - 1983. - T. 85 , no. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. Conwayn ryhmän Co₁ kolmesta paikallisesta alaryhmästä // Journal of Algebra. - 1988. - T. 113 , no. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. Yksinkertaiset rajalliset ryhmät. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Matematiikan graduate Texts 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Ernst Witt. Kerätyt paperit. Gesammelte Abhandlungen. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 .
RT Curtis, BT Fairburn. Conway-ryhmän elementtien symmetrinen esitys •0 // Journal of Symbolic Computation. - 2009. - Ongelma. 44 . - S. 1044-1067 .

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos